2018-2019学年人教A版数学选修4-1同步指导讲义：第二讲 三圆的切线的性质及判定定理 含答案

三圆的切线的性质及判定定理
［学习目标］
1。

理解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题。

2.能归纳并正确表示由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理.
[知识链接]
1.根据直线与圆公共点的个数,说明它们有怎样的位置关系？
提示直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有一个公共点时,直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.
2。

下列关于切线的说法中，正确的有哪些？
(1）与圆有公共点的直线是圆的切线;
（2）垂直于圆的半径的直线是圆的切线;
（3)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(4）过直径的端点,垂直于此直径的直线是圆的切线.
提示(3）（4）正确。

[预习导引]
1。

切线的性质定理
证明两条直线垂直2。

性质定理推论1
证明点在直线上
3.
证明点在直线上
4
语言
符号
语言
OA是圆O的半径，直线l⊥OA，且A∈l,则l是圆O的
切线
图形
语言
作用证明直线与圆相切
要点一切线的性质
例1 如图所示，已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD。

(1)求证：OC∥AD；
（2)若AD＝2，AC＝错误!，求AB的长.
（1）证明如图所示,连接BC.
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD。

又AD⊥CD，∴OC∥AD.
(2)解∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°。

又AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，
∴△ADC∽△ACB.
∴错误!＝错误!，∴AC2＝AD·AB.
∵AD＝2，AC＝5,∴AB＝错误!.
规律方法 1.本例中第(2)小题是通过三角形相似来寻找AD、AC与AB之间关系的。

2。

利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线.从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等。

跟踪演练1 如图所示，∠C＝90°，点O在AC上，CD为⊙O的直径，
⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12，求⊙O的半径。

解连接OE.∵AB与⊙O切于点E，
∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°.
∵∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴Rt△ACB∽Rt△AEO，
∴错误!＝错误!.∵BC＝5，AC＝12,
∴AB＝13，∴错误!＝错误!，∴OE＝错误!。

要点二圆的切线的判定
例2 已知:AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，过点A作AD∥OC，交⊙O于点D.
求证：DC是⊙O的切线。

证明如图，连接OD，设∠OAD＝∠1，∠ODA＝∠2，∠BOC＝∠3，∠COD
＝∠4.
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2。

∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4。

∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
又∵OB＝OD，∠3＝∠4，OC＝OC.
∴△OBC≌△ODC，
∴∠OBC＝∠ODC。

∵BC是⊙O的切线,
∴∠OBC＝90°。

∴∠ODC＝90°，即OD⊥CD。

∴DC是⊙O的切线.
规律方法判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法：
(1）如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直"；
(2）若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直,证半径".
跟踪演练2 如图所示,在△ABC中，已知AB＝AC，以AB为直径的⊙O交
BC于D,DE⊥AC，垂足为E。

求证：DE是⊙O的切线.
证明连接OD和AD.∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC,又∵AB＝AC，
∴BD＝CD,又∵AO＝BO,
∴OD∥AC。

∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.
要点三圆的切线的判定与性质定理的综合应用
例3 如图所示，正方形ABCD是⊙O的内接正方形,延长BA到E,使AE＝AB,连
接ED。

（1)求证：直线ED是⊙O的切线.
（2）连接EO交AD于点F，求证:EF＝2FO。

证明(1)如图所示，连接OD.
∵四边形ABCD为正方形，AE＝AB，
∴AE＝AB＝AD，∠EAD＝∠DAB＝90°.
∴∠EDA＝45°，又∠ODA＝45°。

∴∠ODE＝∠ADE＋∠ODA＝90°。

∴直线ED是⊙O的切线。

(2）如图所示,作OM⊥AB于M.
∵O为正方形ABCD的中心,∴M为AB的中点.
∴AE＝AB＝2AM,又AF∥OM，
∴错误!＝错误!＝2，∴EF＝2FO.
规律方法对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果。

跟踪演练3 已知：如图，A是⊙O上一点,半径OC的延长线与过点A的直
线交于B点,OC＝BC,AC＝错误!OB.
（1)求证：AB为⊙O的切线；
(2）若∠ACD＝45°，OC＝2,求弦CD的长。

