山东省济宁市第一中学2024届高三上学期12月月考数学试题含答案解析

济宁一中高三12月份定时检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）
1.
已知
1i
22i z -=
+，则z z
-=（
）
A.i
- B.i
C.0
D.12.若集合{}2
230A x x x =--≤，(){}
lg 10B x x =+≤，则A B ⋃=（
）
A.{}10x x -≤≤
B.{}10x x -<≤
C.
{}
13x x -≤≤ D.
{}
13x x -<≤3.已知()2,3AB = ，()3,AC t = ，1BC = ，则AB BC ⋅=
（
）
A .
8
B.5
C.2
D.7
4.函数()3
e e x x
f x x
-+=的图像可能是（）
A. B.
C
.
D.
5.已知1sin ,123πθ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭则sin 23πθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭（）
A.2
9
-
B.
29
C.79
-
D.7
9
6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，2532a a a =，47245a a +=，则5S =（）
A.29
B.31
C.33
D.36
7.已知抛物线()2
20x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为
3
2
，则其焦点坐标为（）
A.10,2⎛⎫ ⎪
⎝
⎭
B.1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
C.1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
D.10,
4⎛⎫ ⎪⎝
⎭
8.如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid ），亦称为阿基米德多面体，如图2，设1AB =，则平面BCG 与平面EMQ 之间的距离是（
）
A.
B.
6
C.
3
D.
3
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9.下列表述正确的是（
）．
A.如果0a b >>，c d >，那么ac bd >
B.如果0a b >>>
C .
如果0a b >>，0c d >>，那么
11
ac bd
<D.如果0a b ≥>，那么2
a b
b a +≤
≤10.已知直线:210l x my ++=，圆22:3E x y +=，则下列说法正确的是（
）
A.直线l 必过点(1,0)
B.直线l 与圆E 必相交
C.圆心E 到直线l 的距离的最大值为1
D.当1
2
m =
时，直线l 被圆E 11.把函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π
6
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（
）
A.()g x 在π5π,36⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减B.()g x 在[]0,π上有2个零点C.()y g x =的图象关于直线π
12
x =
对称D.()g x 在π,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的值域为,22⎡-⎢⎣⎦
12.如图，1P 是一块半径为1的圆形纸板，在1P 的左下端前去一个半径为1
2的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形3P ，4,,,n P P ，记纸板n P 的周长为n L ，面积为n S ，则下列说法正确的是（
）
A.37142
L π=
+ B.311
32
S π=
C.11
11222n n n L π-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦ D.121
2n n n S S π
++=-
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，a 1＋a 5＝3a 2，则10
20
S a =_____．14.已知双曲线22
22:1x y M a b
-=的左焦点为F 1，A ，B 为双曲线M 上的两点，O 为坐标原点若四边形1F ABO
为菱形，则双曲线M 的离心率为___________.
15.如图，已知正四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20cm 和10cm ，侧面积为2780cm ，则其体积为________
．
16.已知函数()()1f x x sinx cosx =++，若对于任意的()1212,0,
2x x x x π⎡⎤
∈≠⎢⎥⎣⎦
，均有()()1212|x x f x f x a e e --成立，则实数a 的取值范围为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知函数()sin()14
f x x x π
=+
-．（1）求()4
f π的值及()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间[0,
2
π
上的最大值和最小值．18.已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()22n
n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
19.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，E 是BC 的中点.
（1）求证：1//BD 平面1C DE ；
（2）已知120ABC ∠=︒，1AA =，求直线1A D 与平面1C DE 所成角的正弦值.20.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，6
3
28S S =，数列{}n b 满足()33log 1n n b a =+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若对任意的*n ∈N ，3n n b a λ<恒成立，求实数λ的取值范围．
21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点2⎛ ⎝⎭，且C 的离心率为32
．（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围．
22.已知函数()21)x
f x e ax a =-->（
，（1）证明：函数()y f x =在(),0∞-内存在唯一零点；
（2）若函数()y f x =有两个不同零点12,x x 且12x x >，当12x x -最小时，求此时a 的值.
