人教版九年级数学下册《锐角三角函数(2)》教学设计

问： AC
A’C’
AB 与 A’ B’
相等吗？
因为∠C=∠C′=90°, ∠ A =∠A′=a，
所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′
所以 AC ＝ AB A’C’ A’ B’
即 AC ＝ A’C’ AB A’ B’
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比是一个定值。
都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、
余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数。
想一想: 1、sinA、cosA 、 tanA是在那种三角形中定义的，∠A 是什么角?
2、sinA、 cosA 、 tanA有没有单位? 3、sinA、 cosA 、 tanA的大小与直角三角形的边长有 没有关系?它们的大小只与什么有关呢?
AB
AB
AC
sin B AC , cos B BC , tan B AC
AB
AB
BC
因为0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1,
0＜cosA ＜1, 0＜cosB ＜1,
tan A＞0, tan B＞0
所以对于任何一个锐角α ，有
0＜sin α ＜1， 0＜cos α ＜1，
A
tan α ＞0，
也是一个定值,我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A
的正切，记作 tanA,
即
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
归纳总结:
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°
正弦 sinA= A的对边
=
a
斜边
c
余弦
cosA= A的邻边 =
斜边
b c
正切
tanA= A的对边 =
A的邻边
a b
对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA
sin A cos B cos A sin B tan A 1
tan B
B
C
小结 回顾 在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a
斜边
c
cosA=
A的邻边 斜边
=
b c
tanA= A的对边 = a
A的邻边 b
探究二
当直角三角形的锐角A的度数 确定时，其对边与邻边比也是唯 一确定的吗？
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 使得∠C=∠C′=90°, ∠ A =∠A′=a
问：
相等吗？
因为∠C=∠C′=90°, ∠ A =∠A′=a， 所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′
所以 BC ＝ AC B’C’ A’C’
A.sin, B.cos,C.tan, D. 1 tan
变题： 如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、n .
sin 4
5
C
D
P
A
O
B
探究:互为余角的两个锐角的三角函数之间的关系
如图，Rt△ABC中， ∠C=90度，
sin A BC , cos A AC , tan A BC
即 BC ＝ B’C’ AC A’C’
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个定值。
当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比是
一个定值,我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦
（cosine），记作cosA，
即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
当锐角A的大小确定时，∠A的对边与邻边的比
锐角三角函数（2）
正弦 sinA= A的对边 = a
斜边
c
思考:
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此 时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
探究一
当直角三角形的锐角A的度 数确定时，其邻边与斜边比也 是唯一确定的吗？
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 使得∠C=∠C′=90°, ∠ A =∠A′=a
（1）求证：AC=BD；
（2）若 sin C 12 ，BC=12，求AD的长。
A
13
B
D
C
5. 如图，在△ABC中， ∠ C=90度，若∠ ADC=45度，BD=2DC，求 tanB及sin∠BAD.
A
B
D
C
例题示范
例4： 如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若
DPB 那么 CD ( B ) AB
练习
1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
解：由勾股定理
C
BC AB2 AC2 132 122 5
12
sin A BC 5 AB 13
B 13
A
cos A AC 12 AB 13
tan A BC 5 AC 12
sin B AC 12 AB 13
cos B BC 5 AB 13
B
sinA、tanA的值．
解：∵ cos A AC 15 AB 17
设AC=15k，则AB=17k
A
C
所以 BC AB2 AC2 (17k)2 (15k)2 8k
sin A BC 8k 8 , AB 17k 17
tan A BC 8k 8 AC 15k 15
4. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC,
tan B AC 12 BC 5
试一试：
在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么
锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？
解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为
sin A a ，cos A b ，tan A a
B
c
c
b
则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c
sin A 2a a 2c c
求：sinA、cosB的值．
4
B
解： tan A BC 3 AC 4
AC 8
BC 3 AC 3 8 6
4
4
C
8
A
AB AC 2BC2 82 62 10
sin A BC 6 3 AB 10 5
cos B BC 6 3 AB 10 5
例题讲解
15
例： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ 1，7 求
B
cosA、tanB的值．
解：∵ sin A BC AB
6
AB BC 6 5 10
sin A 3
A
C
又 AC AB2 BC2 102 62 8
cos A AC 4 , tan B AC 4
AB 5
BC 3
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ 3 ，
cos A 2b b 2c c
tan A 2a a 2b b
C
A
B
C
A
试一试：
下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和 ∠B的对边、邻边。
B
(1) tanA =
(BC )
=
CD
AC (AD)
D
A
C
(2) tanB=
(AC)
=
CD
BC (BD)
例题讲解
3
例 :如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝ 5 ，求