广东省汕头市潮阳华侨初级中学高一数学理测试题含解析

广东省汕头市潮阳华侨初级中学高一数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=﹣x2+1，x∈R}，则M∩N=（）
A．{0，1} B．{（0，1）} C．{1} D．以上均不对
参考答案：
C
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】根据函数值域求得集合M=[1，+∞），N}=（﹣∞，1]，根据集合交集的求法求得M∩N．【解答】解；集合M={y|y=x2+1，x∈R}=[1，+∞），
N={y|y=﹣x2+1，x∈R}=（﹣∞，1]，
∴M∩N={1}
故选C．
【点评】此题是个基础题．考查交集及其运算，以及函数的定义域和圆的有界性，同时考查学生的计算能力．
2. 在映射中，，且，则元素(1, －2)在的作用下的原像为（）
A. (0,－1)
B.
C.
D. (4,－3)
参考答案：
A
3. 函数f（x）=的定义域是( )
A．[﹣，1] B．（﹣，1）C．（，1）D．[﹣1，﹣]
参考答案：
B 【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】求函数f（x）的定义域，即求使f（x）有意义的x的取值范围．
【解答】解：欲使f（x）有意义，则有，解得﹣＜x＜1．
∴f（x）的定义域是（﹣，1）．
故选B．
【点评】本题属基础题，考查了函数的定义域及其求法，解析法给出的函数要使解析式有意义，具有实际背景的函数要考虑实际意义．
4. 已知函数f (x) =那么f (3) 的值是（）
A. 8
B. 7
C.
6 D. 5
参考答案：
A
5. 已知函数的最小正周期为π，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象（）
A．关于直线对称B．关于直线对称
C.关于点对称D．关于点对称
参考答案：
D
由题意得=π，故ω=1，
∴f(x)=cos(2x+φ)，
∴g(x)=cos[2(x－)+φ]= cos(2x－+φ)=cos2x，
∴φ=，
∴f(x)=cos(2x+)．
∵f()=cos(2×+)=cos=≠±1，f()=cos(2×+)=cos=－≠±1
∴选项A,B不正确．
又(－)=cos(－2×+)=cos(－π)=－1≠0，
f(－)=cos(－2×+)=cos(－)=0，
∴选项C,不正确，选项D正确．选D．
6. 若，且，则
A. B. C. D.
参考答案：
C
7. 设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n
参考答案：
D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；
C选项用线面垂直的性质定理判断即可；
D选项由线面平行的性质定理判断即可．
【解答】解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；
B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；
C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；
D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．
故选D．
【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．
8. 在等比数列中，，，则=（）
A、40
B、70
C、
30 D、90
参考答案：
A
略
9. 设则下列不等式中恒成立的是（）
A B C D
参考答案：
C
10. 已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则（）
A．有最大值，为8 B．是定值6
C．有最小值，为2 D．与P点的位置有关
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设非零向量，的夹角为，记，若，均为单位向量，且
，则向量与的夹角为__________．
参考答案：
【分析】
根据题意得到，，再根据向量点积的公式得到向量夹角即可.
【详解】由题设知，若向量，的夹角为，则，的夹角为.由题意可得
，
，
.
∵，，，，向量与的夹角为.
故答案为：.
【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）
向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.
12. 已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=．
参考答案：
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】利用“1=sin2θ+cos2θ”，再将弦化切，利用条件，即可求得结论．
【解答】解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ==∵tanθ=2
∴=
∴sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=
故答案为：
13. 数列{a n}满足+++…+=3n+1，则数列{a n}的通项公式为a
n = ．
参考答案：
（2n ﹣1）?2?3n
【考点】数列的求和．
【分析】利用方程组法，两式相减可求数列{a
n}的通项公式．
【解答】解：数列{a n}满足+++…+=3n+1…①
则有： +++…+=3n…②，
由①﹣②可得： =3n+1﹣3n=2?3n
∴a n=（2n﹣1）?2?3n
故答案为：（2n﹣1）?2?3n
14. 已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则
，
参考答案：
2
略
15. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足
则
___
参考答案：
或 【分析】
将已知等式两边平方，结合余弦定理可得2（）2﹣5（
）+2＝0，解方程即可得解．
【详解】∵∠B ＝，a +c ＝，
∴a 2+c 2+2ac ＝3b 2，①
又由余弦定理可得：a 2+c 2﹣2ac ＝b 2，②
∴联立①②，可得：2a 2﹣5ac +2c 2＝0，即：2（
