人教A版高二数学选修函数的单调性与导数-1教案

教案
原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！新竹高于旧竹枝，全凭老干为扶持。

出自郑燮的《新竹》
杭信一中何逸冬
吧
.从起跳点到最高点和从最高点到落水点，运动员
的运动状态有什么特点呢？
【预设】从起跳点到最高点，高度增加，速度大于
0；从最高嗲到落水点高度在减小，速度小于0.
新
【观察】请同学们观从()
v t和单调性有什么关系？
【预设】(0,)
t a
∈时，()0
v t>，()
h t单调递增；(,)
t a b
∈
时，()0
v t<，()
h t单调递减；
【猜想】由于()
v t恰好是()
h t的导数，由此请同学们
猜想，函数的单调性和导数具有什么样的关系呢？
【预设】在某区间(,)
a b内，如果()0
f x
'>，那么()
f x
单调递增；在某区间(,)
a b内，如果()0
f x
'<，那么
()
f x单调递减.
【操作确认】这种情况是否具有一般性呢？请同学
们再举一些函数的例子确认一下.
【预设1】函数()
f x x
=
在区间(,)
-∞+∞上，()0
f x
'>，()
f x单调递增.猜想
通过观察、归纳、
猜想、操作确认、
解释说明等环
节，探究函数的
单调性和导数的
关系.一方面加
深对导数概念的
理解，体会数形
结合，掌握研究
问题的一般思
路.
猜想有可能正
确，也有可能不
正确，培养学生
对于猜想要有验
证的意识.可以
成立
.
【预设
2】函数2
()
f x x
=
在区间(,0)
-∞上，()0
f x
'<，()
f x单调递减；
在区间(0,)
+∞上，()0
f x
'>，()
f x单调递增.猜想成
立.
【预设3】函数3
()
f x x
=
在区间(,0)
-∞上，()0
f x
'>，()
f x单调递增；
在区间(0,)
+∞上，()0
f x
'>，()
f x单调递增.猜想成
立.
【预设4】函数
1
()
f x
x
=
通过列举熟悉的
函数进行检验.
通过不同类型的
函数的操作确
认，使学生在情
感上接受函数的
单调性和导数的
关系。

为进一步
理解这种关系做
好铺垫
在区间
(,0)
-∞上，()0
f x
'<，()
f x单调递减；
在区间(0,)
+∞上，()0
f x
'<，()
f x单调递减.猜想成
立.
【解释说明】通过操作确认，我们的猜想都符合.
那么同学们能否借助导数的几何意义或者从函数单
调性定义和导数定义的角度解释说明一下为什么函
数的单调性和导数会有这样的关系呢？
【预设1】
函数()
f x在
x x
=的导数，就是()
f x过这点的切线的
斜率。

如果在
x处导数大于0，那么这点的切线就
是从左下往右上方向的，()
f x在这点附近单调递增。

如果()
f x整个区间内导数都大于0，那么在这个区
间内的每一个点附近，()
f x都单调递增，因此在整
个区间内单调递增。

同理，如果在
x处导数小于0，那么这点的切线就
研究数学不能仅
仅停留在操作确
认的程度。

通过
这个活动使学生
认识到，数学中
推理论证，解释
说明是必要的
是从左上往右下方向的，(
)
f x在这点附近单调递减。

如果()
f x整个区间内导数都小于0，那么在这个区
间内的每一个点附近，()
f x都单调递减，因此在整
个区间内单调递增。

这是一种直观的说明。

【预设2】()
f x在区间(,)
a b内单调递增意味着
12
x x
-
和
12
()()
f x f x
-是同号的，即12
12
()()
f x f x
x x
-
>
-
.
其几何意义即为在区间内任意两点连成的割线斜率
大于0.
也就是要说明()
f x在区间(,)
a b内单调递增，只需要
说明在这个区间内任意两点连成割线的斜率大于0
就可以了。

而同学们，从图象上我们可以直观的发
现一个事实，即每条割线，总有一条切线和它平行
的。

因此()
f x在某区间内导数恒大于0的话，那么
此区间内任意两点连成割线的斜率就一定大于0，
原函数在此区间内一定单调递增.
【问题1】这样，我们便正是得到了函数的单调性
与导数的关系。

请同学们回忆我们得到这个结论的
过程。

概况一下我们主要的研究方法和思路。

借助几何直观，
使学生理解函数
的单调性和导数
的关系
借助单调性的定
义和导数的定
117(-+【预设】不能，如图可知在此范围呢存在2()x .
【方法小结】通过刚才3个例题，请同学们概况利用
导数研究函数单调性的一般方法.
【预设】1.求导以及定义域；
2.研究导数符号；
3.根据导数符号和原函数单调的关系求解单调区间.
【例4】水以恒定的速度注入下列四种底面积相同的容
器之中.请分别找出各容器对应的水面高度h和时间t的函数图象.
【分析】由于单位时间注入的水的体积相同，因此高度变化与底面积相关.容器2下粗上细，因此开始水面升高较慢，以后高度增加越来越快。

反映在图象上，A符合上诉情况。

【预设】1对B，2对A，3对D，4对C
【反思】过例4
我们发现，增减有快慢之分，图象
有陡缓之别，
那么这跟导数又有什么关系呢？同学
们能自己设计方案来探究一下这个问题吗？
【预设】观察、归纳、猜想、确认、解释等
学生通过探究发现，函数在某个范围内到手的绝对
值较大，那么函数在这个范围内变化较快吗，图象
比较陡峭。

反之比较平缓。

慢与导数的关系
作铺垫.
使学生对函数变
化的快慢有个直
观的感知
利用探究函数的
单调性和导数关
系的方法探究函
数变化快慢和导
数的关系，体会
研究问题的一般
思路.
1. 求下列函数的单调区间. （Ⅰ）()e x f x x =- （Ⅱ）32()f x x x x =--
2.函数()f x 的图象如图所示，试画出其导函数()f x '的图象.
3.学完本课后，谈谈你的个人学习感想.比如你觉得哪个知识最重要，最有用，需要注意的关键之处等.
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这一年，他摘心里对自己的定位，从穷人变成了有钱人。

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２、10月19 日下战书，草埠湖镇核心学校组织全镇小学老师收看了江苏省泰安市洋思中学校长秦培元摘宜昌所作的教训呈文录象。

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