电路分析第十四章

电路分析第十四章
14－1求下列各函数的像函数：
(1)at e t f --=1)( (2))sin()(?ω+=t t f (3))1()(at e t f at -=- (4))1(1
)(at e a
t f --=
(5)2)(t t f = (6))(32)(t t t f δ++= (7))cos()(at t t f = (8)1)(-+=-at e t f at 解： (1))
(11]1[)(a s s a
a s s e s F at +=
+-=
-=-ξ (2)=+=)][sin()(?ωξt s F ]sin cos cos [sin ?ω?ωξt t + 2
2222
2sin cos sin cos ω
ω?ω?ωω
++=++
+=
s s s s s (3)2
2)
()(1][)]1([)(a s s
a s a a s ate e at e s F at at at +=+-+=
-=-=---ξξ (4))
(1)(11]11[)]1(1[)(a s s a s a as e a a e a s F at at +=+-=-=-=--ξξ
(5)st
st
de t s dt e t t s F -∞∞
-??
-===0
20
2
2
1][)(ξ
3
3
2
2222s te s te s e
s
t st
st
st
=
-
-
-=∞-∞-∞- (6) 2
221
23321)](32[)(s s s s s t t s F ++=++=++=δξ (7)=)(s F )](2 1
[)]cos([t j t j e e t at t ωωξξ-+=
2
22
2
222)
(])(1)(1[21a s a s ja s ja s +-=++-= (8))
(11]1[)(22
2a s s a s s a a s at e s F at
+=
-++=-+=-ξ
13—2 求下列各函数的原函数：
(1))4)(2()3)(1(++++s s s s s (2))
12)(65(16222++++s s s s
(3)2399222++++s s s s (4)s
s s s )23(23++
解：（1）设 F(s) 的部分分式展开为
4
2)4)(2()
3)(1()(321++++=++++=
s K s K s K s s s s s s F
则待定系数为 8
3)]()4[(41)]()2[(8
3
)]([4
32201=+==
+==
=-=-==s s s s F s K s F s K s sF K
所以，原函数为 )323(8
1
)(43t t e e t f --++=
（2）因为 1232)12)(3)(2(16
2)(3212++
+++=++++=s K s K s K s s s s s F 则待定系数为
45152
)]()12[(934
)]()3[(512)]()2[(1233221=
+=-=+==+=-=-=-=s s s s F s K s F s K s F s K 所以，有 t t t e e e t f 123245
152934512)(---+-=
（3）因为2
35
3223992)(222+++=++++=s s s s s s s s F
设 )(1s F 为
2
1)2)(1(5
32353)(212
1+++=+++=+++=
s K s K s s s s s s s F 则待定系数为
12
53)]()2[(22
5
3)]()1[(22
121111=++=+==++=+=-=-=-=-=s s s s s s s F s K s s s F s K
所以，原函数为
t t e e t t f 22)(2)(--++=δ
（4）因为 )2)(1(2
3123)23()(2223+++-
++=++=s s s s s s s s s s s F 设 )(1s F 为 2
1)2)(1(2
3)(211+++=+++=s K s K s s s s F
则代定系数为
41
23)]()2[(12
2
3)]()1[(22
121111=++=+=-=++=+=-=-=-=-=s s s s s s s F s K s s s F s K
所以，原函数为 t t e e t t f 24)()(---+=δ 13—3 求下列各函数的原函数： (1)
2
)
2)(1(1
++s s (2)s s s s 22123+++ (3))
54(5
62
2++++s s s s s (4)22)1(+s s 解：（1）令 ,0)(=s D 有 11-=p 为单根，22-=p 为二重根，所以，设发F9s) 为
2
212212)2(21)
2)(1(1
)(+++++=++=
s K s K s K s s s F 用 2)2(+s 乘以 F(s) 得 1
1
)()2(2+=+s s F s 则代定系数为
11
1111
1
)2(1)]()1[(222
2211
2
11-=+=-=+==+=+=-=-=-=-=s s s s s ds d K s K s s F s K
所以，原函数为t t t te e e t f 22)(-----= （2）因为 )
(1
)22(1221)(2
23s D s s s s s s s s s s F +=+++=+++=
令 D(s)=0 有 01=p 为单根 ,11,1121j p j p --=+-= 为共轭复根，所以，设
1
11)(32
1j s K j s K s K s F +++
-++=
则各系数为
20
2
135
23135112202
013536.03536.02
431)
()(5.02
21
)]([j j j j s p s s s e e K K e s s s s D s N K s s s s sF K ===+++='= =+++==--+-====θ 所以，原函数为)135cos(707.05.0)(0-+=-t e t f t
(3)令 0)(=s D 有 01=p 为单根，12,1232j p j p --=+-=为共轭复根，设
1212)54(5
6)(32122j s K j s K s K s s s s s s F +++
-++=++++= 则各系数为
2
232
122
22022012
258356)()(1
5
45
6)]([π
θπj
j j j s p s s s e
e
K K e j s s s s s D s N K s s s s s sF K ===-
=++++='==++++==--+-==== 所以，原函数为 t e t f t sin 21)(2-+=
（4）因为 )
()()()1()(2222s D s
j s j s s s s s F =
-+=+=
令 0)(=s D , 有j p -=1和 j p =2 分别为二重根，且 1p 和 2p 为共轭复根，故设 j s K j s K j s K j s K s F -+++-++=22
122
21211)
()()( 则各系数为
0)]()[(4
1414
141)()]()[(221212211212
1
2
2
11111
==+=
-=====-=
+=-=---==K s F j s ds d
K j e e K K e j j s s
s F j s K s j j j s p s π
θπ
所以，原函数为 t t te j te j t f jt jt sin 2
1
4141)(=-=-
13—4图（a ），（b ）, (c) 所示电路原已达到稳态，t=0 时把开关S 合上，分别画出运算电路。