济宁一中高三12月份定时检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）
1.已知1i
22i z -=
+，则z z -=（
）
A.i
- B.i
C.0
D.1
【答案】A 【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2
z =，即i z z -=-．故选：A ．
2.若集合{}2
230A x x x =--≤，(){}
lg 10B x x =+≤，则A B ⋃=（
）
A.{}10x x -≤≤
B.{}10x x -<≤
C.
{}
13x x -≤≤ D.
{}
13x x -<≤【答案】C 【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法求A ，再根据对数函数的定义域及单调性求B ，最后求并集即可.
【详解】由()()[]2
231301,3x x x x x --=+-≤⇒∈-，即{}
13A x x =-≤≤，
由()(](]lg 10lg110,11,0x x x +≤=⇒+∈⇒∈-，即{}
10B x x =-<≤，故A B ⋃={}
13x x -≤≤.故选：C
3.已知()2,3AB = ，()3,AC t = ，1BC = ，则AB BC ⋅= （
）
A .
8
B.5
C.2
D.7
【答案】C 【解析】
【分析】由()1,3BC AC AB t =-=-
及1BC = ，可得3t =，从而根据向量数量积的坐标表示即可求解.
【详解】解：因为()2,3AB = ，()3,AC t = ，所以()1,3BC AC AB t =-=-
，
因为1BC = ，所以()2
2131t +-=，解得3t =，
所以()1,0BC =uu u r
，
所以21302AB BC ⋅=⨯+⨯=
，故选：C.
4.函数()3
e e x x
f x x
-+=的图像可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，以图像的对称性排除错误选项CD ；再以图像的切线情况去排除错误选项A ，
即可得到函数()3
e e x x
f x x -+=的正确图像.【详解】()3
e e x x
f x x -+=的定义域为{}0x x ≠()()()
()3
3
e e
e e x x x x
f x f x x
x ----++-=
==---，则()f x 为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项CD ；
()
()()
()()
326
4
e e 3e e e 3e e x
x x x x
x x x
x x e x f x x x ------+--+'=
=
则()()()
101010101010
4
4
10e e 3e e 7e 13e 1001010
f -----+-'=
=>即函数()f x 在点()()
10,10f 的切线斜率为正值，
选项A 的图像在第一象限内每一点的切线斜率均为负值，故排除选项A.选项B 的图像在第一象限内存在切线斜率为正值的点.故选：B 5.已知1sin ,123
πθ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭则sin 23πθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭（）
A.29
-
B.
29
C.79
-
D.7
9
【答案】D 【解析】【分析】设12παθ=-
，则1,sin 123πθαα=+
=，则sin 2sin 3223[1πππθα⎛⎫⎛
⎫+=++ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭化简，由余弦的二倍角公式可得答案.【详解】设12παθ=-，则1
,sin 123
πθαα=+
=，从而2
[]7sin 2sin 2sin 2cos 212sin 312329ππππθαααα⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
.故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数中知值求值的问题，解答本题的关键是设12
π
αθ=-
，然后可得
sin 2sin 32]23[1πππθα⎛⎫⎛
⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，属于中档题.
6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，2532a a a =，47245a a +=，则5S =（）
A.29
B.31
C.33
D.36
【答案】B 【解析】
【分析】根据2532a a a =，47245a a +=可求出首项1a ，公比q ，然后利用等比数列求和公式即可求解.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，2532a a a =，
所以3252222a a a a q a q =⨯=，即2
22a q =，则42a =.
又因为47245a a +=，故有714
a =.所以3
7418a q a =
=，则12
q =，所有4
1316a a q ==，所有5511612311
12
S ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-，故B 项正确.故选：B.
7.已知抛物线()2
20x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为
3
2
，则其焦点坐标为（）
A.10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B.1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
C.1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
D.10,
4⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】
【分析】由抛物线的定义可求p 的值，进而可求焦点坐标.
