《精编》河南省郑州大学附中高三数学第三次月考试题 文 新人教A版.doc

河南省郑州大学附中2021届高三第三次月考数学试卷〔文科〕
参考答案与试题解析
一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分，每题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的〕
1．〔5分〕设集合M={0，1，3}，N={0，1，7}，那么M∩N=〔〕
A．{0，1} B．〔0，1〕C．ϕD．{0，1，3，7}
考
点：
交集及其运算．
专
题：
计算题．
分
析：
根据集合M={0，1，3}，N={0，1，7}，找出它们的公共元素，再求交集．
解答：解：∵集合M={0，1，3}，N={0，1，7}，∴M∩N={0，1}，
应选A．
点
评：
此题考查交集及其运算问题，注意交集的定义，较简单．
2．〔5分〕复数a+3i=4﹣bi，a，b∈R那么a+b=〔〕
A．B．C．1D．2
考
点：
复数相等的充要条件．
专
题：
计算题．
分
析：
利用复数代数形式的相等，求出a，b，由此能求出a+b的值．
解答：解：复数a+3i=4﹣bi，∴a=4，b=﹣3，故a+b=1．
应选C．
点
评：
此题考查复数相等条件的应用，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答．
3．〔5分〕向量=〔1，k〕，=〔k﹣1，6〕，假设∥，那么正实数k的值为〔〕A．3B．2C．3或﹣2 D．﹣3或2
考
点：
平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．
专
题：
平面向量及应用．
分
析：
由向量的共线定理得充要条件即可计算出k的值．
解
答：
解：∵∥，∴1×6﹣k〔k﹣1〕=0，化为k2﹣k﹣6=0，解得k=3，k=﹣2．又∵k＞0，∴k=3．
应选A．
点
评：
正确理解向量的共线定理是解题的关键．
4．〔5分〕f〔x〕=lnx+2x﹣5的零点所在区间为〔〕
A．〔1，2〕B．〔2，3〕C．〔3，4〕D．〔4，5〕
考
点：
函数的零点．
专
题：
函数的性质及应用．
分析：由函数的解析式求得f〔2〕f〔3〕＜0，再根据函数零点的判定定理可得f〔x〕=lnx+2x ﹣5的零点所在区间．
解答：解：∵f〔x〕=lnx+2x﹣5，
∴f〔2〕=ln2﹣1＜0，f〔3〕=ln3+1＞0，
∴f〔2〕f〔3〕＜0．
根据函数零点的判定定理可得f〔x〕=lnx+2x﹣5的零点所在区间为〔2，3〕，应选B．
点评：此题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于根底题．
5．〔5分〕〔2021•许昌县模拟〕如图示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，那么阴影区域的面积为〔〕
A．B．C．D．无法计算
考
点：
几何概型．
专
题：
计算题．
分析：此题考查的知识点是根据几何概型的意义进行模拟试验，计算不规那么图形的面积，关键是要根据几何概型的计算公式，列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影局部面积及正方形面积之间的关系．
解
答：
解：正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，P==，
又∵S正方形=4，
∴S阴影=，
应选B．
点评：利用几何概型的意义进行模拟试验，估算不规那么图形面积的大小，关键是要根据几何概型的计算公式，探究不规那么图形面积与的规那么图形的面积之间的关系，及它们与模拟试验产生的概率〔或频数〕之间的关系，并由此列出方程，解方程即可得到答案．
6．〔5分〕假设，α是第三象限的角，那么=〔〕A．B．C．D．
考
点：
两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的根本关系．
专
题：
计算题．
分析：根据α的所在的象限以及同角三角函数的根本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．
解答：解：∵α是第三象限的角
∴sinα=﹣=﹣，所以sin〔α+〕=sinαcos+cosαsin=﹣
=﹣．
应选A
点评：此题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的根本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的．
7．〔5分〕〔2021•泉州模拟〕设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为〔〕
A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2
考
点：
球的体积和外表积．
专
题：
计算题．
分析：此题考查的知识点是球的体积和外表积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，那么长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足〔2R〕2=6a2，代入球的外表积公式，S球=4πR2，即可得到答案．
解答：解：根据题意球的半径R满足〔2R〕2=6a2，
所以S球=4πR2=6πa2．
应选B
点
评：
长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．
8．〔5分〕设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，那么以下命题中正确的选项是〔〕
A．假设m∥n，m∥α，那么n∥αB．假设α⊥β，m∥α，那么m⊥β
