《等比数列》教案3(苏教版必修5)

第 9 课时：§2.3 等比数列（3）
【三维目标】：
一、知识与技能
1掌握“错位相减”的方法推导等比数列前n 项和公式；
2.掌握等比数列的前n 项和的公式，并能运用公式解决简单的实际问题； 二、过程与方法
1.通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．
2.从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力
3.经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。

三、情感、态度与价值观 通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美． 【教学重点与难点】：
重点：等比数列的前n 项和公式的推导及其简单应用． 难点：等比数列的前n 项和公式的推导．
突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.
【学法与教学用具】：
1. 学法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题
2. 教学方法：采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题
首先回忆一下前两节课所学主要内容：
1．等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0≠q ），即：
1
-n n
a a q =（0≠q ） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，)0(11
≠⋅⋅=-q a q a a m m n
3．}{n a 成等比数列⇔
n
n a a 1+=q （+
∈N n ,q ≠0）“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
5．等比中项：若b G a ,,成等比数列，则G ab G ,2
=叫做a 与b 的等差中项. 6．性质：若m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅ 7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性 二、研探新知
1．等比数列前n 项和公式的推导： 方法一：错位相减法 一般地，设等比数列123,,,
,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，
由1231
1n n
n n S a a a a a a q
-=++++⎧⎨=⎩ 得221
1111123111111n n n n n
n S a a q a q a q a q
qS a q a q a q a q a q
---⎧=+++++⎪⎨=+++++⎪⎩∴
11(1)n n q S a a q -=-,
当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 或11n n a a q
S q
-=- 当1=q 时，1na S n =
这种求和方法称为“错位相减法”， “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法 注意：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；
（2）注意求和公式中是n
q ，通项公式中是1
-n q
不要混淆；
（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况． 方法二：运用等比定理 有等比数列的定义，
q a a a a a a n n ====-1
23
12 根据等比的性质，有
q a S a S a a a a a a n
n n n n =--=++++++-1
12132
即
q a S a S n
n n =--1
⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 方法三：运用方程思想(提取公比q )
=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a
＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+
⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）
“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决
一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是 方法四：由等次幂差公式直接推得（详略）
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解：由2 2,121===q a a 得，1521)21(144=--⨯=
∴S ， 10232
1)
21(11010=--⨯=S ，从第5项到第10项的和为10S -4S =1008
例2 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传
给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？
解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列，则：一天内获
知此信息的人数为：122
1212424
4-=--=
∴S 例3 （教材51P 例1）求等比数列{}n a 中，（1）已知；14a =-，1
2
q =，求10S ；（2）已知；11a =，243k a =，3q =，求k S ．
解
：（
1
）
1010
11014[1()]
(1)102321112812
a q S q ---===-
--；（2）
112433
364113
n k a a q S q --⨯=
==--．
例4在b a ,之间插入10个数，使它们同这个数成等比数列，求这10个数的和
例5（教材51P 例2）求等比数列{}n a 中，372S =，663
2S =，求n a ；
解：若1q =，则632S S =，与已知372S =，663
2
S =矛盾，∴1q ≠，从而
313(1)712a q S q -==-①，
616(1)6312a q S q -==- ②． ②：①得： 3
19q +=，∴2q =，由此可得112a =，∴
121
222
n n n a --=⨯=．
例6（教材51P 例3）求数列1111
1,2,3,,,2482n
n ++++
的前n 项和．
解
：
11
(12
4
n n
S n =+
+++++
++
1(
2
n
n
= 11(1)
(1)(1)1221122212
n n
n n n n -++=+=+--． 说明：数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，求解时要采用分组求和．
例7等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的
前n 项之和为n S ，且6560,802==n a S S ，求：（1）通项公式n a ；（2）前100项之和100S
例8设数列{}n a 6
5
,1=
a ，若以n a a a ,,,21 为系数的二次方程：*-∈=+-N n x a x a n n (0121且2≥n ）都有根α、β且满足133=+-βαβα，
（1）求证：}2
1
{-n a 为等比数列；
（2）求n a ；（3）求{}n a 的前n 项和n S 。

四、巩固深化，反馈矫正 五、归纳整理，整体认识
1. 等比数列求和公式：当1=q 时，1na S n =，当1≠q 时，q
q
a a S n n --=
11 或
q
q a S n n --=1)1(1 ；
2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n 项和公式，并在应用中加深了对公式的认识． 六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略） 八、课后记：。