【详解】解： 抛物线()2
20x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为
32
，∴由抛物线的定义知322M p y +=，即3
122p +=，所以1p =，所以122
p =，
∴抛物线的焦点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，
故选：A .
8.如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，
它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid ），亦称为阿基米德多面体，如图2，设1AB =，则平面BCG 与平面EMQ 之间的距离是（
）
A.
B.
6
6
C.
63
D.
263
【答案】D 【解析】
【分析】不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点1M ，
1N ，可推出11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，结合等体积法求得21A M ，结合对称性求得
11M N 即可．
【详解】如图，不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，1122//A D B C ，1122A D B C =，故四边形1122A D C B 是平行四边形，所以1221//A B C D ，又E ，Q 分别为12A A ，22A B 的中点，所以12//EQ A B ，同理21//BG C D ，
所以//EQ BG ，又EQ ⊄平面BCG ，BG ⊂平面BCG ，所以//EQ 平面BCG ，同理//EM 平面BCG ，又EM EQ E ⋂=，EM ，EQ ⊂平面EMQ ，所以平面//EMQ 平面BCG ，
设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点1M ，1N ，因为12C C ⊥平面2222A B C D ，MQ Ì平面2222A B C D ，所以12C C MQ ⊥，
连接2211,A C A C ，因为,M Q 分别为2222,D A B A 的中点，
故22A C MQ ⊥，又12C C ，22A C ⊂平面1221A A C C ，12222C C A C C = ，所以MQ ⊥平面1221A A C C ，又21A C ⊂平面1221A A C C ，所以21A C MQ ⊥，同理21A C EQ ⊥，
又MQ EQ Q ⋂=，MQ ，EQ ⊂平面EMQ ，所以21A C ⊥平面EMQ ，又平面//EMQ 平面BCG ，所以21A C ⊥平面BCG ，
11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，
则11212111M N A C A M N C =--，2212226A C =++=，
由题意得22222
EA MA QA ===
，EMQ 为等边三角形，故233
144
EMQ S =
⨯=
，
根据22E A MQ A EMQ V V --=，
得21111322223M ⨯
⨯⨯⨯=，
解得216
A M =
，根据对称性知2111A M N C =，
所以11212111263
M N A C A M N C =--=
-⨯
=
，则平面EMQ 与平面BCG 的距离为26
3
．故选：D
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法求解；三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9.下列表述正确的是（
）．
A.如果0a b >>，c d >，那么ac bd >
B.如果0a b >>>
C.如果0a b >>，0c d >>，那么11
ac bd
<D.如果0a b ≥>，那么2
a b
b a +≤≤【答案】BCD 【解析】
【分析】根据函数的单调性、不等式的性质等知识逐个验证选项即可．【详解】A ．如果0a b >>，c d >，
取2a =，1b =，1c =-，2d =-，则2ac bd =-=，故A 错误；B ．由于1
2
y x ==
在[0,)+∞为单调增函数，
从而若0a b >>>
B 正确；
C ．如果0a b >>，0c d >>，则0ac bc bd >>>，
而1()f x x =在(0,)+∞上单调递减，从而11
ac bd
<，故C 正确；
D ．如果0a b ≥>，则22a a b b ≥+≥，故2
a b
b a +≤≤，故D 正确．故选：BCD ．
10.已知直线:210l x my ++=，圆22:3E x y +=，则下列说法正确的是（
）
A.直线l 必过点(1,0)
B.直线l 与圆E 必相交
C.圆心E 到直线l 的距离的最大值为1
D.当1
2
m =
时，直线l 被圆E
【答案】BC 【解析】
【分析】利用直线和圆的相关性质求解即可.【详解】易知直线l 必过点(1,0)-，故A 错误；
点(1,0)-在圆E 内，所以直线l 与圆E 必相交，故B 正确；圆心(0,0)E 到直线l
的距离d =
，当0m =时距离取最大值1，故C 正确；
当12m =
时，直线:10l x y ++=，则直线l 被圆E
截得的弦长为=，故D 错误．故选：BC
11.把函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π
6
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（
）
A.()g x 在π5π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减
B.()g x 在[]0,π上有2个零点
C.()y g x =的图象关于直线π
12
x =
对称D.()g x 在π,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡-⎢⎣⎦
【答案】BC
【分析】由题意，由函数sin(+)y A x ωϕ=的图象变换规律，求得()y g x =的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各选项得出结论.
