高考专题北京东城区高三二模文科数学试卷

高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
2016年北京东城区高三二模文科数学试卷一、单选题（共8小题）
1．已知集合，，那么（）A．B．
C．D．
2．如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是（）
A ．B．C．D．3．执行如图所示程序框图，则输出的结果是（）
A．B．C．D．
4．已知，为圆上关于点对称的两点，则直线的方程为（）
A．B．
C．D．
5．设，为实数，则“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知函数是偶函数,且，则（）A．B．C．D．
7．已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量
，则下列说法不正确的是（）
A．B．
C．D．
8．如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，，，它们的离心率分别为，，，则（）
A．B．
C．D．
二、填空题（共6小题）
9.如图所示，在复平面内，点A对应的复数为，则复数
_____________．
10.若函数在区间上有且只有一个零点，则实数_______．
11.已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数_______.
12.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为________.
13.已知数列满足,，且，，则；数列的前项的和为________．
14.一名顾客计划到某商场购物，他有三张商场的优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过元，则付款时减免标价的；
优惠劵B：若商品标价超过元，则付款时减免元；
优惠劵C：若商品标价超过元，则付款时减免超过元部分的．
某顾客想购买一件标价为元的商品，若想减免钱款最多，则应该使用优惠劵（填
A,B,C）；若顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于________元．
三、解答题（共6小题）
15.在△中，角，，所对的边分别是，，，且．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，且，求△的面积．
16.已知等差数列满足，，其前项和为.
（Ⅰ）求的通项公式及；
（Ⅱ）令，求数列的前项和.
17.在梯形中，，，.平面⊥平面
，四边形是矩形，，点在线段
上．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）试问当为何值时，AM//平面？证明你的结论．
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
18.某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数（单位：公里）分为类，即类：
，类：，类：．该公司对这辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：
（Ⅰ）从这辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过万公里的概率；
（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从类车中抽取了辆车．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）如果从这辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过万公里的概率．
19.已知椭圆与轴交于两点，为椭圆的左焦点，且△是边长为等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为（与
不重合），则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
20.设函数，．
（Ⅰ）若，求在区间上的最大值；
（Ⅱ）设，求证：当时，过点有且只有一条直线与曲线相切；
（Ⅲ）若对任意的，均有成立，求的取值范围．
答案部分
1.考点：集合的运算
试题解析：
所以。

故答案为：A
答案：A
2.考点：频率分布表与直方图
试题解析：由题知：中位数在[10,15]内，设为x，
则解得：x=13.
故答案为：C
答案：C
3.考点：算法和程序框图
试题解析：是；是；是；
否。

则输出的结果是。

故答案为：D
答案：D
4.考点：圆的标准方程与一般方程
试题解析：因为A,B关于P对称，且A，B在圆上，所以直线
又直线AB过P，所以直线的方程为：
即。

故答案为：A
答案：A
5.考点：充分条件与必要条件
试题解析：若，不一定，如a=-1,b=
反过来，成立。

所以“”是“”的必要而不充分条件。

故答案为：B
答案：B
6.考点：函数的奇偶性
试题解析：因为函数是偶函数,
所以
故答案为：B
答案：B
7.考点：平面向量的几何运算
试题解析：A显然正确；
当时，所以B正确；
因为，所以
所以。

故D正确。

对C：当时成立，所以C错误。

故答案为：C
答案：C
8.考点：椭圆
试题解析：在椭圆中，
椭圆中，
椭圆中，
椭圆中，
所以。

故答案为：D
答案：D
9.考点：复数乘除和乘方
试题解析：A(2，-1),所以。

故答案为：
答案：
10.考点：函数图象
试题解析：问题等价于：y=-a与在区间上有且只有一个交点。

结合图像可知：
故答案为：
答案：
11.考点：双曲线
试题解析：由题知：实轴长2a=2,虚轴长2b,所以2b=4a=4,所以b=2.
故答案为：
答案：
12.考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图
试题解析：该几何体是一个三棱锥，一条侧棱垂直于底面。

