福建省泉港一中2020-2021学年高二年下学期期中考文科数学试题

福建省泉港一中2020-2021学年高二年下学期期中考文科数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合2{1,0,1,2,3,4},{|16,}A B x x x N =-=<∈，则A B 等于（ ）
A ．{1,0,1,2,3}-
B ．{0,1,2,3,4}
C ．{1,2,3}
D ．{0,1,2,3}
2．已知集合}
{
2
lg(23)A x y x x ==-++，且A B φ⋂=，则集合B 的可能是（ ） A ．2,5
B ．(,1)-∞-
C ．()1,2
D ．2{|1}x x ≤
3．设0x 是方程()2
ln 1x x
+=的解，则0x 在下列哪个区间内（ ） A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,e )
D ．(3,4)
4．已知()f x 是奇函数，当0x >时，()1,f x gx =设(3)a f =，b=a =，
b =，则（ ）
A ．a c b >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．b a c >>
5．若函数2
1
()f x mx x
=+
，则下列结论正确的是（ ） A ．m R ∀∈，函数()f x 是奇函数 B ．m ∃∈R ，函数()f x 是偶函数
C ．m R ∀∈，函数()f x 在（0，+∞）上是增函数
D ．m ∃∈R ，函数()f x 在（0，+∞）上是减函数
6．实数a =
b =， 0.2
c =
的大小关系正确的是( )
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．b c a << 7．若2x a =，12
log b x =，则“a b >”是“1x >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
8．函数()21
·cos 21
x x
f x x +=-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当01x <<时，()2x
f x =，则2(lo
g 9)
f 的值 为（ ） A ．169
-
B ．
16
9
C ．9
D ．19
-
10．函数32()(3)f x x ax a x =++-()a R ∈的导函数是'()f x ，若'()f x 是偶函数，
则以下结论正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于y 轴对称 B ．()y f x =的极小值为2- C ．()y f x =的极大值为2-
D ．()y f x =在(0,2)上是增函数
11．函数()sin f x x x =，若α、β,22ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，且()()f f αβ>，则以下结论正确
的是（ ） A ．αβ>
B ．αβ<
C ．αβ>
D ．αβ<
12．已知函数()3
ln f x x x =-与()3
g x x ax =-的图像上存在关于x 轴的对称点,则实数a 的取值范围为( )
A ．()e -∞，
B ．1e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
，
C ．(]
e -∞， D ．1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
，
二、填空题
13．已知函数ln ,0
(),0x x x f x a x >⎧=⎨≤⎩
(
).若2
()(2)f e f =-，则实数a =
_______.
14．函数()f x 的图象是如图所示的折线段OAB ，点A 坐标为（1，2），点B 坐标为（3，0），定义函数()()()1g x f x x =⋅-，则函数()g x 最大值为__________.
15．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是__________．
16．已知函数()y f x =和()y g x =在[]22-,的图象如下图所示：则方程[]
()0f g x =有
且仅有________个根．
三、解答题
17．已知函数(4)(2)1f f -=，且(4)(2)1f f -=．
（1）若(33)(21)f m f m -<+，求实数22()log 3f x x
+=的取值范围； （2）求使22()log 3f x x +=成立的2()ln n
f x m x x
=-的值． 18．已知函数2()ln n
f x m x x
=- (,)m n ∈R 在1x =处有极值1． （1）求实数m ，n 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间．
19．如图，在四棱锥EABCD 中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA ⊥EB ，,M N 分别为,AE CD 的中点．求证： (1) 直线MN ∥平面EBC ；
(2) 直线EA ⊥平面EBC .
20．已知二次函数()y f x =满足24AN x =+=且(2)f x +是偶函数． （1）若()f x 在区间[2a ，a ＋2]上不单调，求a 的取值范围； （2）若 [,2]x t t ∈+，试求()y f x =的最小值. 21．已知函数()ln (),()1x f x x a x a R g x e =+∈=- (1)若直线0y =与函数()y f x =的图象相切，求a 的值；
(2)设0a >，对于[)1212,3,(),x x x x ∀∈+∞≠都有1212()()()(),f x f x g x g x --＜求实数a 的取值范围．
22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已
知曲线C 的极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ=，直线l
的参数方程为2,2
42
x y t ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），两曲线相交于M ，N 两点.
