勾股定理课题报告

勾股定理课题报告
数学研究性课题
课题名称：勾股定理
【定义】
在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。

即勾的平方加股的平方等于弦的平方
【简介】
勾股定理是余弦定理的一个特例。

这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。

（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。

他们发现勾股定理的时间都比中国晚，中国是最早发现这一几何宝藏的国家。

目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。

勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。

【勾股定理指出】
直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。

也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c 的平方a^2+b^2=c^2勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。

”它被记录在了《九章算术》中。

【勾股数组】
满足勾股定理方程a2+b2=c2；的正整数组（a，b，c）。

例如3、4、5（即勾三、股四、弦五）就是一组勾股数组。

由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。

勾股数组的通式：
a=M^2-N^2
b=2MNc=M^2+N^2
(M>N,M,N为正整数）
【推广】
1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。

即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

2、勾股定理是余弦定理的特殊情况。

3、勾股定理曲安京：商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明。

刊于《数学传播》20卷，台湾，1996年9月第3期，20-27页。

周髀算经，文物出版社，1980年3月，据宋代嘉定六年本影印，1-5页。

陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。

刊於《汉学研究》，1989年第7卷第1期，255-281页。

李国伟：论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。

刊於《第二届科学史研讨会汇刊》，台湾，1991年7月，227-234页。

李继闵：商高定理辨证。

刊於《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29-41页。

【勾股定理的来源】
毕达哥拉斯是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。

据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

毕达哥拉斯在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。

法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

常用勾股数组(3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17) ;(7,24,25)
有关勾股定理书籍
《数学原理》人民教育出版社
《探究勾股定理》同济大学出版社
《优因培教数学》北京大学出版社
《勾股书籍》新世纪出版社
《九章算术一书》
《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社
《几何原本》（原著：欧几里得）人民日报出版社
【多种证明方法】
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。

路明思
（Elisha Scott Loomis）的Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。

证法1
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。

过点C作AC的延长线交DF于点P.
∵D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌RtΔEBD，
∴∠EGF= ∠BED，
∵∠EGF+ ∠GEF= 90°，
∴∠BED+ ∠GEF= 90°，
∴∠BEG=180°―90°=90°
又∵AB = BE = EG = GA = c，
∴ABEG是一个边长为c的正方形。

∴∠ABC+ ∠CBE= 90°
∵RtΔABC ≌RtΔEBD，
∴∠ABC= ∠EBD.
∴∠EBD+ ∠CBE= 90°
即∠CBD=90°
又∵∠BDE= 90°，∠BCP= 90°，
BC = BD = a.
∴BDPC是一个边长为a的正方形。

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
A2+B2=C2
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b （b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。

把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；
再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵∠BCA= 90°，QP∥BC，
∴∠MPC= 90°，
∵BM⊥PQ，
∴∠BMP= 90°，
∴BCPM是一个矩形，即∠MBC= 90°。

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA= 90°，∠ABC+∠MBA=∠MBC= 90°，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP= 90°，∠BCA = 90°，BQ= BA = c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA
.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b （b>a），斜边长为c.再作一个边长为c的正方形。

把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD= 90°，
∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，
∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE
∴∠ABG=∠BCJ,
∵∠BCJ+∠CBJ=90°，
∴∠ABG+∠CBJ=90°，
∵∠ABC=90°，
∴G,B,I,J在同一直线上，A2+B2=C2。

作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB 于点M，交DE于点L.
∵AF = AC，AB= AD，∠FAB=∠GAD，
∴ΔFAB≌ΔGAD，
∵ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴矩形ADLM的面积=.
同理可证，矩形MLEB的面积=.
∵正方形ADEB的面积
=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积
∴即A2+B2=C2。