C．假设α⊥β，m⊥β，那么m∥αD．假设m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β
考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
专
题：
常规题型．
分析：A选项m∥n，m∥α，那么n∥α，可由线面平行的判定定理进行判断；
B选项α⊥β，m∥α，那么m⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断；
C选项α⊥β，m⊥β，那么m∥α可由线面的位置关系进行判断；
D选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，那么α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断；
解答：解：A选项不正确，因为n⊂α是可能的；
B选项不正确，因为α⊥β，m∥α时，m∥β，m⊂β都是可能的；C选项不正确，因为α⊥β，m⊥β时，可能有m⊂α；
D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．
应选D
点评：此题考查线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力，属根底题．
9．〔5分〕点F、A分别为双曲的左焦点、右顶点，点B
〔0，b〕满足，那么双曲线的离心率为〔〕
A．B．C．D．
考
点：
双曲线的简单性质．
专
题：
计算题．
分根据题意判断出FB⊥AB，利用勾股定理求得a和c关系，整理成关于e的方程求得双
析：曲线的离心率．
解
答：
解：∵
∴FB⊥AB
∴|FB|2+|AB|2=|FA|2，
即c2+b2+a2+b2=〔a+c〕2，整理得c2﹣a2﹣ac=0，等式除以a2得e2﹣e﹣1=0
求得e=〔舍负〕
∴e=
应选D
点评：此题主要考查了双曲线的简单性质．解题过程中关键是利用了勾股定理找到了a和c 的关系．
10．〔5分〕〔2021•浙江〕设f′〔x〕是函数f〔x〕的导函数，将y=f〔x〕和y=f′〔x〕的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的选项是〔〕
A ．B
．
C
．
D
．
考
点：
利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．专
题：
压轴题．
分析：此题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f〔x〕和y=f′〔x〕在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．
解答：解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f〔x〕和y=f′〔x〕在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，应选D．
点
评：
考查函数的单调性问题．
11．〔5分〕设曲线y=x n+1〔n∈N*〕，在点〔1，1〕处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，那么log2021x1+log2021x2+…+log2021x2021的值为〔〕
A．﹣log20212021 B．﹣1 C．l og20212021﹣1 D．1
考
点：
利用导数研究曲线上某点切线方程；对数的运算性质．
专计算题．
题：
分析：先求曲线在点〔1，1〕处的切线方程，从而得出切线与x轴的交点的横坐标为x n，再求相应的函数值．
解答：解：y=x n+1在〔1，1〕处的切线方程为y﹣1=〔n+1〕〔x﹣1〕，该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，
所以log2021x1+log2021x2+…+log2021x2021=，
应选B．
点
评：
此题利用了导数的几何意义，同时利用了对数运算的性质求出函数
12．〔5分〕假设框图所给程序运行的结果，那么判断框中可以填入的关于k的判断条件是〔〕
A．k＜2021 B．k＜2021 C．k＞2021 D．k＞2021
考
点：
程序框图．
专
题：
图表型．
分析：框图在给累加变量和循环变量赋值后，先执行了一次运算，然后再判断执行，从执行框看出，程序执行的是数列求和运算，根据程序运行的结果
，得到S的值，从而得到k的值，那么判断框中的条件可求．
解
答：
解：由框图可知，程序执行的是求数列{}的前n项和的运算，由=
=，所以框图最后输出的S为的形式，
由程序运行的结果，所以，S=，所以k=2021，
所以判断框中的条件为k＜2021时，程序继续执行一次k=2021+1=2021，再次判断时不满足条件，算法结束．
应选A．
点评：此题考查了程序框图，考查了数列的求和，程序虽然先执行了一次运算，实那么是循环结构中的当型循环，此题是中档题．
二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕
13．〔5分〕计算：= ﹣45 ．
考
点：
有理数指数幂的运算性质．
专
题：
计算题．
分析：把幂指数小于0的写到分母上去，变代分数为假分数加以开方，最后一项用非0的0次幂等于1．
解
答：解：
==．故答案为﹣45．
点评：此题考查了有理指数幂的运算性质，解答的关键是熟记有关性质，同时需熟练掌握分数指数幂与根式的互化，属根底题．
14．〔5分〕一个几何体的三视图如以下列图，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为．
考
点：
由三视图求面积、体积．
专
题：
计算题．
分该几何体是正六棱锥，依据数据求解即可．
析：
解答：解：由三视图可知几何体是正六棱锥，底面边长为1，侧棱长为2，该几何体的体积：，
故答案为：．