【详解】把函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，可得到sin 2y x =的图象；
再把所得曲线向左平移
π
6
个单位长度，得到函数()πsin(2)3y g x x ==+的图象，
π5π(,36x ∈时，π
2(π,2π)3
x +∈，
则()g x 在π7π(,)312单调递减，在7π5π
(,126
单调递增，故A 错误；
令()0g x =，得π2π(Z)3x k k +=∈，即ππ
26k x =
-，因为[0,π]x ∈，所以ππ0π26
k ≤
-≤，解得1733k ≤≤，因为Z k ∈，所以1k =或2k =，所以()g x 在[]0,π上有2个零点，故B 正确；
因为ππππ
(
)sin(2)sin 1121232
g =⨯+==，为()g x 的最大值，所以直线π
12
x =是()y g x =的图象的一条对称轴，故C 正确；
当π,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，3()1,2g x ⎡∈-⎢⎣⎦
，故D 错误.
故选：BC
12.如图，1P 是一块半径为1的圆形纸板，在1P 的左下端前去一个半径为1
2的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形3P ，4,,,n P P ，记纸板n P 的周长为n L ，面积为n S ，则下列说法正确的是（
）
A.371
42
L π=
+ B.311
32
S π=
C.11
11222n n n L π-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦ D.121
2n n n S S π
++=-
【答案】ABD
【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板n P 相较于纸板1n P -()2n ≥剪掉了半径为1
1
2n -的半圆，再分别写出n L 和n S 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可【详解】根据题意可得纸板n P 相较于纸板1n P -()2n ≥剪掉了半径为
1
1
2n -的半圆，故1111122222n n n n L L π---=-
⨯+⨯，即112122n n n n L L π----=-，故12L π=+，21
101
22L L π-=-，3221122L L π-=-，4332122L L π-=- (1121)
22n n n n L L π----=-，累加可得
1210121112......222222n n n L ππππ--⎛⎫⎛⎫=+++++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111112222111122
n n ππ--⎛⎫-- ⎪⎝⎭=++-
--1211222n n π--⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以132171421222L ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭=+，故A 正确，C 错误；
又12
11122n n n S S π--⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，故1212n n n S S π---=-，即1212n n n S S π++=-，故D 正确；
又12S π=
，2132S S π-=-，3252S S π-=- (1212)
n n n S S π
---=-，累加可得3521 (2222)
n n S ππππ-=
----111841214
n ππ-⎛⎫
- ⎪⎝⎭=--211132n π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故31132S π=正确，故B 正确；故选：ABD
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，a 1＋a 5＝3a 2，则10
20
S a =_____．【答案】11
4
##2.75【解析】
【分析】由1523a a a +=，得到1a 与d 的关系，再利用等差数列的前n 项和公式和通项公式求解.【详解】解：1523a a a += ，∴112433a d a d +=+，
∴1a d =，
1012011045551119204
S a d d a a d d +===+．故答案为：
11
4
14.已知双曲线22
22:1x y M a b
-=的左焦点为F 1，A ，B 为双曲线M 上的两点，O 为坐标原点若四边形1F ABO
为菱形，则双曲线M 的离心率为___________.【答案】31+【解析】
【分析】利用双曲线的对称性，连结1BF ，2BF ，根据图形分析可得12BF F △是直角三角形，且260BF O ∠=
，
在结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率.【详解】如图，设双曲线的右焦点2F ，连结1BF ，2BF ，
四边形1F ABO 是菱形，121
2
BO F F ∴=
，12BF BF ∴⊥，并且根据对称性可知2OBF △是等边三角形，260BF O ∴∠=
，
13BF c ∴=，根据双曲线定义可知，122BF BF a -=，即32c c a -=，即23131
c a ==+-31
+【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c
e a
=
求解；2.公式法：
c e a ===
，
3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.
