《数字信号处理》课件第4章 (2)

(4-6b)
j 1
V jk (z) Fjk (z)W j (z)
(4-7)
相应的信号流图如图4.8所示。
第四章 数字滤波器的结构表示
源节 点1 1 X(z)或x(n)
a
2
3
z－ 1 b
4
吸收 节点 1 Y(z)或y(n)
图4.8 标有支路传输比的Z变换形式的流图
第四章 数字滤波器的结构表示
在图4.8中，每一个支路的传输比均列于该支路的箭头之侧。 对支路（2、4）而言，它所作的是单位延迟变换， 此时的传递
第四章 数字滤波器的结构表示
第四章 数字滤波器的结构表示
4.1 引言 4.2 数字滤波器的信号流图表示 4.3 数字网络的矩阵表示 4.4 无限冲激响应(IIR)系统的基本网络结构 4.5 转置型 4.6 有限冲激响应(FIR)系统的基本网络结构
第四章 数字滤波器的结构表示
4.1 引 言
在设计数字滤波器的过程中，通常总是根据工程指标，按一 定的设计方法或技术，正确确定能够满足所需指标要求的滤波器 的数学模型，然后利用计算机或专用硬件加以实现。为了论述方 便， 我们把滤波器数学模型的确定放到第六章数字滤波器的设计 方法中专门研究，而把数学模型的具体实现放在这里先作必要的 介绍。 而且在这一章中，我们只对该数学模型的硬件实现作必要 的讨论， 利用计算机实现的软件设计则不再赘述。
第四章 数字滤波器的结构表示
S jk (z) bjk X j (z) Rjk (z) c jkWj (z)
把它们代入式（4-6），
N
M
Wk (z) Fjk (z)Wj (z) bjk X j (z)
j 1
j 1
N
Yk (z) c jkWj (z) j 1
这些方程可以方便地写成矩阵表示式， 即
节点的符号略加区别，例如习惯将源节点j的节点值写作xj，
并将由源节点j引向网络节点k的支路的输出表示为sjk 。
第四章 数字滤波器的结构表示
xj 源节 点j
wk 网络 节点k
图4.5 源节点表示法
第四章 数字滤波器的结构表示
wj 网 络 节 点j
yk 吸 收 节 点k
图4.6 吸收节点表示法
第四章 数字滤波器的结构表示
k 1
r 0
这里已设a0=1。 直接表征。
M
bk z r
H(z)
k 0 N
1 ak z k
k 1
（4-1） （4-2）
第四章 数字滤波器的结构表示
为了讨论方便， 我们将式（4-1
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
k 1
k 0
并将式（4-2）表示成
M
H (z)
Y (Z ) X (Z)
有延迟的元素分开来，即将FT(z)表示为
F T (z) FcT z 1FdT
(4-19)
式中 FcT与FdT均是N×N矩阵。于是矩阵方程式（4-11a）可表示
成
W (z) FcTW (z) z 1FdTW (z) BT X (z) (4-20)
同样，TT(z)的表示式可变成
T T (z) (1 FcT z 1FdT ]1 BT
W (z) F T (z)W (z) BT X (z)
Y (z) CTW (z)
(4-8) (4-9)
(4-10a) (4-10ｂ)
(4-11a) (4-11b)
第四章 数字滤波器的结构表示
则是一个N×N方阵。对于流图中不存在的支路（或者说是传输
比为零的支路），矩阵中的相应元素Fjk等于零。BT
第四章 数字滤波器的结构表示
于是，当网络具有M个源节点、N个网络节点及P个吸收节点
时，可由式（4-5）所示的方程组来表示此网络流图，
N
M
wk v jk s jk
j 1
j 1
(网络节点) (源节点)
k=1, 2, … N
(4-5a)
N
yk rjk j 1
(吸收节点)
k 1,2,, p
与从源节点得到注入流图的输入一样，我们常把只从支路 接受输出的节点称作吸收节点，如图4.6所示。图中也只画了一 个吸收节点，吸收节点k的节点值则以yk表示。另外，我们还将 连接网络节点j到吸收节点k的支路的输出表示成rjk。
