高考数学一轮复习 第七章 不等式 第2讲 一元二次不等式的解法课件 理

12/11/2021
答案
解析
12/11/2021
核心考向突破
考向一 一元二次不等式的解法 例 1 解下列关于 x 的不等式： (1)0<x2－x－2≤4； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0.
12/11/2021
解 (1)原不等式等价于
x2－x－2>0， x2－x－2≤4
⇔xx22－ －xx－ －26≤ >00，
a>0， Δ＝22－4×2a<0，
解得 a>12.综上，所求实数 a 的取值范围是12，＋∞.
12/11/2021
答案
解析
6．(2019·海南模拟)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x≥0 时，f(x) ＝x2－4x.那么，不等式 f(x＋2)＜5 的解集是________．
答案 (－7,3) 解析 当 x≥0 时，f(x)＝x2－4x＜5 的解集为[0,5)，又 f(x)为偶函数，所 以 f(x)＜5 的解集为(－5,5)．所以 f(x＋2)＜5 的解集为(－7,3)．
(2)x2－(a2＋a)x＋a3>0.
解 (1)将原不等式移项通分得3xx－－54≥0，
等价于x3－x－5≠40x，－5≥0，
所以原不等式的解集为xx≤43或x>5
.
12/11/2021
答案
(2)原不等式化为(x－a)(x－a2)>0， ①当 a2－a>0，即 a>1 或 a<0 时， 原不等式的解为 x>a2 或 x<a. ②当 a2－a<0，即 0<a<1 时， 原不等式的解为 x<a2 或 x>a； ③当 a2－a＝0，即 a＝0 或 a＝1 时，原不等式的解为 x≠a. 综上①②③得 a>1 或 a<0 时不等式解集为{x|x>a2 或 x<a}； 当 0<a<1 时，不等式解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 或 a＝1 时，不等式解集为{x|x≠a}．
12/11/2021
(2)若关于 x 的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对一切实数 x 恒成立，则 实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，－2) C．(－2,2) D．(－2,2] 答案 D
解析 不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 恒成立的条件为当 a＝2 时，－
12/11/2021
答案
其解为 x<1a或 x>1. 综上所述 a＝0 时，不等式解集为{x|x>1}；
0<a<1 时，不等式解集为x1<x<1a ；
a>1
时，不等式解集为x|
1a<x<1；
a<0 时，不等式解集为xx<1a或x>1 ；
当 a＝1 时，不等式解集为∅.
12/11/2021
答案
触类旁通 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
5
7
15
A.2
B.2
C. 4
) 15
D. 2
答案 A
解析 由条件知 x1，x2 为方程 x2－2ax－8a2＝0 的两根，则 x1＋x2＝2a， x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得 a＝52.故选 A.
12/11/2021
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不 等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
2当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系. 3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大 小关系，从而确定解集形式.
12/11/2021
即时训练 1.解不等式：(1)2xx－＋51≥－1；
例 3 (1)(2019·吉林模拟)不等式 x2－2x＋m>0 对一切实数 x 恒成立的充
要条件是( )
A．m>2
B．0<m<1
C．m>0
D．m>1
答案 D
12/11/2021
答案
解析 若不等式 x2－2x＋m>0 对一切实数 x 恒成立，则对于方程 x2－2x ＋m＝0，Δ＝4－4m<0，解得 m>1，所以 m>1 是不等式 x2－2x＋m>0 对一切 实数 x 恒成立的充要条件，结合选项知选 D.
⇔xx－ －23xx＋ ＋12≤>00，
⇔x－>22或 ≤xx<≤－3.1，
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{x|－2≤x<－1 或 2<x≤3}．
12/11/2021
答案
(2)原不等式化为(ax－1)(x－1)<0. ①当 a＝0 时，其解为 x>1； ②当 0<a<1 时，其解为 1<x<1a； ③当 a>1 时，其解为1a<x<1； ④当 a＝1 时，无解； ⑤当 a<0 时，不等式化为x－1a(x－1)>0，
12/11/2021
触类旁通 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根， 由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二 次项系数的正负.
12/11/2021
即时训练 2.(2019·重庆模拟)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)的解
集为(x1，x2)，且 x2－x1＝15，则 a＝(
12/11/2021
②当a2≥1，即 a≥2 时，f(x)min＝f(1)＝1－a＋a2>0， 解得 a<2，与 a≥2 矛盾； ③当－1<a2<1，即－2<a<2 时，f(x)min＝fa2＝a42－a22＋a2>0，解得 0<a<2. 综上可得，实数 a 的取值范围是(0,2)．
答案 B
解析 解法一：当 x＝0 时，不等式为 1≥0 恒成立；当 x>0 时，x2＋2ax ＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－x＋1x，又－x＋1x≤－2，当且仅当 x＝1 时 取等号，所以 2a≥－2⇒a≥－1，所以实数 a 的取值范围为[－1，＋∞)．
12/11/2021
答案
解析
解法二：设 f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线 x＝－a.当－a≤0， 即 a≥0 时，f(0)＝1>0，所以当 x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0 恒成立；当－a>0， 即 a<0 时，要使 f(x)≥0 在[0，＋∞)上恒成立，需 f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2 ＋1≥0，得－1≤a<0.综上，实数 a 的取值范围为[－1，＋∞)．
答案
解析
3．若 x2＋px＋q<0 的解集为{x－12<x<13，则不等式 qx2＋px＋1>0 的解 集为________．
答案 {x|－2<x<3}
12/11/2021
答案
解析 ∵x2＋px＋q<0 的解集为{x－12<x<13， ∴－12，13是方程 x2＋px＋q＝0 的两实数根，由根与系数的关系，得
)
A．{xx<4
B．{x|3<x<4}
C．{xx<32或x>4
D．{x32<x<4
答案 C
解析
不等式Βιβλιοθήκη x－4 3－2x<0
等价于x－32 (x－4)>0，所以不等式的解集是
{xx<32或x>4.