由题知：底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为2.
所以面积最大的面为前面的面，
所以
故答案为：
答案：
13.考点：数列的递推关系数列的概念与通项公式
试题解析：因为,，且，所以
所以数列中的项以6为周期循环出现，且每个周期内6项的和为0.
因为2016恰好是6的336倍，所以数列的前项的和为0.
故答案为：；
答案：
14.考点：函数模型及其应用
试题解析：某顾客想购买一件标价为元的商品，若使用优惠劵A：减免元；
若使用优惠劵B：减免20元；
若使用优惠劵C：减免元。

所以若想减免钱款最多，则应该使用优惠劵B.
设他购买的商品的标价为x元，
根据题意有：，解得：x>225.
故答案为：B；
答案：B；
15.考点：解斜三角形余弦定理
试题解析：（Ⅰ）由，得.
又，所以．
由余弦定理可得．
（Ⅱ）由已知，且,
所以．
故△的面积．
答案：（Ⅰ）．（Ⅱ）
．
16.考点：倒序相加，错位相减，裂项抵消求和等差数列
试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，
由，得，又，解得．
所以．
所以．
（Ⅱ）由，得．
设的前项和为，
则．
故数列的前项和为．
答案：（Ⅰ）
．．（Ⅱ）数列的前项和为．
17.考点：空间几何体的表面积与体积平行垂直
试题解析：（Ⅰ）由题意知，梯形为等腰梯形，且，，
由，可知.
又平面平面，且平面平面，平面，所以平面.
又平面，
所以.
（Ⅱ）当时，平面.
证明如下：
当，可得，故
在梯形中，设，连结，由已知可得，
所以.
所以.
又EM//AN,
所以四边形为平行四边形.
所以AM//NE.
又平面，平面，
所以AM//平面.
当时，AM//平面.
（Ⅲ）由已知可得△的面积，
故.
答案：（Ⅰ）由题意知，梯形为等腰梯形，且，，由
，可知. 又平面平面，且平面平面
，平面，所以平面. 又平面，所以. （Ⅱ）当时，平面
. 证明如下：当，可得，故在梯形
中，设，连结，由已知可得，所以. 所以.
又EM//AN, 所以四边形为平行四边形. 所以AM//NE. 又平面，平面，所以AM//平面. 当时，AM//平面.
（Ⅲ）.
18.考点：古典概型
试题解析：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过万公里的概率为
．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意．
（ⅱ）辆车中已行驶总里程不超过万公里的车有辆，记为；辆车中已行驶总里程超过万公里的车有辆，记为．
“从辆车中随机选取两辆车”的所有选法共种：
．
“从辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过万公里”的选法共种：
．
则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过万公里的概率．
答案：（Ⅰ）万公里的概率为．（Ⅱ）（ⅰ）依题意
．（ⅱ）概率．
19.考点：椭圆
试题解析：（Ⅰ）依题意可得，且，解得．
所以椭圆的方程是．
（Ⅱ）由消，得．
设，，则．且，．经过点，的直线方程为
令，则
又
故当时，
．
即直线与轴交于定点．
答案：（Ⅰ）椭圆的方程是．（Ⅱ）由消，得
．设，，则．且
，．经过点，的直线方程为
令，则
又故当时，
．即直线
与轴交于定点．
20.考点：导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性
试题解析：（Ⅰ）当时，．．
令，得或．
当，有，所以在区间上是增函数；
当时，有，所以在区间上是减函数；
所以在区间上的最大值为．
（Ⅱ）设过点的直线与曲线相切于点，
则，且切线斜率为．
所以，即．
所以，解得．
即存在唯一的切点．
所以过点有且只有一条直线与曲线相切．
（Ⅲ）当时，对任意，不等式显然成立；
当时，不等式等价于．
当时，不等式等价于恒成立．
令，，
则，当时，显然，
所以在区间上单调递增，
所以在区间上有最小值．
所以．
当时，不等式等价于恒成立．
令，，
当时，，
所以，当时，不等式对恒成立．
综上，实数的取值范围是．
答案：（Ⅰ）在区间上的最大值为．（Ⅱ）设过点的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为
．所以，即．所以
，解得．即存在唯一的切点．所以过点有且只有一条直线与曲线相切．（Ⅲ）实数的取值范围是
．。