浙江省效实中学2013-高二下学期期中数学理试题

宁波效实中学
二○一三学年度第
二
学
期
期中考试高二（理）数学试卷
请将所有题目的答案填写在答卷的相应位置
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1．设()4f x ax =+，若(1)2f '=，则a 等于
A ．2
B ．2-
C ．3
D ．3- 2．已知函数()1cos ,f x x x =则'2f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
A ．2
π
-
B ．
2π C ．1
π
D ．1π-
3．函数2
(3)x
y x e =-的单调递增区间是
A.(,0)-∞
B. (0,)+∞
C. (,3)-∞-和(1,)+∞
D.(3,1)- 4．从1，2，3，4四个数字中任取几个数字作和（不重复取），则不同的结果有 A.4种 B.5种 C.8种 D.11种 5．函数()f x 的定义域为(,)a b ,导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所示,则函数()f x 在区间 (,)a b 内的极小值点有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
A ．4种
B ．10种
C ．18种
D ．20种
7．一个口袋中装有m 个白球，n 个黑球，从口袋中每次拿一个球不放回，第k 次拿到黑球的概率是
A ．k m n +
B ．kn m n +
C ．n
m n
+ D ．n k m n -+
8．已知函数()3
2
393f x x x x m =--+-在[]2,5x ∈-上有三个零点，则实数m 的取值范
围是
A ．(]24,8-
B ．(]24,1-
C ．[]1,8
D ．[)1,8
9．1223
910
10101010222C C C C +++
+的值为
A ．10
32⋅ B ．10
3 C ．921
2
- D ．10312-
10．已知函数321,,11
2()111,0,3
62x x x f x x x ⎧⎛⎤
∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦
=⎨⎡⎤
⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，函数()()sin 2206x g x a a a π=-+>，若存
在[]12,0,1x x ∈，使得()12()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 A ．]43,
21[ B ．]2
3
,43[ C ．]34,
32[ D ．]3
4
,21[ 二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分． 11．函数()()3
2'1,f x x xf =+-则()'
1f
-的值是 ▲ ．
12．曲线21
3
:2
2
x C y +=+
在点(1,2)P -处的切线方程为 ▲ ． 13．函数()2
ln f x x x ax =+-在定义域内是增函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．将3个小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子内，5号盒子中至少有一个球的概率是 ▲ ． 15．51
(2)x x
+
-展开式中系数最大的项的系数为 ▲ ． 16．一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，其中五个数字互不相同的五位数共有 ▲ 个． 17．已知函数()2
1ln 2
f x x ax bx =--，若1x =是函数()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共49分．要求写出解题过程或演算步骤． 18．在5
(12)x -展开式中,求 （I ）含4
x 的项；
（II ）所有二项式系数之和.
19．已知函数()()()32211
2132
f x x a x a a x =
-+++． （I ）若1a =，求()f x 在区间[]0,3上的值域； （II ）若22()()g x f x ax a x =+-，求函数()g x 的极值点．
20．某年级共6个班，举行足球赛．
（I ）若先从6个班中随机抽取两个班举行比赛，则恰好抽中甲班与乙班的概率是多少? （II ）若6个班平均分成两组,则甲班与乙班恰好在同一组的概率是多少?
（III ）若6个班之间进行单循环赛，规定赢一场得2分，平一场得1分，输一场得0分．假定任意两班比赛，赢、平、输的概率都相等，求最终甲班得8分的概率．
21．某班每周三共有8节课，上午4节，下午4节．要安排语文、数学、外语、物理、化学、
体育，还有两节自修课．
（I ）若数学、物理、化学要排在上午，两节自修课要排在下午，共有几种排课方法？ （II ）若体育不排第一节课，数学不排最后一节课， 共有几种排课方法？
（III ）若语文与数学要连排，两节自修课不连排，共有几种排法（第四、五节课不算连排）？
22．已知函数()ln f x x =．
（I ）证明曲线()y f x =与曲线1
y x x
=-有唯一的公共点； （II ）设0a b <<，比较()()2f b f a -与b a
b a
-+的大小，并说明理由．
高二数学（理）期中考试答案
1—10 AADCA BCDDD
11．3- 12．2ln 2(1)y x -=+ 13
．a ≤ 14．61125
15．210 16．1512 17．1a >- 18．（1）4
80x （2）32 19
．
（
1
）
令
2()320
f x x x '=-+=,得
1,2x x ==,5233
(0)0,(1),(2),(3),()[0,]6322
f f f f f x ====∈；
（2）322
11(),()32
g x x x ax g x x x a '=-+=-+,
当140a ∆=-≤,得1
4
a ≥,()0g x '≥恒成立,()g x 在R 上单调递增,函数无极值;
当1
4
a <
时, ()g x
在1(,
2--∞上递增
, 11(22+上递减
, )+∞上递增,
,
20．（1）261115C = （2）2
5
(3)1
2555
5381C C += 21．（1）864 （2）15480 (3)3264
22．（1）令11()()()ln h x f x x x x x x =--=--，则2/2213
()1124()10x h x x x x
---
=--=< ∴()h x 在(0,)+∞内单调递减，
又(1)ln1110h =-+=
所以1x =是函数()h x 的惟一的零点。

所以点(1,0)是两曲线惟一的公共点.
（2）1
ln ln 1ln 221b
b a b a b a b b a a a
----=-
++，
又因为0,a b <<所以
1b a >构造函数11()ln (1)21
x x x x x ϕ-=->+ 2
/
222
11(1)12(1)()02(1)2(1)2(1)
x x x x x x x x x x ϕ+---=-=-=>+++ ∴()x ϕ在(1,)+∞内单调递增
又当1x =时，/
(1)0ϕ=∴1x >时，()0x ϕ>即
11
ln 21
x x x ->
+ 则有1
1ln 21
b
b a
b a a
->+成立。

即ln ln 2b a b a b a -->+ 即()()2f b f a b a b a -->
+。