导数全复习

导数的基本概念 一、基本知识点
1、导数的概念（几何意义）
1导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y
∆与x ∆的比
x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x
y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0
/
x x y =，
即x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()(lim
)(000
0/
2.导数的几何意义
函数()y f x =在点0x 处的导数/0()f x 就是曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即()/0k f x = 3．常见函数的导数公式：
0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -= x x e e =)'(a a a x x ln )'(=
x x 1)'(ln =
； e x
x a a l o g 1
)'(log =； 求导的特殊方法： ①常用结论：x
x 1
|)|(ln '=
. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或)
)...()(()
)...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转
化求代数和形式.
③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两
边求导可得x x x x x y y x y y x
x x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1
ln '''
例题讲解
1、某物体做直线运动，其运动规律是23
s t t
=+（t 的单位是秒，S 的单位是米），
则它在4秒末的瞬时速度为
2、如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ， 其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，， 则((0))f f = ；
(1)(1)
lim
x f x f x ∆→+∆-=∆ ．
（用数字作答）
3、若()()
00
31lim
t f x x f x x
∆→+∆-=∆，则()/0f x =（ ）
A 、1
B 、0
C 、3
D 、1
3
4、曲线21y x =+在点()1,2P 处的切线的斜率为 ，过点()2,2P 处的切线的斜率为
5、若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 （A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-
6、
7、点P 在曲线32
3
y x x =-+上移动，设以点P 为切点的切线的倾斜角为α，
求α的取值范围
8、已知点P 在曲线4
1
x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的
取值范围是 (A)[0,
4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)
4ππ
9、已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点()1,0处的切线，2l 为该曲线的另外一条切线，且12l l ⊥ （1）求直线2l 的直线方程
（2）求直线12,l l 和X 轴围成的三角形的面积。

10、对正整数n ，设曲线()1n y x x =-在2x =处的切线与Y 轴交点的纵坐标为
n a ，求数列1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和
2.13 导数的运算 一、基本知识点
1、导数的运算法则
)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．
[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=
'
2
''
(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭
2、复合函数的导数（仅限于()f ax b +的导数）
一般按以下三个步骤进行：
（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；
（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；
（3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数
1、求下列函数的导数
（1）cos sin y x x x =- （2）2
x x
y e += （3）1ln
1x
y x
+=-
2、设()()()()()12,2f x x x x x n n N n =+++∈≥ 求()/1f -
3、已知()1sin cos f x x x =+，记()()()()()()///
21321,,n n f x f x f x f x f x f x -===
(),2n N n ∈≥，则122011222f f f πππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
++=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4、已知曲线32:32C y x x x =-+,直线:l y kx =,且直线l 与曲线C 相切于点
()()000,0x y x ≠，求直线l 的方程及切点坐标。

5、求下列函数的导数
（1）()()211y x x =+- （2）1
1
x y x -=+
（3）sin 2y x = （4）ln x y e x =⋅ （5）()
4
1
13y x =- （6）2sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
6、求证双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积等于常数。

2.14导数的应用 一、基本知识点
1、函数()f x 在点0x 处的导数()/0f x 就是曲线在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即()/0k f x =
2、若曲线过点P ()00,x y ，求过点P 的切线则需要考虑点P 是否为切点 （1）若点P 是切点，则切线方程为()()/000y y f x x x -=- （2）当P 不是切点，分以下几步完成 第一步：设出切点坐标()()111,P x f x
第二步：写出过点()()111,P x f x 的切线方程()()()/111y f x f x x x -=-
第三步：将点P ()00,x y 代入切线方程求出1x
第四步：将1x 的值代入方程()()()/111y f x f x x x -=- 可得到过点
P ()00,x y 的切线方程。

3、求函数的单调区间
对于在(),a b 内的可导函数函数()f x ，且()/f x 在(),a b 的任意子区间内都不恒等于0.
()()/0f x f x ≥⇔在(),a b 上为增函数； ()()/0f x f x ≤⇔在(),a b 上为减函数
4、求函数极值的步骤 （1）求()/f x （2）求方程()/0f x =的根
（3）检查()/f x 在根左右值的正负，左正右负为极大值，左负右正为极小值 5、函数在闭区间上的最值
方法同求极值，另加求端点函数值与极大值比较所得最大的为最大值，端点与极小值比较所得最小的为最小值。

例1、 已知a R ∈，函数()()()24f x x x a =--，若()/10f -=，求()f x 在
[]2,2-上的最大值和最小值
例2、 已知函数()324f x ax bx x =++的极小值为-8，其导函数()/y f x =的图像经过点
()2,0-，如图所示
（1） 求函数()f x 的解析式
（2） 若函数()y f x k =-在区间[]3,2-上有两个不同的零点，求实数k 的取
值范围
例3、 如图，矩形ABCD 内接于由函数
1,0y y x y ==-=的图像围成的封闭图形，其中顶点C 、D 在0y =上，求矩形ABCD 面积的最大值
例4、设函数()()0kx f x xe k =≠
（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程 （2）求函数()f x 的单调区间
（3）若函数()f x 在区间()1,1-内单调递增，求k 的取值范围。