点评：本小题考查三视图求体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和根本的运算能力．根底题．
15．〔5分〕〔2021•宝鸡模拟〕实数x，y满足不等式组，那么目标函数z=x+3y的
最大值为 4 ．
考
点：
简单线性规划．
专
题：
计算题．
分
析：
此题主要考查线性规划的根本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可
行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数
Z=x+3y的最大值．
解
答：
解：约束条件的可行域如以以下列图示：
由图易得目标函数z=x+3y在〔1，1〕处取得最大值4，
故答案为：4．
点评：点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法〞，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验
证，求出最优解．
16．〔5分〕定义：=ad﹣bc．a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，假设=0，且a+b=10，那么c的最小值为．
考
点：
二阶矩阵．
专
题：
计算题；压轴题．
分
析：
由定义：=ad﹣bc得到关于cosC的式子，解出cosC的值，再结合a+b=10由余弦定理和根本不等式求最值即可．
解
答：
解：由题意=〔2cosC﹣1〕cosC﹣2〔cosC+1〕=2cos2C﹣3cosC﹣2﹣0，
所以cosC=﹣或cosC=2〔舍去〕
由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=〔a+b〕2﹣2ab+ab=〔a+b〕2﹣ab
因为a+b=10，且，所以c2≥50，
所以c的最小值为
故答案为：
点评：此题考查二阶矩阵、解三角形、根本不等式求最值等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．
三、解答题〔共6小题，总分值70分〕
17．〔12分〕〔北京卷文15〕函数f〔x〕=2cos2x+sin2x 〔Ⅰ〕求f〔〕的值；
〔Ⅱ〕求f〔x〕的最大值和最小值．
考
点：
三角函数的最值；二倍角的余弦．
专
题：
计算题．
分析：〔I〕直接代入函数解析式求解即可．
〔II〕先用降幂公式，辅助角公式，再用换元法将函数转化为二次函数求最值．
解
答：
解：〔I〕f〔〕=2
〔II〕f〔x〕=2〔2〔cosx〕2﹣1〕+〔1﹣〔cosx〕2〕=3〔cosx〕2﹣1 ∵cosx∈[﹣1，1]
∴cosx=±1时f〔x〕取最大值2 cosx=0时f〔x〕取最小值﹣1
点评：此题主要考查了三角函数的求值，恒等变换和最值问题，也考查了二倍角公式及辅助角公式．
18．〔12分〕〔2021•丰台区一模〕数列{a n}满足a n+1﹣2a n=0，且a3+2是a2，a4的等差中项．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式a n；
〔Ⅱ〕假设b n=﹣a n log2a n，S n=b1+b2+…+b n，求使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
考
点：
数列的应用．
专
题：
计算题．
分析：〔Ⅰ〕由题意知数列{a n}是以2为公比的等比数列．再由a3+2是a2，a4的等差中项，可知a1=2，所以数列{a n}的通项公式a n=2n；
〔Ⅱ〕由题设条件知，b n=﹣n•2n，由此可知S n=﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n，2S n=﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣〔n﹣1〕•2n﹣n•2n+1，再由错位相减法可知使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．
解答：解：〔Ⅰ〕∵a n+1﹣2a n=0，即a n+1=2a n，
∴数列{a n}是以2为公比的等比数列．
∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，
∴2a1+8a1=8a1+4，∴a1=2，
∴数列{a n}的通项公式a n=2n；
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕及b n=﹣a n log2a n得，b n=﹣n•2n，
∵S n=b1+b2++b n，
∴S n=﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n①
∴2S n=﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣〔n﹣1〕•2n﹣n•2n+1②
②﹣①得，S n=2+22+23+24+25++2n﹣
n•2n+1=
要使S n+n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52，n35 ∴使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．
点
评：
此题考查数列性质的综合运用，解题时要注意计算能力的培养．
19．〔12分〕集合A={x|x2﹣3〔a+1〕x+2〔3a+1〕＜0}，B=，
〔1〕当a=2时，求A∩B；
〔2〕求使B⊆A的实数a的取值范围．
考
点：
交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．
专
题：
计算题．
分析：〔1〕把a的值分别代入二次不等式和分式不等式，然后通过求解不等式化简集合A，B，再运用交集运算求解A∩B；
