机械控制基础

系统线性化过程中，需注意的地方： 系统线性化过程中，需注意的地方：
(1)线性化是相应于某一额定工作点的，工作点不同，则所得 (1)线性化是相应于某一额定工作点的 工作点不同， 线性化是相应于某一额定工作点的， 的方程系数也往往不同。 的方程系数也往往不同。 (2)变量的偏移愈小，则线性化精度愈高。 (2)变量的偏移愈小 则线性化精度愈高。 变量的偏移愈小， (3)增量方程中可认为其初始条件为零， (3)增量方程中可认为其初始条件为零，即广义坐标原点平移 增量方程中可认为其初始条件为零 到额定工作点处。 到额定工作点处。 (4)线性化只适用于没有间断点、折断点的单值函数。 4)线性化只适用于没有间断点 折断点的单值函数。 线性化只适用于没有间断点、 (5)某些典型的本质非线性 如继电器特性、 某些典型的本质非线性， 死区、 (5)某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩 擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化， 擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化， 只有当它们对系统影响很小时才能忽略不计， 只有当它们对系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作为 非线性问题处理。 非线性问题处理。
2.1 控制系统的微分方程
实际的物理系统往往有死区、饱和、 实际的物理系统往往有死区、饱和、间隙等各类 非线性现象。严格来讲， 非线性现象。严格来讲，几乎所有的实际的物理系统 都是非线性的。 都是非线性的。
尽管线性系统理论已是相当成熟， 尽管线性系统理论已是相当成熟，但非线性系统 理论还不完善。另外， 理论还不完善。另外，由于叠加原理不适用于非线性 系统，这给解非线性系统带来很大不便。 系统，这给解非线性系统带来很大不便。故对非线性 系统进行线性化处理，用线性系统理论进行分析。 系统进行线性化处理，用线性系统理论进行分析。
2.1 控制系统的微分方程
增量较小时略去其高次幂项， 增量较小时略去其高次幂项，则有 ：
y − y0 = f (x) − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 )
'
令
∆y = y − y0 ∆x = x − x0
∆y = k ∆x
则有
k = f ( x) x=x0
'
k为比例系数，即函数f(x)在x0点切线的斜率。 f(x)在 点切线的斜率。 为比例系数，即函数f(x) 增量方程。 上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。 上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程
控制系统的数学模型
◎2.1 ◎2.2 ◎2.3 ◎2.4 ◎2.5
控制系统的微分方程 传递函数 系统传递函数的方框图及其简化 控制系统信号流图和梅逊公式 典型物理系统的微分方程和传递函数
2.1 控制系统的微分方程
建立控制系统的数学模型， 建立控制系统的数学模型，并在此基础上对 控制系统进行分析、综合， 控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基 本方法。对于机电控制系统， 本方法。对于机电控制系统，在输入作用下有些 什么运动规律，我们不仅希望了解其稳态情况， 什么运动规律，我们不仅希望了解其稳态情况， 更重要的是要了解其动态过程。如果将物理系统 更重要的是要了解其动态过程。 在信号传递过程中的这一动态特性用数学表达式 描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。 描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。 数学模型是描述系统输入、 数学模型是描述系统输入、输出及内部变量 之间关系的数学表达式。 之间关系的数学表达式。系统数学模型既是分析 系统的基础，又是综合设计系统的依据。 系统的基础，又是综合设计系统的依据。
a、b均为常数，为线性定常微分方程 均为常数， 均为常数
线性是指系统满足叠加原理， 线性是指系统满足叠加原理，即： 是指系统满足叠加原理 可加性： 可加性： f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) 齐次性： 齐次性： f (α x ) = α f ( x ) 或： f (αx1 + β x2 ) = αf ( x1 ) + β f ( x2 )
θ o (t ) 输出摆角
l
θo
m
单摆质量
l
单摆摆长
m
••
根据牛顿第二定律： 根据牛顿第二定律：
T i ( t ) − mgl sin θ o ( t ) = ml 2 θ o ( t )
i (t )
图 2－ 6 单 摆
将非线性项 sin θ o 在 θ o = 0 附近用泰勒级数展开，当 θ o 附近用泰勒级数展开， 很小时，可忽略高次项，得到近似的线性化方程： 很小时，可忽略高次项，得到近似的线性化方程：
∂f ( x1, x2 ) 1 ∂2 f ( x1, x2 ) + [ ( x1 − x10 )2 + 2 ( x1 − x10 )( x2 − x20 ) 2 2! ∂x1 ∂x1∂x2 ∂2 f ( x1, x2 ) + ( x2 − x20 )2 ] +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ∂x22 略去二级以上导数项，并令： 略去二级以上导数项，并令： ∆y = y − f ( x10 , x20 )
∂z x= x0 ( x − x0 ) + ∂y y = y0
x= x0 y = y0
( y − y0 ) = x0 y0 + y0 ( x − x0 ) + x0 ( y − y0 )
2.1 控制系统的微分方程
这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的， 这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的， 在平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点” 在平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点”。
2.1 控制系统的微分方程
建立控制系统数学模型的方法有 ： 分析法－应用物理规律、电学规律、力学规律等， 分析法－应用物理规律、电学规律、力学规律等， 对系统各部分的运动机理进行分析。 对系统各部分的运动机理进行分析。 实验法－人为施加某种测试信号， 实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响 对于复杂系统，需要通过实验， 应。对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数 拟合出比较接近实际系统的数学模型。 据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。