解：（1）图（a ）所示电路中，在-=0t 时，由于电路原已达稳
态，故电感处于短路，电容处于开路，则电感电流值和电容值为
V u V u A
i L i L A i i i A i 246)0(,462
12
)0(632)0(,5)0(32
4
5)0()0()0(52
10
)0(2122113121=-==?+=
=?===-
=-===
--------
运算电路如题 14－4 图（a ）所示。

（2）图（b ）所示电路中，在-=0t 时，电路已达稳态，电感处于短路，电容处于开路，电感电流值和电容电压值为
0)0(,2)0()0(21===---C u A i i
故运算电路如题解14－4 图 (b) 所示
（3）图（c ）所示电路中，在-=0t 时，电路已稳态，电感处于短路，电容处于开路，电感电流值和电容电压值为
A
u u A
i i 21052
21)0()0(21
1310
)0()0(2121=??===++=
=----Ω50
运算电路如题解14－4 图（c ）所示。

14—5 图示电路原处与零状态， 0=t 时合上开关S ，试求电流 L i 。

解：由于开关闭合前电路已处于零状态，故有0)0(,0)0(==--C L u i ，可画出该电路的运算电路如题图14－5 所示。

应用回路电流法，设回路电流为 )(1s I ，)(2s I ，方向如图所示，可列出方程
s
s I sC R s RI s s RI s I sL R 50
)()1()(50)()()(2121=
++=++
解得
)
11(1
50)()(2
1LC
s RC s s RLC
s I s I L ++=
=
代入以知数据，得
)150)(50(7500
)7500200(7500)(2
++=++=
s s s s s s s I L 150
5.0505.11+++-=
s s s 求其反变换得 A e e s I t i t t l L )5.05.11()]([)(150501---+-==ξ
14—6 电路如图所示，已知 0,0)0(==-t A i L ，时将开关 S 闭合，求 t>0 时的
)(t u L 。

解：图示电路中，已知 A i L 0)0(-- ，可画出该电路的运算电路如题 14－6 图所示。

采用接点电压法。

设参考结点电压，对结点(1) 可列出方程
sL
s U R s s U sL R R )(2)1(10
)()111(
11121-+=++ 代入已知数据并整理，得
)
1(25)()321(1+=+s s U s 解的
)
6)(1(5)(1++=
s s s
s U
故有 6
18
13)6)(1(15)(3)(1+++-=++=
=s s s s s s U s U L
其反变换为 V e e s U s u t t L L )183()]([)(61---+-==ξ 本题亦可采用网孔电流法求解
14—7 图示电路中 )(t u s 为直流电压原，开关源闭合，已达稳定状态。

