2018年高考文科数学全国卷2有答案

数学试题第1页(共14页) 数学试题第2页(共14页)
本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码 区域
内。

2--选择题必须使用 2B
铅笔填涂；非选择题必须使用
0.5
毫米黑色字迹的签字笔书写, 卷 字体工整、笔迹清
楚。

3 .请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿
纸、试题卷上答题无效。

4-1—隹图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5 .保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(本题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。

)
1 . i(2+3i)= — 答
A. 3-2i
B. 3+2i C, -3-2i D. -3 + 2i 2 .已知集合 A ={1,3,5,7 J, B ={2,3,4,5 }则 A D B =
A. {3}
B. {5}
C. {3,5}
D.
{1,2,345,7 }
x _x
e - e .....
------ 3-.--函数f(x)=L 的图象大致为 题 X
B C
口
------- 4—E 知向量 a, b 满足 | a | =1 , ab= T,则 a (2 a —b )= 效
A. y = ±，2x
B . y = ±V 3x
C. y =±— x
2
. C 、5
7.在 ^ABC 中，cos — =— , BC=1, AC = 5,则 AB=
2 5
A. 4r 2
B. 730
C. 729
D, 275
，一 1 1 1 1 1 ，一 8 .为计算S = 1— +——+HI+ ---------- ,设计了右侧
2 3 4 99 100
的程序框图，则在空白框中应填入
A . i =i +1 B. i =i +2 C. i =i +3 D. i=i +4
9 .在长方体ABCD —AB I C I D I 中，E 为棱CC I 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正
切值为 八 2
o 3
-5 0
飞
A . —
B . —
C. —
D.—
10 .若f (x) = cosx —sinx 在［0, a ］是减函数，则 a 的最大值是
A. — B . - C. - D.n
4 2 4
11 .已知F I , F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1 1 PF 2，且/PF 2F I = 601
则C 的离心率为
.1 一立
B, 2-73 C.心
D, «-1
2
2
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0
绝密★启用前
-
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中 2人都是女同学的概
率为
A. 0.6
2
6.双曲线二 B. 0.5 C. 0.4
D. 2
二=1(a>0,bA0)的离心率为73,则其渐近线方程为 b 0.
3
D.
y 」x 2
数学试题第3页（共14页） 数学试题 第4页（共14页）
12.已知f （x ）是定义域为（叼 F ）的奇函数，满足f （1—x ） = f （1+x ） .若f （1） =
2,则 卜图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线
图.
16.已知圆锥的顶点为 S,母线SA, SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30©,若△雷 回归模
型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2川，17 ）建立模型
①：？ = 40.4+13.5t ；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,川，7） 建立模型②：y?=99+17.5t.
记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知a 1 =-7, S 3 =-15 .
（1）求｛a n ｝的通项公式;
（2）求S ,并求Sn 的最小值.
19. (12 分)
PA=PB=PC = AC=4,。

为 AC 的中点.
(1)证明：PO_L 平面ABC ; POM 的距离.
18. (12 分)
f ⑴・ f(2) f(3)山 f(50)= A. *0 B. 0 C. 2 D. 50
投资镀小
340 220
二、填空题（本题共 4小题，每小题5分，共20分） 13.曲线 y =2ln x 在点（1,0）处的切线方程为 14.若 x, lx +2y -5> 0, y 满足约束条件 4x -2 y+3> 0,则z =x+y 的最大值为 x -5< 0, 15.已知tan
5
兀
100
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量t 的两个线性 0
2000
2D02 2003 2MU 2005 2006 3007 20fts JfflW 2010 2011 2012 2013 20U 2CI52016 年份
的面积为8 ,则该圆锥的体积为
三、解答题（共 70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第
17~21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。

第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。

）
（一）必考题：共 60分。

17. （12 分）
（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值; （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.
如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB = BC = 2& ,
（2）若点 M 在^^BC 上，且 MC=2MB,求点C 到平面 B
20.(12 分)
设抛物线C： y2=4x的焦点为F ,过F且斜率为k(k >0)的直线l与C交于A , B两点，|AB|=8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A , B且与C的准线相切的圆的方程.
21.. (12 分)
1 a o
已知函数f (x) =-x -a(x +x +1). 3
(1)若a =3,求f (x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点.
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第
一题计分。

22.［选彳4-4:坐标系与参数方程］(10分)
x =2cos
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x2CO s , (。

