【中考冲刺】构造全等、相似、方程模型求证线段之间的数量关系

【中考冲刺】构造全等、相似、方程模型求证线段之间的数量
关系
【知识准备】
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

平行线的判定：
判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角相等，两直线平行。

”
等腰三角形的“三线合一”性质：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质：
①矩形的四个角都是直角；
②矩形的对角线相等 .
(注意：矩形具有平行四边形的一切性质 .)
矩形的判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形。

全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

相似三角形的性质
定义相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

定理相似三角形任意对应线段的比等于相似比。

定理相似三角形的面积比等于相似比的平方。

相似三角形的判定
定理两角分别对应相等的两个三角形相似。

定理两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

定理三边成比例的两个三角形相似。

定理一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。

定理平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。

【考点】
（1）正方形的性质；同角的余角相等；等腰三角形的三线合一的性质；全等三角形的判定与性质；中点的定义；
（2）全等三角形的性质；平行线的性质与判定；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的概念；
（3）矩形的判定与性质；参数法（特殊值法）；相似三角形的判定与性质；一元二次方程及其解法；锐角三角函数的概念。

【解析】
（1）如图 1 ，过点 B 作BG ⊥ CE 于点 G ，
则有∠BGC = ∠BCD = 90°，
∴ ∠GBC + ∠BCG = 90°，
∠BCG + ∠ECD = 90°，
∴ ∠GBC = ∠ECD ,
∵ ∠BGC = ∠CED = 90°，
BC = CD ，
∴ △BGC ≌ △CED（AAS）
∴ DE = CG ；
∵ BE = BC ，BG ⊥ CE ，
∴ CG = GE , 即 CE = 2 CG ，
∴ CE = 2 DE ；
【本题关键点】构造全等三角形、矩形和相似三角形，利用他们的性质与判定结合等腰三角形的三线合一性质及锐角三角函数的概念解决问题。