八年级数学沪科版 第17章 一元二次方程全章热门考点整合应用全章热门考点综合应用

2a2＋2a＋1的值．
解：∵x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根， ∴2a2＋a－2＝0，即2a2＋a＝2. ∴ 原 式 ＝ a2(2a2 ＋ a) ＋ 2a2 ＋ 2a ＋ 1 ＝ 2a2 ＋ 2a2 ＋ 2a ＋ 1 ＝ 2(2a2＋a)＋1＝5.
(2)解：∵方程的一个根是2， ∴4－14＋12－m2＝0，解得m＝± ，
∴原方程为x2－7x＋10＝0，解得x＝2或x＝25，
即m的值为± ，方程的另一个根是5.
2
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关系2 一元二次方程根与系数的关系
5．(中考·随州)已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝
0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求k的取值范围；
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8．如图，在长方形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P 从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此 同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移 动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到 点C时，两点停止运动，设运动时间为t s. (1)BQ＝________cm，PB＝________cm (用含t的代数式表示)．
＝(2x1＋x2)2－2x1x2＝4a2－2a2－8a＋4＝2(a－2)2－4.
，x1且2 2x(22a－2)2≥0，∴当a＝ 时，
的值最小．
此时
＝2
－4＝ ，即最小值为 .
1
2 x12 x22
1 2
2
2
1 12
x12 x22 1
2
2Hale Waihona Puke 点拨 7题 返回点拨： 本 题 中 考 虑 Δ≥0 ， 从 而 确 定 a 的 取 值 范 围 这 一 过 程 易 被 忽 略．
且a＝ ＋
－2，求 (a b)2018 的值．
4c c4
2017c
解：∵a＝ 4 c ＋ c 4 －2，
∴4－c≥0且c－4≥0.
∴c＝4，则a＝－2.
又∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a－b＋c＝
0，
∴b＝a＋c＝－2＋4＝2.∴原式＝
＝0.
(2 2)2018 2017 4
(2)若
＝－1，求k的值．
11
x1 x2
解：(1)由题意得Δ＝(2k＋3)2－4k2＞0，解得k＞－ 3 ；
(2)∵x1＋x2＝－(2k＋3)，x1x2＝k2，
4
∴
＝－1，
∴ 解k得2－k12＝k－ 3，x131 ＝k2＝x012，－ 1x1x，1xx2 2
(2k k2
3)
经 检验 k1＝3 ，k2＝ －1都是 原分式方 程的根 ． 由 (1)得k ＞
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考点 2 一个解法——一元二次方程的解法
3．(桐城校级月考)按指定的方法解下列方程： (1)2x2－5x－4＝0(配方法)； (2)3(x－2)2－x2＋2x＝0(因式分解法)； (3)2x2－7x＋3＝0(公式法)．
解：(1)由原方程，得x2－ 5 x＝2， 配方，得x2－ 5 x＋2 25 ＝2＋ 25 ，
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考点 4 一个应用——一元二次方程的应用
7．(繁昌月考)某汽贸公司销售某种型号的汽车，每辆汽车的 进价为12万元，该店经过一段时间的市场调查后发现： 当销售价为20万元/辆时，平均每周能售出8辆，而当销 售价每降低0.5万元/辆时，平均每周能多售出1辆． (1)若汽车销售价定为x万元/辆，则平均每周的销售量是 多少？
APQCD 的 面 积 为 26 cm2 ， ∴ △ PBQ 的 面 积 为 30 － 26 ＝
4(cm2)．∴(5－t)×2t× 1 ＝4，解得t1＝4(舍去)，t2＝1.故当t ＝1时，五边形APQCD的2 面积等于26 cm2.
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考点 5 三种思想
思想1 整体思想 9．已知x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，求代数式2a4＋a3＋
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考点 1 两个概念
概念1 一元二次方程
1．若ax2－5x＋3＝0是一元二次方程，则不等式3a＋6＞0
的解集是( )
A．a＞－2 B
B．a＞－2且a≠0
C．a＞－
D．a＜－2
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概念2 一元二次方程的根
2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm? (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？ 若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)2t；(5－t) (2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52， 解得t1＝0(舍去)，t2＝2. 当t＝2时，PQ的长度等于5 cm. (3)存在t的值使得五边形APQCD的面积等于26 cm2.理由 如下： ∵长方形ABCD的面积为5×6＝30(cm2)，五边形
即
∴x1＝x
5 4
2
2 ，则1x6＝ 57 16，x2＝
5
4
16
57
；
，
(2)3(x－2)52－ x5(x7－2)＝0，5 57
(x－2)[3(x－4 2)－x]＝0， 4
x－2＝0，3(x－2)－x＝0，
x1＝2，x2＝3； (3)2x2－7x＋3＝0，a＝2，b＝－7，c＝3，Δ＝49－24＝25，
(2)该汽贸公司要想平均每周的销售利润为70万元，并 且尽量让利于顾客，则汽车的销售价应为多少？
解：(1)平均每周的销售量是[8＋2(20－x)]辆； (2)设汽车的销售价应为x万元/辆，由题意，得 (x－12)[8＋2(20－x)]＝70， 解得x1＝17，x2＝19. 为让利于顾客，则x＝17符合题意． 答：汽车的销售价应为17万元/辆．
－ ，∴k＝3.
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4
6．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0
的两个实数根，当a为何值时，
有最小值？最小值是
多少？
x12 x22
解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2a)2－4(a2＋4a－2)≥0，
∴a≤ ∴ ∵a≤
.又∵1 x1＋x2＝－2a，x1x2＝a2＋4a－2，
∴x＝
，∴x1＝3，x2＝ .
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考点 3 两个关系
关系1 一元二次方程根的判别式与系数的关系 4．(繁昌月考)已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－4)－m2
＝0. (1)求证：对任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
、
(1)证明：∵(x－3)(x－4)－m2＝0，∴x2－7x＋12－m2＝0， ∴Δ＝(－7)2－4(12－m2)＝1＋4m2， ∵m2≥0，∴Δ＞0， ∴对任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；