（1）证明如图,连接OA，
∵OC＝BC，AC＝错误!OB，∴OC＝BC＝CA＝OA，
∴△ACO为正三角形，∴∠O＝60°,∴∠B＝30°，
∴∠OAB＝90°，∴AB为⊙O的切线.
(2)解∵∠ACD＝45°，∴Rt△ACE中，AE＝EC，
又∵△ACO为正三角形，∴AE＝EC＝错误!AC＝错误!，
又∵CD＝错误!∠AOC＝30°,在Rt△AED中,
DE＝错误!AE＝错误!,∴CD＝CE＋DE＝错误!＋错误!。

1。

圆的切线的判定方法有
（1)定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2）几何法:和圆心距离等于半径的直线是圆的切线;
(3)判定定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线.
2。

圆的切线的性质与判定的综合运用
在解决有关圆的切线问题，添加辅助线有以下规律：
（1）已知一条直线是圆的切线时,通常连接圆心和切点，这条半径垂直于切线.
(2）要证明某条直线是圆的切线时，若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径,证明直线垂直于这条半径,简记为“连半径，证垂直"；若直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”。

1。

（2016·石家庄模拟）如图所示，直线l与⊙O相切于点A,B是l上任一点（与点A不重合），则△OAB是（)
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形D。

钝角三角形
解析∵l与⊙O相切,∴l⊥OA.∴OA⊥AB。

∴∠OAB＝90°,△OAB是直角三角形。

答案C
2。

已知AB是⊙O的切线，下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是( )
A。

AB与⊙O相切于直线CD上的点C
B。

CD经过圆心O
C。

CD是直线
D.AB与⊙O相切于点C，CD过圆心O
解析由图①②③可知,根据选项A，B，C中的条件都不能判定AB⊥CD；因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以选项D正确（如图④）。

答案D
3。

如图所示，DB,DC是⊙O的两条切线,A是圆上一点，已知∠D＝46°，则∠A＝________。

解析如图②所示，连接OB，OC，则OB⊥BD，OC⊥CD，故∠DBO＋
∠DCO＝90°＋90°＝180°，则四边形OBDC内接于一个圆.则有∠BOC
＝180°－∠D＝180°－46°＝134°,所以∠A＝错误!∠BOC＝错误!×
134°＝67°.
答案67°
一、基础达标
1。

下列说法中正确的个数是( )
①过圆心且垂直于切线的直线必过切点；②过切点且垂直于切线的直线必过圆心；③过半径的
一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线，则切点是AB的中点.
A。

2 B。

3 C.4 D.5
解析由切线的判定及性质定理知：①②④正确，③不正确,过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线或直径.
答案B
2。

如图所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E,F,G，点P是弧EG上
的任意一点，则∠EPF等于( )
A。

120°B。

90°
C.60°D。

30°
解析如图所示，连接OE,OF。

∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO＝∠BFO＝90°。

∴∠EOF＋∠ABC＝180°.
∴∠EOF＝120°。

∴∠EPF＝错误!∠EOF＝60°.
答案C
3。

如图，在⊙O中，AB为直径,AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于
C，若AD＝DC，则sin∠ACO等于（）
A.错误!B。

错误!
C。

错误!D。

错误!
解析连接BD,作OE⊥AC于E.
∵BC切⊙O于B，∴AB⊥BC，
∵AB为直径，∴BD⊥AC,
∵AD＝DC,∴BA＝BC，
∠A＝45°，设⊙O的半径为R，
∴OC＝错误!＝错误!＝错误!R.
OE＝错误!R，∴sin∠ACO＝错误!＝错误!＝错误!.
答案A
4。

如图,在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则|O1O2｜＝________.
解析设⊙O1和⊙O2的半径均为r，
则S△ABC＝错误!·AB·BC＝错误!·r·(AB＋BC＋AC）。

∴错误!×5×12＝错误!×r×（5＋12＋错误!).∴r＝2。

∴|O1O2｜＝错误!＝错误!.
答案65
5。

如图，在Rt△ABC中,∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm,以C为圆心，r为半径作圆，若AB与圆相切，则r＝________。

