江苏高考数学一轮复习《特征值与特征向量》教程学案

第12课__特征值与特征向量____
1. 掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义．
2. 会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)．
3. 会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题.
1. 阅读：选修42第66～73页.
2. 解悟：①从几何观点分析，特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一直线上，当λ>0时，方向不变；当λ<0时，方向相反；当λ＝0时，特征向量就被变换成零向量．②对于一个二阶矩阵A ，不是对任意的一个非零向量a 都存在一个实数λ使Aα＝λα.③若向量α是属于λ的特征向量，则k α(k ≠0)也是属于λ的特征向量，即特征向量不唯一，但均为共线向量．④若特征多项式f (λ)＝0无解，则矩阵无特征值．
3. 践习：在教材空白处，完成第 73页习题第1、3题.
基础诊断
1. 求矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
－125
23的特征值和特征向量．
2. 已知二阶矩阵A 有特征值λ1＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11和特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤10，试求矩阵A .
范例导航
考向
运用特征值与特征向量的定义
例1 已知x ，y ∈R ，向量a ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个
特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．
已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b c 2有特征值λ1＝4及其对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23.
(1) 求矩阵M ；
(2) 求曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在矩阵M 对应的变换作用下的新曲线方程．
考向
多次变换求法
例2 给定矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2561及向量α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－29.
(1) 求M 的特征值及对应的特征向量；
(2) 确定实数a ，b 使向量α可表示为α＝a e 1＋b e 2； (3) 利用(2)中表达式间接计算M 3α，M n α.
已知向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 10b 的属于特征值λ1
＝2的一个特征向量．
(1) 求矩阵M ；
(2) 求α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤21，求M 10α.
自测反馈
1. 已知二阶矩阵M 的特征值λ＝1及对应的一个特征向量e ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－1，
且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求
矩阵M .
2. 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2－21，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，试计算M 20α.
1. 运用定义求特征值与特征向量时，不同的特征值对应的特征向量不相等；矩阵的特征向量是在矩阵变换下的不变量．
2. 变换的几何意义：只改变特征向量的长度不改变方向．
3. 你还有哪些体悟，写下来：
第12课 特征值与特征向量
基础诊断
1. 解析：矩阵M 的特征值λ满足方程
f (λ)＝⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪
λ＋1－2－52
λ－3＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)×⎝⎛⎭⎫－52＝0，即λ2－2λ－8＝0，
解得矩阵M 的两个特征值为λ1＝4，λ2＝－2.
将λ1＝4代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪
⎧（λ＋1）x －2y ＝0，－52x ＋（λ－3）y ＝0，得矩阵M 的属于特征值4的一个
特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤25.
将λ2＝－2代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪
⎧（λ＋1）x －2y ＝0，－52
x ＋（λ－3）y ＝0，得矩阵M 的属于特征值－2的
一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－21.
综上所述，λ1＝4，λ2＝－2，属于特征值λ1＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤25，属于特征值λ2＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－21.
2. 解析：设矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a b c d ，a ，b ，c ，d ∈R .
因为e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A 的属于λ1＝1的特征向量， 则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1－a －b －c 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
00.①
因为e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10是矩阵A 的属于λ2＝2的特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－a －b －c 2－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤00.② 根据①②，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－a －b ＝0，－c ＋1－d ＝0，2－a ＝0，－c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，
b ＝－1，
c ＝0，
d ＝1，
所以A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2－101.
范例导航
例1 解析：由已知得Aα＝－2α，
即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－22， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，
所以矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
－1120，
所以矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 令f (λ)＝0，解得A 的特征值为λ1＝－2，λ2＝1，
所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－1120，它的另一个特征值为1.
解析：(1) 由已知得⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1b c 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝4⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋3b 2c ＋6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
812，即
⎩⎪⎨⎪⎧2＋3b ＝8，2c ＋6＝12，解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3， 所以M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1232.
(2) 设曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1上的任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵M 对应的变换作用下
得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1232⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ， 即⎩
⎪⎨⎪
⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋2y ，解得⎩⎨⎧x ＝y ′－x ′2，y ＝3x ′－y ′4.
代入5x 2＋8xy ＋4y 2＝1，得x ′2＋y ′2＝2，
即曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在矩阵M 对应的变换作用下得到的新曲线的方程是x 2＋y 2＝2.
例2 解析：(1) 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
λ－2－5－6λ－1
＝(λ＋4)(λ－7)， 令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值为λ1＝－4，λ2＝7.
当λ1＝－4时，设对应的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则它满足方程组⎩
⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －5y ＝0，－6x ＋（λ－1）y ＝0，则可
取e 1＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
5－6为λ1
＝4的一个特征向量． 同理可得λ2＝7的一个特征向量为e 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11. 综上所述，M 的特征值为λ1＝－4，λ2＝7.
λ1＝－4对应的一个特征向量为e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
5－6，
λ2＝7对应的一个特征向量为e 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11. (2) 由a ＝a e 1＋b e 2得⎩
⎪⎨⎪⎧5a ＋b ＝－2，
－6a ＋b ＝9，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，
故当a ＝－1，b ＝3时，向量α可表示为α＝－e 1＋3e 2.
(3) M 3α＝－λ31e 1＋3λ3
2e 2
＝64⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5－6＋1 029⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 349645. M n α＝－λn 1e 1＋3λn 2e 2
＝－(－4)n ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5－6＋3×7n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5×（－4）n 6×（－4）n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤
3×7n
3×7n ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－5×（－4）n
＋3×7n
6×（－4）n ＋3×7n .
解析：(1) 由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即⎩⎪⎨
⎪⎧a ＋1＝2，b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，
故矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
102. (2) 由(1)可知M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1102，则求出其另一个特征值为1，其对应的一个特征向量为e
2
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤10. 又α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，令α＝m e 1＋n e 2，可解得m ＝1，n ＝1，即α＝e 1＋e 2，故M 10α＝M 10e 1＋M 10
e 2
＝210⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11＋110⎣⎢⎡⎦⎥⎤
10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210
＋1210＋0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 0251 024.
自测反馈
1. 解析：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，再由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤31，
易得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤2101.
2. 解析：令矩阵M 的特征多项式f (λ)＝(λ－1)2－4＝0，得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个
特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1和⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，而α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＋2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，
所以M 20
α＝320
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－1＋2×(－1)20⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤320
＋2－320＋2.。