15.如图，已知正四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20cm 和10cm ，侧面积为2780cm ，则其体积为________
．
【答案】32800cm 【解析】
【分析】利用四棱台的结构特征，作出辅助线，根据侧面积列出方程，求出正四棱台的高，结合棱台的体积公式计算得结论
【详解】如图，取11A B 的中点1E 、AB 的中点E ，上、下底面的中心1O 、O ，则1E E 为斜高，四边形11EOO E
为直角梯形．
正四棱台的侧面积111
4(1020)7802
S EE =⨯
⨯+⨯=，113cm EE ∴=，
在直角梯形11EOO E 中，过点1E 作1E M ⊥OE 于点M ，则115cm O E OM ==，11O O E M =，
因为111115cm 2O E A B =
=，1
10cm 2
OE AB ==，所以5EM OE OM =-=cm ，
1112O O E M ∴====cm ，
∴该四棱台的体积为()()2231
12102010202800cm 3
V =
⨯⨯++⨯=故答案为：3
2800cm 16.已知函数()()1f x x sinx cosx =++，若对于任意的()1212,0,
2x x x x π⎡⎤
∈≠⎢⎥⎣⎦
，均有()()1212|x x f x f x a e e --成立，则实数a 的取值范围为______．
【答案】[
)1,+∞【解析】【分析】
求导可知函数()f x 在0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，进而原问题等价于对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤
∈≠⎢⎥⎣⎦
，均有()()1212x x f x ae f x ae ->-，构造函数()()x h x f x ae =-，则函数()h x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为减函数，求导后
转化为最值问题求解即可．
【详解】解：()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x x x =++-=+'，任意的()1212,0,
2x x x x π⎡⎤
∈≠⎢⎥⎣⎦
，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，不妨设12x x <，则()()12f x f x <，又12x x e e <，
故()()1212|x
x
f x f x a e e --等价于()()2121x x
f x f x ae ae -<-，
即()()1212x
x
f x ae f x ae ->-，
设()()()1,0,
2x
x
h x f x ae x sinx cosx ae x π⎡⎤
=-=++-∈⎢⎥⎣⎦
，易知函数()h x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为减函数，
故()()'10x
h x x cosx ae =+-≤在0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1x
x cosx a e +≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，
设()()1,0,2x
x cosx
g x x e π+⎡⎤
=
∈⎢⎥⎣⎦
，
则()()()211'0()x x
x x
cosx x sinx e x cosx e xsinx sinx xcosx g x e e
⎡⎤-+-+⋅---⎣⎦==≤，故函数()g x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为减函数，则()()01max g x g ==，故1a ≥．故答案为：[
)1,+∞．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知函数()sin()14
f x x x π
=+
-．（1）求()4
f π
的值及()f x 的单调递增区间；
（2）求()f x 在区间[0,2π
上的最大值和最小值．【答案】（1）(14
f π=；单调递增区间为3[,]88k k ππ
-+π+π，Z k ∈
（2；最小值1-【解析】
【分析】（1）由()sin()14f x x x π=+-，直接求()4
f π；将函数转化为())4f x x π
=+，利用正弦函数的性质求解；
（2）根据函数())4
f x x π
=+
，利用正弦函数的性质求解.【小问1详解】
解：()sin 1442
f πππ
=-，
112
=⨯-，1=；
()sin(1
4
f x x x π
=+-，
(
sin +cos )1
22
x x x =⋅-，22sin cos 2cos 1x x x =+-，
sin 2cos 2x x =+，
4
x π
=+，
令222,242k x k k Z πππ
ππ-
+≤+≤+∈，322244k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，388
k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间为3[,]88
k k ππ
-+π+π，Z k ∈；【小问2详解】因为02
x π
≤≤
，所以
52444
x πππ≤+≤，所以2sin 2124x π⎛
⎫-
≤+≤ ⎪⎝
⎭，
故124x π⎛
⎫-≤
+≤ ⎪⎝
⎭，
当2,42
x ππ+=即8x π
=时，()f x ；
当2,44
x π5π+
=即2x π
=时，()f x 有最小值1-.