解析过C作CD⊥AB，垂足为D,
在Rt △ABC 中，
AB ＝错误!＝5，
∴CD ·AB ＝AC ·BC ，
∴CD ＝错误!＝2.4 cm ，
∵AB 与圆相切，
∴r ＝CD ＝2.4 cm 。

答案 2。

4 cm
6。

如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°.以O 为
圆心,错误!OA 为
半径作圆。

(1）证明：直线AB 与⊙O 相切；
(2)点C ，D 在⊙O 上,且A ，B ，C ，D 四点共圆,证明:AB ∥CD .
证明 (1)设E 是AB 的中点，连接OE .
因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°,
所以OE ⊥AB ,∠AOE ＝60°，
在Rt△AOE 中,OE ＝12
AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切。

(2）因为OA ＝2OD ，所以O 不是A ，B ，C ,D 四点所在圆的圆心.设O ′是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，作直线OO ′。

由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥AB . 同理可证,OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD .
二、能力提升
7.如图所示，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D,BC⊥AD于点C，AB＝2，半圆O的半径为2,则BC的长为( ）
A.2 B。

1
C。

1.5 D.0.5
解析连接OD,∵AD切⊙O于D，
∴OD⊥AD，又∵BC⊥AD，∴OD∥BC，
∴△DOA∽△CBA，∴错误!＝错误!，∴BC＝错误!＝1。

答案B
8.如图所示,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A,∠A ＝20°，则∠DBE＝________.
解析连接OB,则OB⊥AB,
∴∠AOB＝90°－∠A＝70°，
∴∠BOD＝180°－∠AOB＝110°，
又∵OB＝OD,
∴∠OBD＝错误!（180°－∠BOD)
＝35°,
∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°。

答案55°
9。

如图所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC,若AD∶AC ＝1∶2，则AO∶OB＝________。

解析如图所示，连接OD，则OD⊥AC。

∵AC是⊙O的切线,∴OB＝OD，OC＝OC，∠ODC＝∠OBC＝90°。

∴△CDO≌△CBO.∴BC＝DC.
∵AD
AC＝错误!,∴AD＝DC.
∴BC＝错误!AC。

又OB⊥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝30°.
∴OB＝OD＝错误!AO。

∴错误!＝错误!。

答案2∶1
10。

如图，AB是⊙O的直径,∠BAC＝30°,M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF ＝∠E.
求证：CF是⊙O的切线。

证明连接OC，∵AB是⊙O的直径.
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°,∴∠ABC＝60°，
又∵OB＝OC,∴∠OCB＝∠OBC＝60°。

在Rt△EMB中，
∵∠E＋∠MBE＝90°,
∴∠E＝30°。

∵∠E＝∠ECF，∴∠ECF＝30°，
∴∠ECF＋∠OCB＝90°,
又∵∠ECF＋∠OCB＋∠OCF＝180°,
∴∠OCF＝90°，∴CF为⊙O的切线.
11.如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE.
（1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径。

(1）证明在△OCP与△CEP中,
∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE，
∴∠OCP＝∠CEP。

∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°，∴∠OCP＝90°.
又C点在圆上，∴PC是⊙O的切线.
（2)解设OE＝x，
则EA＝2x，OC＝OA＝3x.
∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°,
∴△OCE∽△OPC，∴OC
OE＝错误!.
即（3x）2＝x(3x＋6），∴x＝1，
∴OA＝3x＝3,即圆的半径为3.
三、探究与创新
12。

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E 点，且EC＝ED。

（1）证明：CD∥AB；
(2）延长CD到F，延长DC到G,使得EF＝EG。

证明:A,B，G,F四点共圆.
证明（1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD。

因为A，B,C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC＝∠EBA。

故∠ECD＝∠EBA。

所以CD∥AB。

(2)由(1)易知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.
连接AF，BG，则△EFA≌△EGB,故∠FAE＝∠GBE。

因为CD∥AB,∠EDC＝∠ECD，所以∠EAB＝∠EBA,所以∠FAB＝∠GBA。

所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆.。