为参数)，直线l的参数
j =4sin 0,
方程为卜=1 '3% (t为参数).
y =2 +tsin a,
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.23.［选彳4-5:不等式选讲］(10分)
设函数f(x) = 5—|x + a|_|x—2| .
(1)当a = 1时，求不等式f(x)>0的解集;
(2)若f(x) W1 ,求a的取值范围.
数学试题第5页(共14页) 数学试题第6页(共14页)
数学试题第7页(共14页) 数学试题 第8页(共14页)
9.【答案】C
f (x )= f (-x ),所以f (x )为奇函数，排除A,又X T ~ e x —e ^T -He
【解析】设 PF 2
= r , PF 1 = J3r , F 1F 2 = 2r ,又 r 3r = 2a , a = 2r=2c,. c = r
. AB 2
=12 52 -2 1 5 (-3) =26 6 =32 , AB =4、. 2 .
5
一. 1 1 1 1 1 1 i =1 时，N =0+—， T =0+— i =2时，N = 0+_+_, T=0+_+―,
1 2 , 1 3 2 4
【解析】当z = x +y ,过点C ( 5,4)时，z 有最大值z max = 9
、选择题
1.
2.
3.
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学答案解析
i 2 3i =2i -3
因为 A={1,3,5,7}, B={2,3,4,5},故 AB={3,5}
【解析】如图：取中点 DD 1中点为F ,连接EF ,则EF II CD
二AE 与CD 所成的角即为 ZAEF ,在AAEF 中，/AEF=90^
AE 5
.tanZAEF =——=—— J
EF 2
【解
析】
3_.
■ a max = 一
■
4
f x-x 二
1
co
s
JI x
— 4 ' f ( x )在［0
,a ］上单调递减，则 2
a (2a-b) =2a -a
b =2 1 =3
3-1
5.
12.【答案】C
记选中的 2人都是女同学为事件 A,则P(A )=
C 32
3
【解析】：f (1 一 x )= f (1+x ),,y = f ( x )图象关于x = 1对称，又是奇函数，
6.
,2
2
2
b c -a
7.
C ； 一
10 .
. cosC 」，. cosC=2cos 2
C-1=2
二 f (x )是一个周期函数，且T=4;又 f (1)=2 , f (x )= f (2-x ),.\ f (2)= f (0)=0,
f 3 =f -1 - 1 =-2
f 1 =2, f 2 =0,f 3 =-2, f 4 =0, .f 1f 2f 50)= f 1 f 2)=2
二、填空题
13.【答案】y = 2x-2
8.
绝密★启用前
4.
,31
2
［解析］y = 2lnx , y' = - y'= =
2 x -
二在点(0,0 )处的切线方程为： y= 2( x-1尸2x-2.
14.【答案】9
依次下去…i =i 2.
3
15 .【答案】
3
2
5二 1
1 tan ： -1 . 3 【斛析】• tan 『--J= g ,即 tan y ---
= --- - - tana =-
16 .【答案】8兀
【解析】S A =S B =S C =l , /SAC =30彳AC =百，AB=V2l .
S ABC -1l 2
-8, . l =4, . AC =4, r =2 3, h = 42
—12 =2
.V =1|_-： _r 2 _h = 1I_二 l_12_2 =8 二.
3
3
三、解答题
17 .【答案】（1） a n=2n —9 2
2
（2）
s
n
=n —8
n=（n —
4）
—16，取小值为-16
【解析】解：（1）设｛a n ｝的公差为d 1由题意得3a1+3d=?15. 由a 1 = -7彳导.
所以｛% ｝的通项公式为 a n =2n — 9
（2）由（1）得 S n =n 2 -8n =（n -4）2 -16 .
所以当n=4时，&取得最小值，最小值为-16
18 .【答案】（1）模型①：y = 430.4 +13.5父19 =226.1 （亿元），模型② y =99 +17.5 父9 =256.5（亿元） （2）利用模型②得到的预测值更可靠 .
【解析】解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y = T0 .# 1 3.5 19 2亿比）1
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y =99 +17.5 父9 =256.5 U 乙元）.
（2）利用模型②得到的预测值更可靠 .
理由如下：
⑴从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线
y = T0.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好
数学试题第9页（共14页）
地描述环境基础设施投资额的变化趋势
.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明
显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近 ，这说明从2010年开始环
境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势
，利用2010年至2016年的数据建立的线
性模型y =99 + 17.5t 可以较好地描述 2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势 ，
因
此利用模型②得到的预测值更可靠
.
（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额 220亿元，由模型①得到的
预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理 ，说明利 用模型②得到的预测值更可靠 .
以上给出了 2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分
^
19 .【答案】（1）见解析 （2）运
5
【解析】证明：（1）因为AP = CP= AC = 4,。

