五大基本初等函数①

考点三：五大基本初等函数
● 一次函数
1、定义：一般地，形如b kx y +=(k ≠0,b 是常数)，那么y 叫做x 的一次函数。

特别地，当b =0时称y 为x 的正比例函数，可表示为kx y =(k ≠0)，这时的常数k 也叫比例系数。

正比例函数图像经过原点。

2、性质：
①在正比例函数时，y 与x 的商一定(x ≠0）。

在反比例函数时，y 与x 的积一定； ②一次函数与y 轴交点的坐标总是(0,b )，与x 轴总交于（k
b -，0）。

正比例函数的图像都
经过原点且为奇函数，定义域、值域均为R ； ③在两个一次函数表达式中，
k 相同，b 也相同，则这两个一次函数的图像重合； k 相同，b 不相同，则这两个一次函数的图像平行； k 不相同，b 不相同，则这两个一次函数的图像相交；
k 不相同，b 相同，则这两个一次函数图像交于y 轴上的同一点（0,b ）； k 互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直； ④图像的性质
⑤当k >0时，一次函数在定义域内单调递增；当k <0时，一次函数在定义域内单调递减。

k 、b 的符号 k >0、b >0 k >0、b <0 k <0、b >0 k <0、b <0
图像的大致位置 y
0 x y
0 x y
0 x y
0 x 经过象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限
性质
y 随x 的增大而
增大
y 随x 的增大而
增大
y 随x 的增大而
减小
y 随x 的增大而
减小
● 二次函数
1、定义：一般地，形如c bx ax y ++=2（其中a 、b 、c 是常数，a ≠0，b 、c 可以为0）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、性质：
①二次函数图像是轴对称图形。

对称轴为直线a
b x 2-
=，对称轴与抛物线唯一的交点为抛
物线的顶点P ，顶点坐标P （a
b 2-
，
a
b a
c 442
-）；特别地，当b =0时，抛物线的对称轴是y
轴（即直线x =0）。

当a
b 2-
=0时，P 在y 轴上；当Δ=ac b 42-=0时，P 在x 轴上；
②二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。

开口向上或向下的抛物线才是二次函数； ③二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。

a)当a >0时，抛物线开口向上；函数在a
b x 2-=处取得最小值f (a
b 2-)=
a
b a
c 442
-；在
（∞-，a
b 2-）上是减函数，在（a
b 2-
，∞+）上是增函数；函数的值域是[
a
b a
c 442
-，
∞+)；
b)当a <0时，抛物线开口向下，函数在a
b x 2-
=处取得最大值f (a
b 2-
)=
a
b a
c 442
-；在
（∞-，a b
2-）上是增函数，在（a b
2-，∞+）上是减函数；函数的值域是(∞-，a
b
ac 442
-]；
c)|a |越大，则抛物线的开口越小；
④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。

当a 与b 同号时（即a b >0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即a b <0），对称轴在y 轴右；当b =0时，抛物线的对称轴是y 轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为c ax y +=2
(a ≠0). ⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。

抛物线与y 轴交于（0，c ）
⑥抛物线与x 轴交点个数:Δ=ac b 42
->0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ=ac b 42
-=0时，
抛物线与x 轴有1个交点；当Δ=ac b 42-<0时，抛物线与x 轴没有交点； 3、表达式：
①一般式：c bx ax y ++=2
(a ≠0,a 、b 、c 为常数)，顶点坐标为（a
b 2-
，
a
b a
c 442
-），
从题中找三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a 、b 、c 的值； ②顶点式：k h x a y +-=2)((a ≠0,a 、h 、k 为常数),顶点坐标为（h ，k ），对称轴为直线x =h ，当x =h 时，y 最值为k 。

有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；
③交点式：))((21x x x x a y --=(a ≠0) ，仅限于与x 轴有交点的抛物线，即ac b 42-≥0； 已知抛物线与x 轴有交点A （1x ，0）和B （2x ，0）,我们可设))((21x x x x a y --= (a ≠0)，然后在题中找出第三点代入x 、y 中便可求出a 。

4、图像性质：
5、用待定系数法求二次函数的解析式：
①当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x 、y 的三对对应值时，可设解析式为一般形式：c bx ax y ++=2
(a ≠0)；
②当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：k h x a y +-=2
)((a ≠0)；
③当题给条件为已知图象与x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：
Δ=ac b 42-
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
c
bx ax
y ++=2
(
a >0)
y
0 x y
0 x y
0 x c bx ax ++2
=0
的根（即最值）
a
b x 22,1∆
±
-=
a b x x 221-
==
φ
))((21x x x x a y --= (a ≠0)
对称关系（可不抄，主要理解）：对于一般式：
①c bx ax y ++=2与c bx ax y +-=2两图像关于y 轴对称
②c bx ax y ++=2与c bx ax y ---=2两图像关于x 轴对称
③c bx ax y ++=2与c bx ax y +--=2两图像关于顶点对称
④c bx ax y ++=2与c bx ax y -+-=2关于原点对称。

对于顶点式：
①k h x a y +-=2)(与k h x a y ++=2)(两图像关于y 轴对称，即顶点（h ，k ）和（-h ，k ）关于y 轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。

②k h x a y +-=2)(与k h x a y ---=2)(两图像关于x 轴对称，即顶点（h ，k ）和（h ，-k ）关于x 轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。

③k h x a y +-=2
)(与k h x a y +--=2
)(两图像关于顶点对称，即顶点（h ，k ）和（h ，k ）相同，开口方向相反。

④k h x a y +-=2
)(与k h x a y -+-=2
)(两图像关于原点对称，即顶点（h ，k ）和（-h ，-k ）关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。