）2﹣5（
）+2＝0，
∴解得：
＝2或
．
故答案为：2或
．
【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．
16. 若f （x+2）=
，则f （
+2）?f （﹣14）=
．
参考答案：
考点：函数的周期性．
专题：函数的性质及应用．
分析：由函数的解析式可得分别求得f （
+2）=﹣
，
f
（﹣14）=4，相乘可得．
解答： 解：由题意可得f （+2）=sin
=sin （6π﹣
）=﹣sin =﹣，
同理可得f （﹣14）=f （﹣16+2）=log 216=4，
∴f（+2）?f （﹣14）=﹣
×4=，
故答案为：
点评：本题考查函数的周期性，涉及三角函数和对数函数的运算，属基础题．
17. 已知平面内两个单位向量，的夹角为60°，
，则
的最小值为
________．
参考答案：
【分析】
根据向量数量积运算法则可求得
和
，从而得到
和
，可得
的几何意义为
点
到
，
的距离之和，从而利用对称求解出距离之和的最小值.
【详解】
的几何意义为点到，的距离之和
关于轴的对称点坐标为
本题正确结果：
【点睛】本题考查向量数量积和模长运算的应用问题，关键是能明确所求模长之和的几何意义，将所求问题转化为直线上动点到两定点距离之和的最小值的求解问题，从而利用对称的思想求得结果.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：
（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
参考答案：
【考点】函数模型的选择与应用；一元二次不等式的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；
（2）由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．
【解答】解：（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈（100，300]n=kx+b（k＜0），∵0=300k+b，即b=﹣300k，
∴n=k（x﹣300）
y=（x﹣100）k（x﹣300）
=k（x﹣200）2﹣10000k（x∈（100，300]）
∵k＜0，
∴x=200时，y max=﹣10000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
（2）解：由题意得，k（x﹣100）（x﹣300）=﹣10000k?75%
x2﹣400x+37500=0
解得x=250或x=150
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元
【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、二次函数的性质及函数的最值，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
19. 已知函数f（x）=x|x﹣a|
（1）若函数y=f（x）+x在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在y=1图象的下方，求实数a的取值范围；（3）设a≥2时，求f（x）在区间[2，4]内的值域．
参考答案：
【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）y=f（x）+x=x|a﹣x|+x=，要使函数y=f（x）+x在R上是增
函数，只需即可，
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜1恒成立即可，
（3）当a≥2时，，f（x）=，根据二次函数的性质，分段求出值域即可．
【解答】解：（1）y=f（x）+x=x|a﹣x|+x=
由函数y=f（x）+x在R上是增函数，
则即﹣1≤a≤1，
则a范围为﹣1≤a≤1；…..
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜1恒成立，
即x|x﹣a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即|a﹣x|＜，﹣＜x﹣a＜，
即为x﹣，
故只要x﹣且a在x∈[1，2]上恒成立即可，
即有即；…．
（3）当a≥2时，，f（x）=
（Ⅰ）当即a＞8时，f（x）在[2，4]上递增，f（x）min=f（2）=2a﹣4，f（x）max=f（4）=4a﹣16，∴值域为[2a﹣4，4a﹣16]
（Ⅱ）当2≤≤4，及4≤a≤8时，f（x）=f（）=，f（2）﹣f（4）=12﹣2a
若4≤a＜6，值域为[4a﹣16，]；若6≤a≤8，则值域为[2a﹣4，]；
（Ⅲ）当1，即2≤a＜4时f（x）min=0，且f（2）﹣f（4）=6﹣20，
若2≤a＜，则值域为[0，16﹣4a]．，若，则值域为[0，2a﹣4]…..20. 已知点关于直线的对称点为，且对直线
恒过定点，设数列{a n}的前n项和S n，且
,
(1) 求数列{a n}的通项公式;
(2) 设T n为数列的前n项和，证明:对一切正整数n,有
参考答案：
(1) ；(2)见证明
【分析】
（1）先通过点线的位置关系求出的值，再带入与的关系式中，再利用公式求出
（2）由（1）知，再利用放缩法证明不等式。

【详解】解：(1)由已知解得，
.
①
当时,②
由①—②得
数列是以首项为,公差为1的等差数列.
当时,上式显然成立,
(2)证明:由(2)知,
①当时,,原不等式成立.
②当时, ,原不等式亦成立.
③当时,
当时,原不等式亦成立.
综上,对一切正整数,有.
【点睛】关于的常见放缩有。

21. 如图是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东，
点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，求该救援船到达点需要多长时间？
参考答案：
解：由题意知，，，
∴，
在中，由正弦定理得，
∴
＝
．
又，
在中，由余弦定理得，
∴，又航行速度为海里/小时，
∴该救援船到达点需要小时.
略
22. 已知集合A = {a－3，2a－1，a2 + 1}，a∈R.
（1）若－3∈A，求实数a的值；
（2）当a为何值时，集合A的表示不正确.
参考答案：
解析：（1）a = 0或a =－1；（2）－2（考查元素的互异性）。