12/11/2021
答案
解析
3．(2019·安徽淮北模拟)若(x－1)(x－2)<2，则函数 y＝(x＋1)(x－3)的值
13－12＝－p， 13×－12＝q，
∴ p＝16， q＝－16.
∴不等式 qx2＋px＋1>0，可化为－16x2＋16x＋1>0，
即 x2－x－6<0，∴－2<x<3.
∴不等式 qx2＋px＋1>0 的解集为{x|－2<x<3}．
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考向三 一元二次不等式恒成立问题
角度1 形如 f(x)≥0(x∈R)
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2．三个二次之间的关系
12/11/2021
12/11/2021
1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0 且 b2－4ac<0(x∈R)． 2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0 且 b2－4ac<0(x∈R).
12/11/2021
1．(2019·成都模拟)不等式 2x2－x－3>0 的解集为( )
12/11/2021
(2)若关于 x 的不等式 ax>b 的解集为－∞，15，则关于 x 的不等式 ax2 ＋bx－45a>0 的解集为________．
答案 －1，45
12/11/2021
答案
解析 由 ax>b 的解集为－∞，15，可知 a<0，且ba＝15.将不等式 ax2＋bx －45a>0 两边同时除以 a，得 x2＋bax－45<0，所以 x2＋15x－45<0，即 5x2＋x－4<0， 解得－1<x<45，故不等式 ax2＋bx－45a>0 的解集为－1，45.
第2讲 一元二次不等式的解法
12/11/2021
12/11/2021
基础知识整合
1．一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 □01 大于 零的不等式
ax2＋bx＋c>0(a>0)或 ax2＋bx＋c<0(a>0)．
(2)计算相应的 □02 判别式 ． (3)当 □03 Δ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与 x 轴的 □04 交点 确定一元二次不等式的解集．
域是( )
A．(0,3)
B．[－4，－3)
C．[－4,0) D．(－3,4]
答案 C
解析 由(x－1)(x－2)<2 解得 0<x<3.因为函数 y＝(x＋1)(x－3)图象的对 称轴是 x＝1，故函数 y＝(x＋1)·(x－3)在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递 增，在 x＝1 处取得最小值为－4，在 x＝3 处取值为 0，所以函数值域为[－ 4,0)．故选 C.
12/11/2021
答案
解析
5．若关于 x 的不等式 ax2＋2x＋2>0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范 围是________．
答案 12，＋∞
解析 当 a＝0 时，原不等式可化为 2x＋2>0，其解集不为 R，故 a＝0 不 满 足 题 意 ， 舍 去 ； 当 a≠0 时 ， 要 使 原 不 等 式 的 解 集 为 R ， 只 需
答案
解析 由不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(－4,1)， 知 a<0 且－4,1 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根． ∴－4＋1＝－ba，且－4×1＝ac，即 b＝3a，c＝－4a.则所求不等式转化为 3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a>0， 即 3x2＋x－4<0，解得－43<x<1.故选 A.
A．{x－1<x<32
B．{xx>32或x<－1
C．{x－32<x<1
D．{xx>1或x<－32
答案 B
解析 2x2－x－3>0⇒(x＋1)(2x－3)>0，解得 x>32或 x<－1.∴不等式 2x2
－x－3>0 的解集为{xx>32或x<－1，故选 B.
12/11/2021
答案
解析
2．不等式3x－－24x<0 的解集是(
4<0 恒成立；当 a≠2 时，
a<2， 4a－22－4a－2×－4<0，
解得－2<a<2.
故－2<a≤2.选 D.
12/11/2021
答案
解析
角度2 形如 f(x)≥0(x∈[a，b]) 例 4 (1)(2019·铜州模拟)若关于 x 的不等式 x2＋2ax＋1≥0 在[0，＋∞) 上恒成立，则实数 a 的取值范围为( ) A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞) C．[－1,1] D．[0，＋∞)
12/11/2021
(2)已知 x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋a2>0 恒成立，则实数 a 的取值范围
是( )
A．(0,2)
B．(2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(0,4)
答案 A
12/11/2021
答案
解析 二次函数图象开口向上，对称轴为 x＝a2. x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋a2>0 恒成立， 即 f(x)min>0. ①当a2≤－1，即 a≤－2 时，f(x)min＝f(－1)＝1＋a＋a2>0，解得 a>－23， 与 a≤－2 矛盾；
12/11/2021
答案
考向二 三个二次的关系
例 2 (1)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(－4,1)，则不等式 b(x2－1)＋
a(x＋3)＋c>0 的解集为( )
A．－43，1 C．(－1,4)
B．(－∞，1)∪43，＋∞ D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 A
12/11/2021
12/11/2021
答案
解析
4．(2019·九江模拟)若关于 x 的不等式 x2－4x－2－a>0 在区间(1,4)内有 解，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
答案 A 解析 不等式 x2－4x－2－a>0 在区间(1,4)内有解等价于 a<(x2－4x－ 2)max，令 g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)<g(4)＝－2，∴a<－2.故选 A.