按照规定，网络中每个节点的节点值等于引向该节点的所 有支路的输出之和。有时为了符号上表示方便，还假定网络中 的每对节点之间，都有方向相反的两个支路相连，而且每个源 节点均有支路与每个网络节点相连（这时有些支路的加权系数 实际为零就是）。此外，我们还假定源节点与吸收节点之间并 无支路直接相连（如有，则可另加一个网路节点将它们分开）。
图4.3给出了更一般的差分方程式（4-3）的框图表示。 其实这只是该差分方程的一种较为直观的描述，按不同的安排， 它还可以改画成多种不同的框图形式，其传递函数则保持不变。
第四章 数字滤波器的结构表示
b0 x(n)
y(n)
z－ 1
z－ 1
x(n－ 1)
b1
a1
y(n－1)
z－ 1
z－ 1
…… … …
第四章 数字滤波器的结构表示
x(n)
y(n)
z－ 1 a
图4.2 数字网络框图
第四章 数字滤波器的结构表示
对于最简单的一阶差分方程
y(n) ay(n 1) x(n)
可以用图4.2的数字网络框图表示。图4.2表明，利用专用 数字硬件实现数字滤波器时，必须设法存储变量和常数，也必 须提供相乘和相加的运算手段。
T T (z) [I F T (z)]1 BT {Tjk (z)} （4-15b）
常称作系统的传递函数矩阵。由式（4-15）描述的流图中的第
k个节点上的信号Wk(z)
M
Wk (z) Tjk (z) X j (z) j 1
（4-16）
第四章 数字滤波器的结构表示
即每个节点变量可表示成诸源节点变量的线性组合。当网
bk z k
k 0
N
1 ak zk
k 1
（4-3）
这种改变只涉及常系数的定义，不影响问题本质。
第四章 数字滤波器的结构表示
在这里有必要重申一下，我们是在假定这样的数学模型已 经设计完成的基础上，逐步展开滤波器硬件实现的研讨的。 事实上，从式（4-3）不难发现，它可以方便地用加法、延迟 并作不同的常系数加权运算等具体实现，也即此时的输出可以 用输入的延迟值乘以系数bk，并与输出的延迟值乘以系数ak后 累加求得。
……
z－ 1 x(n－M)
z－ 1
bM
aN
y(n－N)
图4.3 N阶差分方程的框图表示
第四章 数字滤波器的结构表示
在讨论数字滤波器结构时，采用线性信号流图有时比框图更 加简便。线性信号流图本质上与框图表示并无原则性差别。信号 流图的用途之一是便于以流图的形式表示时域离散系统，有利于 进行图上作业，而且网络的特性又一目了然。
(4-5b)
第四章 数字滤波器的结构表示
我 们 以 图 4.7 （ a ） 所 示 的 一 阶 数 字 滤 波 器 框 图 为 例 ， 图 4.7（b）则是与之对应的信号流图。
x(n)
y(n)
源节 点1 1
2
3
吸收 节点 1
z－ 1
a
b
x(n)
y(n)
a 4
b 单位 延迟 支路
(a)
(b)
图4.7（a）一阶数字滤波器的框图表示;（b） 对应的信号流图
第四章 数字滤波器的结构表示 例 我们不妨讨论图4.9所示的信号流图。
x(n)
w1
w2
b0 w3
y(n)
z－ 1
a1
b1
w4
图4.9 一个一阶系统的信号流图
第四章 数字滤波器的结构表示
由图4.9，可知此时
w1(n) a1w4 (n) x(n)
w2 (n) w1(n)
w3(n) b0w2 (n) b1w4 (n)
第四章 数字滤波器的结构表示
4.3 数字网络的矩阵表示
如前所述，以Z变换形式描述的信号流图可用式（4-6）、 （4-7）所示的方程组表示。当有关网络为线性移不变系统时， 每个支路均可用一传输比表示。而且，为了方便，通常还假定 各源节点至各网络节点以及各网络节点至各吸收节点之间的支 路均不作延迟运算，即此类支路的传输比都是一个与z无关的常 数, 这并不失其普遍性，因为必要时可另外插入一个网络节点， 它与源节点或吸收节点之间相连的支路不作延迟运算，而把与z 有关的运算归于它与相应的网络节点相连的那类支路的传输中。 于是，式（4-6）中的Sjk(z)、Rjk(z),
我们知道，所谓信号流图实际上是指节点间均有方向性支路 连接的一种网络。与每一个节点相对应的是变量或节点值， 节