18.已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()22n
n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）1n a n =+（2）()1
422n n T n +=-++【解析】
【分析】（1）利用赋值法可得数列的首项及公差；（2）利用错位相减法求数列的前n 项和.【小问1详解】
当1n =时，1228a a +=①，当2n =时，23211a a +=②，②-①得，33d =，解得1d =，
所以12112228a a a a +=++=，12a =，所以()2111n a n n =+-⨯=+；【小问2详解】由（1）得1n a n =+，
则()()2232n
n n n
n b a =++=，
()()12314252622232n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+++++ ，()()234124252622232n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+++++ ，()12314222232n n n T n +∴-=⨯++++-+ ()()211
21283212
n n n -+-=+
-+-()1422n n +=-+，()1422n n T n +∴=-++.
19.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，E 是BC 的中点.
（1）求证：1//BD 平面1C DE ；
（2）已知120ABC ∠=︒，1AA =，求直线1A D 与平面1C DE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析.
（2）
3
【解析】
【分析】（1）连接1CD 交1DC 于O ，连接OE ，易得1//OE BD ，再根据线面平行的判定即可证结论.
（2）F 为AB 中点，结合已知可构建以D 为原点，,DF DC ，1DD
为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，
设1AA ==，写出对应点坐标，并求出直线1A D 的方向向量和平面1C DE 的法向量，由空间向量夹角的坐标表示求直线1A D 与平面1C DE 所成角的正弦值.【小问1详解】
由题设，连接1CD 交1DC 于O ，易知：O 是1CD 的中点，连接OE ，
∵E 是BC 的中点，
∴1//OE BD ，又OE ⊂面1C DE ，1BD ⊄面1C DE ，∴1//BD 面1C DE .【小问2详解】
底面ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，即60DAB ∠=︒，若F 为AB 中点，则DF AB ⊥，
∴30ADF ∠=︒，故在直四棱柱1111ABCD A B C D -中有DF DC ⊥、1DD DC ⊥、1DD DF ⊥，
∴可构建以D 为原点，,DF DC ，1DD
为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，设122AA AB ==，
∴113331
(0,0,0),(
,,0),2),(,2)4422
D E C A -，则113331
(,,0),2),(,2)4422
DE DC DA ===- ，
若(,,)m x y z = 是面1C DE 的一个法向量，则1
3304420DE m x y DC m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，令3x =则2(3,1,2m =- ，
∴11136
|cos ,|||33||||32
m DA m DA m DA ⋅<>===
，故直线1A D 与平面1C DE 所成角的正弦值6
3
.20.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，6
3
28S S =，数列{}n b 满足()33log 1n n b a =+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若对任意的*n ∈N ，3n n b a λ<恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）1
3n n a -=，*n ∈N ；32n b n =-，*
n ∈N （2）9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
．【解析】
【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由
6
3
28S S =求得公比，再由11a =求解；进而由()33log 1n n b a =+
求解.
（2）由332n n λ<-对于任意的*
n ∈N 恒成立，令()332
n f n n =-，*n ∈N ，求得其最小值即可.