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若(2,4)P --，求PM PN +的值.
23．设函数()4f x x x a =-+- (1)a ，且()f x 的最小值为3． （1）求a 的值；
（2）若()5f x ≤，求满足条件的x 的集合．
参考答案
1．D 【解析】
{}0,1,2,3B = ，{}0,1,2,3A B ⋂= ，故选D.
2．B 【解析】
由A 中(
)
2
lg 23y x x =-++，得到2230x x -++>，即2230x x --<，解得：13x
，
即13A =-（，）
，且A B φ⋂=，∴(]
,1[3B =-∞-⋃+∞，），∴集合B 的可能是 (),1-∞-， 故选B. 3．B 【解析】
构造函数()()2
1f x ln x x
=+-
，∵1ln 220f （）=-<，2ln310f ，∴函数
()()2
1f x ln x x
=+-的零点属于区间12（，），即0x 属于区间12（，）
故选B. 4．A 【解析】
∵()f x 是奇函数，当0x >时，()1f x gx =，∴33a f lg ==（
），1
()lg 44
b f ==-，()22lg2
c f f =-=-=-（），∵lg3lg2lg4>->-，∴a c b >>，故选A.
5．D 【解析】
对于函数()2
1f x mx x =+
，当0m =时，()1
f x x
=，此时，()f x 是奇函数，且函数()f x 在∞（0，+）
上是减函数；当0m ≠时，函数()2
1f x mx x
=+为非奇非偶函数，故排除A ，B ．
当0m <，在∞（0，+）上，()21
20f x mx x
'=-<，函数()f x 为减函数，故排除C ，故选D. 6．C
【解析】根据指数函数和对数函数的性质，知
0<， 01＜，
1>，
即01a <<， 0b <， 1c >，∴b a c <<，故选C. 7．B 【解析】
试题分析：先画出函数x 12
2log x ，的图象，根据图象以及充分条件，必要条件的定义即可判
断a ＞b 与x ＞1的关系．
如图，0x x =时，a=b ，∴若a ＞b ，则得到0x x ＞，且0x 1a b ∴＜，
＞不一定得到x ＞1；∴a ＞b 不是x ＞1的充分条件；若x ＞1，则由图象得到a ＞b ，∴a ＞b 是x ＞1的必要条件；∴a ＞b 是x ＞1的必要不充分条件．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 8．C
【解析】易知函数定义域为{|0}x x ≠，且()()f x f x -=-，因此函数图象关于原点对称，又当自变量从原点右侧0x →时， y →+∞，故选C ． 9．A 【解析】
∵奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，∴函数的周期2T =．
∴()222291694log 9log log 169f log f f f （
）⎛⎫
⎛⎫=-+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∵2
160log 19<<， ∴21616log 99f ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，∴()216
log 99
f =-，故选A. 10．B
【解析】
对()()3
2
3f x x ax a x =++-求导，得()2
323f x x ax a '=++-，又()'f x 是偶函数，即
()()f x f x '='-，即22323323x ax a x ax a ++-=-+-，化简得0a =，∴
()233f x x '=-，令()0f x '=，即2330x -=，∴1x =±，令()0f x '>得函数的单调
增区间为1-∞-（，），1（，）+∞ ，令()0f x '<得函数的单调减区间为11-（，）
，∴函数在1x =时取得极小值为2-，极大值为2，故选B.
点睛：求函数()f x 的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数()f x '； （2）求方程()0f x '=的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 在这个根处无极值. 11．C 【解析】
∵()sin f x x x =，∴()()f x f x -=，∴()()f
x f x =，不妨令02
x π
≤≤，则()sin cos 0f x x x x '=+>，∴()sin f x x x =在[0]2
π
，上单调递增；∵()()f f αβ>，
()()f f αα=，()()f f ββ=，∴()()f f αβ>，由()sin f x x x =在[0]2
π
，上单调
递增得：αβ>
，故选C.
点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，难点在于讨论()sin f x x x =在[0]2
π，上的单调性，考查学生综合分析与应用的能力，属于难题；由函数是偶函数可得()()f x f x =，由导数
大于0得到函数单调递增，结合()()f f αβ>等价于()()f f αβ>可得到结果.