〔2〕把集合B化简后，根据集合A中二次不等式对应二次方程判别式的情况对a进行分类讨论，然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解a的范围．
解
答：
解：〔1〕当a=2时，A={x|x2﹣3〔a+1〕x+2〔3a+1〕＜0}={x|x2﹣9x+14=0}=〔2，7〕，B=={x|}=〔4，5〕，
∴A∩B=〔4，5〕
〔2〕∵B=〔2a，a2+1〕，
①当a＜时，A=〔3a+1，2〕
要使B⊆A必须，此时a=﹣1，
②当时，A=∅，使B⊆A的a不存在．
③a＞时，A=〔2，3a+1〕要使B⊆A，
必须，此时1≤a≤3．
综上可知，使B⊆A的实数a的范围为[1，3]∪{﹣1}．
点评：此题考查了交集及其运算，考查了集合的包含关系及其应用，考查了分类讨论的数学思想，解答此题的关键是对集合A的讨论，此题是中档题．
20．〔12分〕〔2021•江苏〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：
〔1〕EF∥平面ABC；
〔2〕平面A1FD⊥平面BB1C1C．
考
点：
直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
专
题：
证明题．
分析：〔1〕要证明EF∥平面ABC，证明EF∥BC即可；
〔2〕证明平面A1FD⊥平面BB1C1C，证明A1D⊥面BB1C1C即可．
解答：证明：〔1〕因为E，F分别是A1B，A1C的中点，
所以EF∥BC，又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，所以EF∥平面ABC；
〔2〕因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D，
又A1D⊥B1C，所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D⊂面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
点评：此题考查直线与平面平行和垂直的判断，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
21．〔12分〕〔2021•汕头一模〕函数f〔x〕=xlnx．
〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小值；
〔Ⅱ〕假设对所有x≥1都有f〔x〕≥ax﹣1，求实数a的取值范围．
考
点：
利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
专
题：
综合题．
分析：〔1〕先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．
〔2〕将f〔x〕≥ax﹣1在[1，+∞〕上恒成立转化为不等式对于x∈[1，+∞〕恒成立，然后令，对函数g〔x〕进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值，使得a小于等于这个最小值即可．
解答：解：〔Ⅰ〕f〔x〕的定义域为〔0，+∞〕，f〔x〕的导数f'〔x〕=1+lnx．令f'〔x〕＞0，解得；令f'〔x〕＜0，解得．
从而f〔x〕在单调递减，在单调递增．
所以，当时，f〔x〕取得最小值．
〔Ⅱ〕依题意，得f〔x〕≥ax﹣1在[1，+∞〕上恒成立，
即不等式对于x∈[1，+∞〕恒成立．
令，
那么．
当x＞1时，
因为，
故g〔x〕是〔1，+∞〕上的增函数，
所以g〔x〕的最小值是g〔1〕=1，
从而a的取值范围是〔﹣∞，1]．
点评：此题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、根据导数求函数的最值．导数是高等数学下放到高中的内容，是每年必考的热点问题，要给予重视．
22．〔10分〕选修4﹣1：
如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA 的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB 的延长线相交于点P．
〔1〕求证：BF=EF；
〔2〕求证：PA是圆O的切线．
考
点：
与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．
专
题：
计算题；直线与圆．
分析：〔1〕利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合条件可得BF=EF；
〔2〕利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE 是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．
解答：证明：〔1〕∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．
可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．
∴，得．
∵G是AD的中点，即DG=AG．
∴BF=EF．
〔2〕连接AO，AB．
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．
由〔1〕得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．
又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．
∵BE是圆O的切线，
∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．
点评：此题求证直线是圆的切线，着重考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质和圆的切线判定定理等知识，属于中档题．。