【小问1详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，
由6328S S =，显然1q ≠，所以6
31281q q
-=-，解得3q =，由于11a =，所以{}n a 的通项公式为1
3n n a -=，*n ∈N ；
所以()1
333log 13log 3
132n n n b a n -=+=+=-，*n ∈N ，
所以{}n b 的通项公式为32n b n =-，*n ∈N ．【小问2详解】
因为3n n b a λ<恒成立，即332n
n λ<-对于任意的*n ∈N 恒成立．
令()332
n
f n n =-，*n ∈N ，
则()()()()()
136733131323132n n n
n f n f n n n n n +⋅-+-=-=+-+-，当1n >时()()1f n f n +>，，所以()()()()1234f f f f ><<<⋅⋅⋅，即()f n 的最小值为()924
f =，所以实数λ的取值范围为9,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点32⎛ ⎝⎭，且C 的离心率为
32
．（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围．
【答案】（1）2
214
x y +=；
（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】
（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，进而可求得椭圆C 的方程；
（2）对直线l 分两种情况讨论，直线l 与x 轴重合时，直接求出PA PB ⋅的值，在直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出PA PB ⋅关于m 的代数式，综合可得出PA PB ⋅的取值范围．
【详解】（1
）由题意得22
2
22
21
314c a
a b a b c ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩.所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=；
（2）分以下两种情况讨论：
①若直线l 与x 轴重合，则()()2
1113PA PB a a a ⋅=-⋅+=-=；
②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，
联立22
114
x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去x 可得()
224230m y my ++-=，则(
)(
)
2
2
2
41241630m m m ∆=++=+>恒成立，由韦达定理可得12224m y y m +=-+，12
23
4
y y m =-+，
由弦长公式可得
()()22121223114
m PA PB y y m y y m +⋅=⋅=+⋅=+()222349934
4
m m m +-=
=-
++，
244m +≥ ，则299044m <
≤+，所以，
239
3344
m ≤-<+.综上所述，PA PB ⋅的取值范围是3,34⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()
22,x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.
22.已知函数()21)x
f x e ax a =-->（
，（1）证明：函数()y f x =在(),0∞-内存在唯一零点；
（2）若函数()y f x =有两个不同零点12,x x 且12x x >，当12x x -最小时，求此时a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】
【分析】（1）求出导数，可判断()f x 在(,0)-∞单调递减，再根据零点存在性定理即可判断；（2）令120t x x =->，则由题可得(
)22
2
1
2
x t x e e e
a t
x --=
=，利用导数可得1
()(0)t e g t t t
-=>在(0,)
+∞单调递增，判断出要求t 的最小值即求()g t 最小值，构造函数()22
222
x x e v x x e -=，利用导数判断单调性求出
其最小值即可.
【详解】（1）()x f x e a '=-， 0x <，1x e ∴<，又1a >，
∴()0f x '<，∴()f x 在(,0)-∞单调递减，
(0)10f =-<，2
20a f e a -
⎛⎫-=> ⎪⎝⎭
，
存在唯一02,0x a ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
使得0()0f x =，所以函数()y f x =在(),0∞-内存在唯一零点；
（2）由条件知121220
20x x e ax e ax ⎧--=⎨--=⎩，
1212
1212
22x x x x e e e e a x x x x ---∴===-，
令(
)22
122
1
2
0,x t x e e e
t x x a t
x --=->∴=
=，
则有22212x t x e e t x e
--=，
令1()(0)t e g t t t -=>，2
(1)1
()t t e g t t
-+='，令()(1)1t h t t e =-+，()0t h t te =>'，()h t ∴在(0,)+∞单调递增，()(0)0h t h ∴>=，
()g t ∴在(0,)+∞单调递增，
要求t 的最小值即求()g t 最小值，
令()22222
x x e v x x e -=，
()()(
)222
22
222
222222,12
220x x x x x x e x e x
e v x x x e x e '-+-+-=
=<，令()22222x
m x x e =+-，()2
220x m x e
=->'，
()2m x ∴在(,0)-∞单调递增，
又1(0)10,(1)0m m e -=>-=-<，
∴存在唯一0(1,0)x ∈-使得()00m x =.此时0
022x e
x =+，
2
x ()
0,x -∞0
x ()
0,x +∞()2v x '-
+
()
2v x
极小
当02x x =时，()2v x 有最小值
故12x x -取最小值时0000
222
22x x e a x x +--===.【点睛】关键点睛：解决本题得关键是得出(
)22
2
1
2
x t x e e e
a t
x --=
=，利用导数判断出要求t 的最小值即求
()g t 最小值，构造函数()22
222
x x e v x x e -=，利用导数判断单调性求出其最小值.。