考点14 空间几何体的内切球、外接球-庖丁解题2018-2019学年高一数学人教版(必修2)(解析版)

近年来在高考中经常有多面体与球的切与接的问题，充分体现了对学生空间想象能力，运算求解能力和转化思想的考查，题目难度为中等或偏难．为了便于学习和掌握此类问题的求解方法,下面结合高考
题进行了以下归纳：
类型一 求多面体与内切球或外接球的表面积和体积
类型二
多面体的内切球或外接球的最值问题
【例】一个正方体内接于球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是( ) A ．（1） （3） B ．(2）(4）
C ．（1） （2） （3）
D ．（2） （3） （4） 【答案】C
【思路归纳】解决此类问题，必须多观察几何体，提高空间想象力．
1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( )
(1)
(2) (3) (4)
A ．8π
B ．6π
C ．4π
D ．π
【答案】C 【解析】设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，即a ＝2．故该正方体的内切球的半径r ＝1，所以该正方体的内切球的表面积S ＝4πr 2＝4π．
【解题技巧】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，可作出合适的截面图
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．2πa
B ． 27π3a
C ．211π3a
D ．25πa
【答案】B
【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．
【规律方法】已知几何体的结构特征求其内切球或外接球的表面积与体积，关键是正确分析已知几何体的各项数据，从中推导出其内切球或外接球的半径再代入公式即可．
3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B。