点k的节点值以wk表示。 始于节点j止于节点k的支路则以图4.4所 示的箭头方向由j至k的连线来描述。每个支路均有一个输入信号 及一个输出信号。节点j传递给支路（jk）的信号为该节点的节 点值wj，它也是该支路的输入信号。支路(jk)对该输入信号作某 种变换fjk［ ］，使wj经变换后得vjk，并作为支路（jk）的输出 传递给节点k。这里的vjk可表示成vjk =fjk［wj ］。
B {bjk }
（4-13）
的N×M转置矩阵，CT则是矩阵
C {c jk }
（4-14）
的P×N转置矩阵。
于是，通过求逆矩阵可从式（4-11a）解得W(z)，这时
W (z) [I F T (z)]1 BT X (z) T T (z) X (z)
（4-15a）
第四章 数字滤波器的结构表示
式中I为单位矩阵， 而
所谓结构表示，在这里主要涉及框图、流图及矩阵等三种形 式。特别是，我们以后采用的数字网络表示，本质上就是实现数 字滤波器的信号流图。
第四章 数字滤波器的结构表示
4.2 数字滤波器的信号流图表示
在第一、二章中我们曾用下列差分方程描述线性移不变系 统的输入输出关系，
N
M
y(n) ak y(n k) br x(n r)
（4-21）
第四章 数字滤波器的结构表示
考虑到 FcT和FdT 是与z无关的常数，因此方程式（4-20）的Z反
变换分别为
w(n) FcTw(n) FdTw(n 1) BT x(n)
类似地，与式（4-11b
(4-22a)
y(n) C Tw(n)
（4-22b）
无用赘言，方程式（4-22）可从流图直接列出；反过来， 直 接从方程组也可以画出相应的信号流图。
第四章 数字滤波器的结构表示
从方程组（4-5）可得此时的
w1(n) s11(n) v41(n) x(n) aw4 (n) w2 (n) v12 (n) w1(n) w3 (n) v23(n) v43(n) w2 (n) bw4 (n) w4 (n) v24 (n) w2 (n 1) y(n) r31(n) w3(n)
第四章 数字滤波器的结构表示
wj
节 点j ( 支 路jk)
wk 节 点k
图4.4 信号流图中的节点和支路表示
第四章 数字滤波器的结构表示
另外，我们以源节点代表注入流图的外部输入，即通常的 信号源。源节点只有输出支路而无引入支路，如图4.5所示。 信号源当然可以不止一个。为了方便，我们还将源节点与网络
函数F24(z)=z-1。需要说明的是，有时为了方便，像图4.8中所
示那样，仍将节点变量用时域的序列表示，而不直接用Z变换表
示，这时的z-1应理解为把输入序列作单位延迟而非简单地在时 域作z-1加权。
当信号流图中的所有支路均能以传输比表示时，它代表的 方程组将是线性方程组，而线性方程组又可用相应的矩阵描述。
解上述方程组，可知
y(n) ay(n 1) x(n) bx(n 1)
第四章 数字滤波器的结构表示
事实上，式（4-5）所示的方程组也常以Z变换形式描述：
式中
N
M
Wk (z) V jk (z) S jk (z) k=1, 2, …, N
j 1
j 1
(4-6a)
N
Yk (z) R jk (z) k=1, 2, …, P
我们知道，用方框图表示差分方程时需要某些基本单元， 它们分别是加法器、延迟单元及常数乘法器，通常可以用图 4.1的形式表示。
第四章 数字滤波器的结构表示
x1(n)
x2(n)
(a)
x1(n)＋x2(n)
x(n) x(n)
a
a x(n)
(b)
z－ 1
x(n －1)
(c)
图4.1 (a) 两序列相加； （b）序列与常系数相乘； （c）序列作单位延迟
络仅有一个源节点（例如源节点a）不等于零时，其值为Xa (z)，而且假设此时只有一个吸收节点，其值为Y(z)，则网络
的输出
Y (z) C TW (z) C TT T X a (z)
(4-17)
因而系统可用如下的系统函数表征，即
H (z) C TT T
(4-18)
第四章 数字滤波器的结构表示
如果每一个支路的系统函数是一阶的，而且经常是乘一个 常系数，或是作一次单位延迟，于是可把无延迟的矩阵元素与