12．B 【分析】
由题中对称知f （x ）＝﹣g （x ）有解，即lnx a x =
在（0，+∞）有解，令()lnx
h x x
=，求函
数导数，分析单调性可得值域，进而可得解. 【详解】
函数f （x ）＝lnx ﹣x 3与g （x ）＝x 3﹣ax 的图象上存在关于x 轴的对称点， ∴f （x ）＝﹣g （x ）有解， ∴lnx ﹣x 3＝﹣x 3+ax ，
∴lnx ＝ax ，即lnx
a x
=
在（0，+∞）有解， 令()lnx h x x =，则()1'lnx
h x x
-=
. 当()()()0,,0,?
x e h x h x >'∈单调递增； ()()(),,0?x e h x h x ∈+'∞<，单调递减.
()()1
max h x h e e
==，且()0,x h x →→-∞，
所以1
a e
≤.
故选B. 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究方程的根，涉及函数对称的处理，考查了计算能力，属于中档题. 13
．
2
【解析】 函数(),0,0
x
lnx x f x a x >⎧=⎨
≤⎩（0a >，1a ≠），若()()2
2f e f =-，可得：22ln e a -=，即22a -=，
解得2a =
，故答案为
2
. 14．1 【解析】
如图，由图可知，
函数() f x 的解析式为：201313x x f x x x ≤≤⎧=⎨
-+<≤⎩
，
（），，
又∵()()()1g x f x x =⋅-，∴函数()f x 的解析式为：()22
22014313x x x g x x x x ，，⎧-≤≤=⎨-+-<≤⎩
， 当01x ≤≤时，()2
1
1
2()22
g x x =--
，∴()()()100max g x g g ===；当13x <≤时，()()2
211g x x =--+≤，∴函数()g x 最大值为1，故答案为1.
点睛：本题考查的是分段函数解析式的求法和分段函数求最值的求法，体现了数形结合、分类讨论及数学转化思想方法，是中档题；先根据函数()f x 的图象求出解析式，再根据
()()()1g x f x x =⋅-求得函数()g x 的解析式，分段求出最大值，则函数()g x 最大值可求.
15．21y x =-- 【解析】
试题分析：当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以
()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1
()3f x x
=
-'，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．
【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--． 16．6 【分析】
把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时，内层函数有几个自变量与之相对应，进而可得出结果. 【详解】
由于满足方程[]
()0f g x =的()g x 有三个不同的值，且每个值对应2个x 的值， 故满足[]()0f g x =的x 的值有6个， 即方程[
]
()0f g x =有且仅有6个根.
故答案为6 【点睛】
本题主要考查根的存在性以及根的个数的判定，熟记零点存在性定理即可，属于常考题型. 17．（1）14m << （2）12x x ==或 【解析】
试题分析：（1）利用对数的运算性质解方程得出a ，再利用()f x 的单调性列方程组解出m ；（2）由题设可知2
3x x
+
=，解方程得出x 的值. 试题解析：（1）由已知，代入函数解析式，求得.
由
，可得函数
由函数
在定义域330
2103321m m m m ->⎧⎪
+>⎨⎪-<+⎩
上单调递增，所以可得：
，
解得；
（2）因为
，可得
，解得.
18．（1）11,2
m n ==- （2）函数()f x 的单调减区间是(0,1) ，单调增区间是(1,)+∞ 【解析】
试题分析：（1）求出函数的导数，利用函数的极值为1，列出方程组，求解即可；（2）化简函数的解析式，利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间即可. 试题解析：（1）由条件得
.
因为()f x 在1x =处有极值1，得()()1=110f f ⎧⎪⎨='⎪⎩
，即
解得
经验证满足题意. （2）由（1）可得()1
ln f x x x
=+
，定义域是()0,+∞ ()22111
x f x x x x
='-=
- 由()0f x '>，得1x >；()0f x '<，得01x <<. 所以函数()f x 的单调减区间是()0,1，单调增区间是()1,+∞
19．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
分析：（1）取BE中点F，连结CF，MF，证明四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF，即可证明直线MN∥平面EBC；
（2）证明BC⊥平面EAB，得到BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，即可证明直线EA⊥平面EBC．
详解：证明：(1)
取BE中点F，连结CF，MF，
又M是AE的中点，所以MF∥AB，且MF=AB
因为N是矩形ABCD的边CD的中点，
所以NC∥AB，且NC=AB.
