三条共顶点射线所成二面角的计算

如何计算三条共顶点射线所构成二面角的大小
清远市第一中学 郭智君
三条共顶点的射线，它们之间可以构成二面角。

如图（1），射线OA 、OB 、OC 可 构成的二面角有：二面角C OA B --、二面角C OB A --、二面角B OC A --，这些二面角的大小的计算也是值得研究的。

我就以已知三条射线之间的夹角来研究它们所构成二面角的大小。

设共顶点的三条射线OA 、OB 、OC 之间的夹角分别为1θ=∠AOB ，2θ=∠AOC ，3θ=∠BOC ，我们不妨研究二面角C OA B --的余弦值。

在研究过程中，我发现对三个角1θ、2θ、3θ进行分情况讨论来研究要方便得多，现把研究结果整理如下：
情况一：1θ、2θ均为锐角，),0(3πθ∈。

如图（2），不妨在射线OA 上任取一点D （O 点除外），作OA DE ⊥交OB 于点E ，再作OA DF ⊥交OC 于点F ，则EDF ∠为二面角C OA B --的平面角。

设θ=∠EDF 。

不妨设1=OD ，则1
c o s 1θ=
OE ，1tan θ=DE ，
2
cos 1
θ=OF ，2tan θ=DF 在△EOF 中，EOF OF OE OF OE EF ∠⋅⋅-+=cos 22
22，即
21322122cos cos cos 2cos 1
cos 1θθθθθ-
+=EF 在△EDF 中，EDF DF DE DF DE EF ∠⋅⋅-+=cos 22
22，即
θθθθθcos tan tan 2tan tan 2122122-+=EF
所以2
1322
12cos cos cos 2cos 1cos 1θθθθθ-+=θθθθθcos tan tan 2tan tan 2122
12-+ 化简，得2
12
13sin sin cos cos cos cos θθθθθθ-=
所以二面角C OA B --的余弦值为2
12
13sin sin cos cos cos θθθθθ-
情况二：1θ、2θ均为钝角，),0(3πθ∈。

如
图（3），在射线OA 的反向延长线上取一点D ，作OA DE ⊥交OB 于点E ，再作OA DF ⊥交OC 于点F ，则EDF ∠为二面角C OA B --的平面角。

设θ=∠EDF 。

不妨设1=OD ，则1
c o s 1
θ-=OE ，1tan θ-=DE ，2
cos 1θ-
=OF ，2tan θ-=DF 在△EOF 中，EOF OF OE OF OE EF ∠⋅⋅-+=cos 22
2
2
，即
O A
B
C
(1)
图O
A
B
C D
E F
(2)图O A B
C D
E F
(3)图
2
1322
122cos cos cos 2cos 1
cos 1θθθθθ-+=
EF 在△EDF 中，EDF DF DE DF DE EF ∠⋅⋅-+=cos 22
2
2
，即
θθθθθcos tan tan 2tan tan 2122122-+=EF
所以2
1322
12cos cos cos 2cos 1cos 1θθθθθ-+=θθθθθcos tan tan 2tan tan 2122
12-+ 化简，得2
12
13sin sin cos cos cos cos θθθθθθ-=
由此可知，二面角C OA B --的余弦值同样为2
12
13sin sin cos cos cos θθθθθ-
情况三：1θ、2θ中一个为锐角，另一个为钝角，不妨设1θ为锐角，2θ为钝角， ),0(3πθ∈。

如图（4），在射线OA 上任取一点D （O 点除外），作OA DE ⊥交
OB 于点E ，再作OA DF ⊥交OC 的反向延长线于点F ，则EDF ∠为二面角C OA B --的平面角θ的补角，则θπ-=∠EDF 。

不妨设1=OD ，则1
cos 1θ=OE ，1tan θ=DE ，
2
cos 1
θ-
=OF ，2tan θ-=DF 在△EOF 中，EOF OF OE OF OE EF ∠⋅⋅-+=cos 22
2
2
，即
2
1322
122cos cos cos 2cos 1
cos 1θθθθθ-+=
EF 在△EDF 中，EDF DF DE DF DE EF ∠⋅⋅-+=cos 22
2
2
，即
θθθθθcos tan tan 2tan tan 2122122-+=EF
所以2
1322
12cos cos cos 2cos 1
cos 1θθθθθ-+=θθθθθcos tan tan 2tan tan 212212-+ 化简，得2
12
13sin sin cos cos cos cos θθθθθθ-=
此时，二面角C OA B --的余弦值同样为2
12
13sin sin cos cos cos θθθθθ-
情况四：1θ、2θ中有一个为直角时，不妨设2
2π
θ=，),0(,31πθθ∈。

当2
1π
θ=时，显然二面角C OA B --的大小为3θ，二面角C OA B --的余弦值显然
满足2
12
13sin sin cos cos cos θθθθθ-。

当21πθ≠时，下面以)2
,0(,31π
θθ∈为例说明求二面角C OA B --的余弦值的方法。

如图（5），以射线OC 为x 轴，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，并且以OA 、
OC 为棱，以OB 为对角线长构造出长方体OB 。

设),,(z y x OB =，则)0,,(y x OD =，此
O A
B C D E F
(4)图
时二面角C OA B --的大小为向量OD 与向量)0,0,1(的夹角，设其大小为θ。

则有
2
221cos z
y x z ++==θ，
2
223|
|cos z y x x OB ++=
=
θ，
2
22cos z y x y BOE ++=
=
∠。

又因为在长方体OB 中，1cos cos cos 2
2
2
=∠+∠+∠BOC BOA BOE 所以32122cos cos 1cos θθ--=∠BOE
所以x ∶y ∶3cos θ=z ∶32
12
cos cos 1θθ--∶1cos θ 不妨取3cos θ=x ，32
12
cos cos 1θθ--=y ，1cos θ=z 则)0,cos cos 1,(cos 312
3θθθ--= 所以二面角C OA B --的余弦值为
1
3
1
231
23sin cos sin cos cos 1cos |
|cos θθθθθθθ=
=
-=
=
OD 当),2
(
,31ππ
θθ∈时，可类似在空间直角坐标系中构造一个以OB 为对角线的长方体，
用空间向量的坐标运算方法计算出二面角C OA B --的余弦值同样为1
3
sin cos cos θθθ=。

综述，二面角C OA B --的余弦值满足
2
12
13sin sin cos cos cos θθθθθ-。

情况五：当πθ=3时，显然二面角C OA B --的大小为π，此时1θ与2θ互为补角，
二面角C OA B --的余弦值显然满足
2
12
13sin sin cos cos cos θθθθθ-。

(5)
图。