解：设函数()(0)kx f x xe k =≠
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）()()()()''1,01,00kx f x kx e f f =+==,
曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =. （Ⅱ）由()()'10kx f x kx e =+=，得()1
0x k k
=-
≠，
若0k >，则当1,x k ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，
当1,,x k ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增
若0k <，则当1,x k ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，
当1,,x k ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若0k >，则当且仅当1
1k
-≤-， 即1k ≤时，函数()f x ()1,1-内单调递增， 若0k <，则当且仅当1
1k
-
≥， 即1k ≥-时，函数()f x ()1,1-内单调递增，
综上可知，函数()f x ()1,1-内单调递增时，k 的取值范围是[)(]1,00,1- . 例5、已知函数()()x f x xc x R -=∈()()R x xe x f x ∈=-
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >
（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +> （Ⅰ）解：f ’()(1)x x x e -=- 令f ’(x)=0,解得x=1
当x 变化时，f ’(x)，f(x)的变化情况如下表
所以f(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数。

函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1
e
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2x e -
令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)x x F x xe x e --=+- 于是22'()(1)(1)x x F x x e e --=--
当x>1时，2x-2>0,从而2x-2e 10,0,F x e -->>又所以’(x)>0,从而函数F （x ）在[1,+∞)是增函数。

又F(1)=-1-1e e 0-=，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1）
若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。

（2）若121212(1)(1)0,)),.x x x x x x -->I ==≠12由（）及f(x f(x 得与矛盾。

根据（1）（2）得1212(1)(1)0,1, 1.x x x x --<<>不妨设
由（Ⅱ）可知，)2f(x >)2g(x ,则)2g(x =)2f(2-x ，所以)2f(x >)2f(2-x ,从而)1f(x >)2f(2-x .因为21x >，所以221x -<，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以1x >22x -,即12x x +>2. 例6、已知函数f (x )=In(1+x )-x +
2
2
x x (k ≥0)。

(Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间。

解：（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1
'()121f x x x
=-++ 由于(1)ln 2f =，3
'(1)2
f =
， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为
3
l n 2(1)2
y x -=
- 即 322l n 23x y -+-= （II ）(1)
'()1x kx k f x x
+-=+，(1,)x ∈-+∞.
当0k =时，'()1x
f x x
=-+.
所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.
当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x
+-=
=+，得10x =，210k
x k -=> 所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)k
k
-上，
'()0f x <
故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k
k
-+∞，单调递减区间是
1(0,)k k -.
当1k =时，2
'()1x f x x
=+
故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞.
当1k >时，(1)'()01x kx k f x x
+-=
=+，得11(1,0)k
x k -=∈-，20x =. 所以在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k
k
-上，'()0f x <
故()f x 得单调递增区间是1(1,)k
k
--和(0,)+∞，单调递减区间是
1(,0)k k
-
例7、已知函数2()()x k
f x x k e =-。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1
e
，求k 的取值范围。

【解析】解：（Ⅰ）.)(1
)(122x
e k x k
x f -='
令()00='f ，得k x ±=.
当k>0时，)()(x f x f '与的情况如下
所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单调增区间是
),(k k -当k<0时，)()(x f x f '与的情况如下
所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单调增区间是
),(k k -
（Ⅱ）当k>0时，因为e
e
k f k
1
)1(11>
=++，所以不会有.1
)(),,0(e
x f x ≤+∞∈∀
当k<0时，由（Ⅰ）知)(x f 在（0，+∞）上的最大值是.4)(2
e
k k f =-
所以e
x f x 1
)(),,0(≤+∞∈∀等价于.14)(2e e k k f ≤=-- 解得02
1
<≤-
k . 故当.1)(),,0(e x f x ≤+∞∈∀时，k 的取值范围是).0,2
1
[-
2.15 定积分与微积分基本定理
一、基本知识点
1、定积分的性质（规定 定积分定义中下限小于上限）
（1）()()b b
a
a
k f x dx k f x dx =⎰⎰ （K 为常数）
（2）()()()()()b b b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰
（3）()()()()b c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰
2、几种典型的曲边梯形面积的计算方法：
（1）由三条直线(),,x a x b a b x ==<轴，一条曲线()()()0y f x f x =≥围成的曲边提醒的面积()b
a S f x dx =⎰
（2）由三条直线(),,x a x b a b x ==<轴，一条曲线()()()0y f x f x =≤围成的曲边梯形的面积()()b b
a
a
S f x dx f x dx =
=-⎰⎰
（3）由两条直线(),,x a x b a b ==<一条曲线()()()()(),y f x y g x f x g x ==>围成的平面图形的面积()()b
a S f x g x dx =-⎡⎤⎣
⎦⎰
3、微积分基本定理 如
果
()()/F x f x =
且()
f x 在
[]
,a b 上可积，则
()()()()b
b
a
a f
x d x F x F b F a ==-⎰，其中
()F x 叫做()f x 的一个原函数
例1、计算下列定积分
（1）()2
2
3
034x x dx +⎰ （2）12
11
x dx x +-⎰
例2、 计算定积分()3
3
2332x x dx -++-⎰
例3、 4
21
dx x
⎰
等于 A 、2ln 2- B 、2ln 2 C 、ln 2- D 、ln 2
例3、设点P 在曲线2y x =上，从原点向()2,4A 移动，如果直线OP ，曲线2y x =及直线2x =所围成的面积分别记为12,S S
（1）当12S S =时，求点P 的坐标
（2）当12S S +有最小值时，求点P 的坐标和12S S +的最小值。