为AC E 中点，所以OP _L AC ,且OP= 2内.
2 一
连结OB.因为AB= BC =— AC ,所以^ABC 为
2
1 等腰直角三角形，且OB_LAC , OB=」AC = 2.
2
由 OP 2
+OB 2 = PB 2
知，OP_LOB .
由 OP_LOB , OP_L AC 知 PO_L 平面 ABC .
（2）作CH _LOM ,垂足为H.又由（1）可得OP_L CH ，所以CH _L 平面POM
故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.
由题设可知 OC=1AC =2, CM =ZBC =4—2
, . ACB = 45 .
2
3 3 所以 OM =AJ , CH =
OC
MC sin ACB
=41 . 3
OM 5
所以点C 到平面POM 的距离为竽.
20.【答案】（1） y = x -1
（2） （x —3）2+（y —2）2
=16 或（x —11）2
+（y + 6）2
= 144
数学试题第10页（共14页）
【解析】解：(1)由题意得F(1,0),l的方程为y =k(x -1)(k>0).
设A(X i,y i) , B(X2,y2).
,y =k(X -1),/曰 2 2 2 2
由《°得k x -(2k +4)x + k =0.
y =4x
2
2 , 2k24
△ =16k2+16=0,故x1 +x2 =——.
k2
4k2+4 所以AB = AF + BF =(x1 +1) +(x2 +1) =—2—k2
4k24 * .
由题设知——=8,解得k= T(舍去),k =1. k2
因此l的方程为y =x -1
即y = -x 5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
T ：：y°-x°+1)2 解得内=
3'或俨"11' (x0 1)2 =(V0 2。

~~- 16.
y。

=2 y0=-6.
因此所求圆的方程为
_2 _2_. 2 _2
(x -3)2+(y —2)2 =16 或(x -11)2+(y+6)2 =144.
21.【答案】(1) f(x)的单调递增区间为(3,3-2石)，(3+2百代)
f (x )的单调递减区间为(3-2^3,3 +2J3 )
(2)见解析
【解析】解：(1)当a =3时，f(x)=1x3—3x2 —3x—3, f'(x)=x2—6x—3. 3
令f (x) =0解得x =3-273或*=3+273.
6 36 12 6 4 .3
x> ---------- = ------ =3+253 或x<3-2,3 时，f (x)>0；
2 2
3-2 J3< x<3 2 3, f (x) <0.
f (x )的单调递增区间为(-°°,3 -273 ), (3 +2亚E )
f (x )的单调递减区间为(3 -273,3 +2炳)
3
(2)证明：由于x2+x + 1>0,所以f(x) = 0 等价于一^——3a=0. x x 1
3.. . x2(x22x 3) 一..一
设g(x)=i ------- -3a,则g(x)=T^ --------- 田主0,仅当x=0 时g'(x)=0，所以x2x 1 (x x 1)
g(x)在(8,收)单调递增.故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.
一 2 1 12 1 1
又f(3a-1) = —6a +2a— =-6(a--) —<0, f (3a +1)=—a 0,故f (x)有一个3 6
6 3
零点.
综上，f(x)只有一个零点.
112 2 1 2 3 因为f (x) (x x 1)(x -1 - 3a), x x 1 = (x ) 一0,
3 3 2 4
所以f (1 3a)=10 , f (-2 3a) = -(x2x 1) ：：0 .
3
综上，f(x)只有一个零点.
22.【答案】(1)当cosx #0时，l的直角坐标方程为y=tana，x + 2—tana ,
当cosot =0时，l的直角坐标方程为x = 1 .
(2)直线l的斜率k = tan a = -2.
2 2
【解析】解：(1)曲线C的直角坐标方程为上十工=1.
4 16
当cosot ¥0时，l的直角坐标方程为y=tan a x + 2- tan«,
当cosot =0时，l的直角坐标方程为x = 1 .
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(1 +3cos2«)t2 +4(2cos«+sin n)t-8 = 0 .①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1 , t2,则t1 t2 = 0.
又由①得t1 +t2
故2cosot +sin a = 0 ,
1 3cos ;
于是直线l的斜率k = tan ot =—2 .
23.【答案】(1) f(x)之0的解集为{x|-2W x W3}.
(2) a的取值范围是(㈤,—6]U[2,F)
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2 =-(x-3),
数学试题第11页(共14页) 数学试题第12页(共14页)
f2x 4,x -1,
【解析】解：(1)当2=1时，”力=12,—1<^e2,
-2x 6,x 2.
可得f (x)之0的解集为{x|—2MxM3}.
(2)f (x) M1 等价于|x+a |+|x —2及4.
而|x+a|+|x—20|a+2|,且当x = 2时等号成立.故f (x)E1等价于|a+2巨4.
由|a+2巨4可得a <-6或a之2 ,所以a的取值范围是(㈤,—6]U [2, +和.
数学试题第13页（共14页）数学试题第14页（共14页）。