所以MF∥NC且MF=NC，
所以四边形MNCF是平行四边形．
所以MN∥CF.
又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，
所以直线MN∥平面EBC.
(2) 在矩形ABCD中，BC⊥AB.
又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB＝AB，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面EAB.
又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA.
又EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB，BC⊂平面EBC，
所以直线EA⊥平面EBC.
点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
20．（1）0＜a ＜1 （2）2min 243;21;021,0t t t y t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩
【解析】
试题分析：（1）由已知可得()y f x =的对称轴为2x =，设出二次函数的两根式，结合()03f =求得函数解析式，得到函数的对称轴方程，由对称轴大于2a 小于2a +求得a 的取值范围；（2）由（1）得到函数的对称轴，然后分类利用单调性求()y f x =在[]
2t t +，上的最小值.
试题解析：（1）由已知是偶函数．可得()y f x =的对称轴2x =， ∵()f x 是二次函数，且()10f = ()30f ∴=
设
又()03f = ∴ a =1 ∴
要使f （x ）在区间[2a ，a +2]上不单调，则
∴0＜a ＜1
（2）因为()2y f x x ==的对称轴
若，则()y f x =在[]
,2t t +上是增函数，2min 43y t t =-+ 若
，即，则()y f x =在[],2t t +上是减函数， 若，即02t <<，则()min 21y f ==-
综之，当2t ≥时，，当02t <<时，min 1y =-
当0t ≤时，
. 21．（1）a e =- （2）333a e ≤-
【解析】
试题分析：（1）求出函数的导数，设出切点坐标，求出a 的值即可；（2）根据函数的单调性，问题转化为()()()()1122f x g x f x g x ->-，设()()()h x f x g x =-，根据函数的单调性
求出a 的范围即可.
试题解析：（1）()1a f x x '=+，设切点为()0,0x 得0
10a x +=得到0x a =-， 所以()ln 0a a -+-=所以a e =-.
（2）∵[)03,a x >∴∈+∞时，()0f x '>，所以()(),f x g x 在[)3,x ∈+∞上为增函数 不妨设12x x <则()()12f x f x <，()()12g x g x <，
所以()()()()1212,f x f x g x g x --＜可化为()()()()2121f x f x g x g x -<-， 即()()()()1122f x g x f x g x ->-，设()()()h x f x g x =-，则()h x 在[)3,x ∈+∞上为减函数，()10x a h x e x
=+-≤'在[)3,x ∈+∞ 上恒成立，即x xe x a -≥在[)3,x ∈+∞ 上恒成立，设()x v x xe x =-，则[)3,x ∈+∞ ()10x x v x e xe ∴=+->'所以()x v x xe x
=-在[
)3,x ∈+∞上为增函数，所以()3min 33v x e =- 333a e ∴≤-.
22．（1）曲线C 的直角坐标方程为24y x =；直线l 的普通方程为20x y --=.（2
）【解析】
【分析】
(1)利用cos ,sin x y ρθρθ==可以把极坐标方程为直角坐标方程；对于参数方程，消去参数t 可得普通方程.
(2)把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求解.
【详解】
(1)由2sin 4cos ρθθ=,可得()2
sin 4cos ρθρθ=， 则曲线C 的直角坐标方程为2
4y x =.
由2,4x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）， 消去t ，得直线l 的普通方程为20x y --=.
(2)把直线l 的参数方程代入2
4y x =,
得到2480t -+=,
设点M ，N 对应的参数分别为12,t t ，
则1212+=480,t t t t >
所以120,0t t >>，则12=+PM PN t t +【点睛】
本题考查极坐标与参数方程的综合问题，考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化.
23．（Ⅰ）7a = （Ⅱ）38x ≤≤
【解析】
试题分析：（1）由条件利用绝对值的意义可得43a -=，再结合1a >，可得a 的值；（2）把5f x ≤（
）等价转化为的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求 试题解析：（1）函数()4f x x x a =-+-表示数轴上的x 对应点到4a 、对应点的距离之和，它的最小值为43a
=﹣，再结合1a >，可得7a =． （2）f （x ）=|x ﹣4|+|x ﹣7|=，故由f （x ）≤5可得，
①，或②，或 ③
解①求得34x ≤＜，解②求得47x ≤≤，解③求得78x ≤＜，
所以不等式的解集为38x ≤≤．
点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。