0=t 时开
关断开，求开关断开后总电流i 和电容上电压 1C u 和 2C u 。

已知 V t u s 30)(= ，
F C μ2.01= ，122
1
C C =
，1212,100R R R =Ω= 。

解：由于开关端开前电路已达稳态，所以在 -=0t 时，电容电压值为
V
u u u V
u R R R u C s C s C 10)0()0(203032
)0(121212=-==?=+=
---
该电路的运算电路如题解 14－7 图所示。

列出独立的 KVL 和 KCL 方程
)
()()()0()()1
()0()()1
(2122211121
s I s I s I s
u s u s I sC R s u s u s I sC R C s C s =+-=+
-=+-- 解之并代入数据，得
4
214
2224
1111052.0)()()(1051.01)0()(1051.01)0()(21?+=
+=?+=+
-
=?+=
+
-
=--s s I s I s I s sC R s u s u s I s sC R s u s u s I C s C s
故电容电压为
4
22
4111052030)
0()(1
)(10510
30)0()(1)(221?+-
=
+=
+-
=+=---s s s
U s I sC s U s s s U s I sC s U C C C C
则开关断开后电路的总电流 I 和电容上电压 1C u ，2C u 分别为V
e
t u V e t u A
e t i t
C t C t )2030()()1030()(2.0)(424
14
105105105?-?-?--=-== 14-8图示电路中的电感原无磁场能量，0=t 时，合上开关 S ，用运算法求电感中的电流。

解：根据题意知 0)0(,0)0(21===--L L i i ，则合上开关后的运算电路如题解14－8 图所示。

应用结点电压法。

设参考结点如题解图所示，对结点 (1) 列出方程
2
12321110
)()111(
sR s U sL R R sL R n =
++++
代入已知数据，得 (s
s U s s n 5)()64121321(
1=++++ 解得 )
3()
32(5)(1++=
s s s s U n
所以，电感中的电流为
3
6565)3(25
)()(33
5
35)3(5
)()(32111121+-=+=+=+-=+=+=s s s s R sL s U s I s s s s R sL s U s I n L n L
它们的反变换为
A
e s I t i A e s I t i t L L t L L )1(6
5
)]([)()1(3
5
)]([)(31312211-----==-=
=ξξ
本题亦可用网孔电流法求解。

14—9图示电路中开关S 闭合前电路已处于稳定状态，电容初始储能为零，在 t=0 时闭合开关S ，求0>t 时电流)(1t i 。

解：图示电路中，由于开关闭合前电路已达稳态，所以，有 A R
i L 1010
)0(==
- ，且已知：0)0(=-C u ，可画出该电路的运算电路如题解14－9 图所示。

电路的等效运算阻抗为
111
)(2+++=+
+=sRC R sL RLC s sC
R sC R
sL s Z 则电流 )(1s I 为
313253132510)
102()107(102
)102(2.0210)(2
22
2
21j s e j s e s s s s s s s s s s s I j j +++-++=++++=++++=-π
π
其反变换为 A t e s I t i t
)3sin 3
5010()]([)(111--+
==ξ 14—10 图示电路中V U R R H M H L H I s 1,1,2,4,12121=Ω===== 。

电感中原无磁场能。

0=t 时合上开关 S ，用运算法求 21,i i 。

解：由题意 0)0(,0)0(21==--L L i i ，则该电路的运算电路如题解14－10 图所示
对与含偶电感的电路，采用回路电流法。

列出回路电流方程
)()()()()()(22212111=++-=-+s I sL R s sMI s U s sMI s I sL R s
代入以知数据，得
)
2(0)()41()(2)
1(1
)(2)()1(2121=++-=-+s I s s sI s
s sI s I s 由方程式（2），将此时代入到式（1）中，解得5
115
2
152)(142)()
5
1(51
1
)15(14)(221+=
+=+=+-
=++=
s s s I s s s I s s
s s s s I
则原电路中合上开关后的电流 1i ，2i 为
A
e s I t i A
e s I t i t t 51
21251
11
15
2
)]([)()5
11()]([)(----==-==ξξ。