y0 = f ( x0 )
称为系统的静态方程 称为系统的静态方程。 静态方程。
2.1 控制系统的微分方程
两个变量的非线性函数： 两个变量的非线性函数：
y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附近用泰勒级数为： 同样可在某工作点（ 附近用泰勒级数为： ∂f ( x1, x2 ) ∂f ( x1, x2 ) y = f ( x1, x2 ) = f ( x10 , x20 ) + [ ( x1 − x10 ) + ( x2 − x20 )] ∂x1 ∂x2
∂z z = x0 y0 + ∂x
因此，线性化方程式为： 因此，线性化方程式为：z − z0 = y0 ( x − x0 ) + x0 ( y − y0 ) 66=11(x-6)+6(yz-66=11(x-6)+6(y-11) z=11x+6yz=11x+6y-66 x=5,y=10时 的精确值为z=xy=5 z=xy=5× 当x=5,y=10时，z的精确值为z=xy=5×10=50 由线性化方程求得的z值为z=11x+6y 66=55+60z=11x+6y－ 由线性化方程求得的z值为z=11x+6y－66=55+60-66=49 1 = 2% 因此，误差为50 49=1， 50因此，误差为50-49=1，表示成百分数 50
2.1 控制系统的微分方程
建立数学模型的意义 1)可定性地了解系统的工作原理及其特性 可定性地了解系统的工作原理及其特性; (1)可定性地了解系统的工作原理及其特性; (2)更能定量地描述系统的动态性能 更能定量地描述系统的动态性能; (2)更能定量地描述系统的动态性能; (3)揭示系统的内部结构 揭示系统的内部结构、 (3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间 的关系。 的关系 工程上常用的数学模型有微分方程、 工程上常用的数学模型有微分方程、传递 微分方程 函数和状态方程等 和状态方程等。 函数和状态方程等。微分方程是基本的数学模 是传递函数的基础。 型，是传递函数的基础。
2 & & & xo (t ) + xo (t )gxo (t ) + xo (t ) = xi (t )
x(t ) + x (t ) + x(t ) = f (t ) x(t ) + [ x (t ) − 1] x(t ) + x(t ) = y (t )
2 gg g
gg
g 2
实际的系统通常都是非线性的， 实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工 作范围内成立。 作范围内成立。 为分析方便，通常在合理的条件下， 为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统 简化为线性系统处理。 简化为线性系统处理。
2.1 控制系统的微分方程
试把非线性方程 z=xy 在区域5≤x≤7 、 10≤y≤12上线性 在区域5≤x≤7 10≤y≤12上线性 并用线性化方程来计算当x=5 y=10时 值所产生的误差。 x=5， 化，并用线性化方程来计算当x=5，y=10时z值所产生的误差。 由于研究的区域为5≤x≤7 10≤y≤12， 5≤x≤7、 解：由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故选择工作点 =6， =11。于是z =6×11=66。 x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66。 附近非线性方程的线性化表达式。 求在点x =6， =11， =66附近非线性方程的线性化表达式 求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。 将非线性方程在点x 处展开成泰勒级数， 将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶 则有： 项，则有：
2.1 控制系统的微分方程
非线性元件微分方程线性化的一般方法： 非线性元件微分方程线性化的一般方法：
具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或 具有连续变化的非线性函数的线性化， 小偏差法进行线性化处理。在一个小范围内， 小偏差法进行线性化处理。在一个小范围内，将非线性特 性用一段直线来代替。（分段定常系统） 。（分段定常系统 性用一段直线来代替。（分段定常系统）
2.1 控制系统的微分方程
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数 为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时 为常数，则为 ； 的函数，则为 ； 间t的函数，则为线性时变系统；宇宙飞船控制系统
& & an xo ( n ) (t ) + L + a1 xo (t ) + a0 xo (t ) = bm xi ( m ) (t ) + ... + b1 xi (t ) + b0 xi (t )
1 '' y = f ( x) = f ( x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2!
'
d sin θ sin θ = sin 0 + dθ
2 ••
θ =0
(θ − 0) = θ
ml θ o ( t ) + mgl θ o ( t ) = T i ( t )
∆x1 = x1 − x10
∆x2 = x2 − x20
∂f ( x1 , x2 ) ∂f ( x1 , x2 ) ∆y = ∆x1 + ∆x2 = K1∆x1 + K 2 ∆x2 ∂x1 ∂x2 称为增量方程 称为增量方程
2.1 控制系统的微分方程
单摆的微分方程数学模型： 单摆的微分方程数学模型： Ti (t ) 输入力矩
2.1 控制系统的微分方程
非线性系统 若a、b中有系数依赖于xi、x0 或它们的导函数，或者， 中有系数依赖于 、 或它们的导函数，或者， 在微分方程中出现t的其他函数形式， 在微分方程中出现t的其他函数形式，则该方程就是 非线性的。用非线性微分方程描述的系统。 非线性的。用非线性微分方程描述的系统。非线性 系统不满足叠加原理。 系统不满足叠加原理。
y
y=f(x)
一个变量的非线性函数 y=f(x)， y=f(x)，在x0处连续可微， 处连续可微， 则可将它在该点附近用泰 勒级数展开： 勒级数展开：
'
y0
x
0
x0
1 '' y = f ( x) = f ( x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2!