2015届高考数学(文)基础知识总复习精讲课件：第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
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答案：B
第四页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科）
变式探究
1．(1)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题
是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
第五页，编辑于星期五：十点 十八分。
第九页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科） 解 析 ： 由 a>b⇒a>b － 1， 但 由 a>b － 1 不能得出 a>b ，
∴a>b－1是a>b成立的必要不充分条件；由a>b＋1⇒a>b，但 由a>b不能得出a>b＋1，∴a>b＋1是a>b成立的充分不必 要条件；易知a>b是|a|>|b|的既不充分也不必要条件；a>b 是2a>2b成立的充要条件．故选A.
0.
第十四页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科） 点评：有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结
论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结 论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分
性，二是必要性．对于充要条件问题，我们不仅要会利用定义进行证 明，而且要掌握充要条件的探求．
断是条件，哪个论断是结论，而且将条件进行适当的化简及合理的表 示条件间的推出关系也是解决问题的关键．常用的判断方法有三种： 直接法、集合法、等价法．利用集合法进行判断时，借助数轴能直观 显示两个集合的关系，从而刮题易于求解．对于条件或结论是否定形 式的充分条件、必要条件的判断，要善于利用等价命题进行判断．
第十五页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科）
变式探究
3．求方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负实数根的充要条件． 解析：当a＝0时，x＝－ ，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根． 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a≥0， ∴a≤1， 当a＝1时，方程只有一负根x＝－1. 当a<1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2 ＝ <0，∴a<0. 综上，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a＝1.
第二十页，编辑于星期五：十点 十八分。
第二十一页，编辑于星期五：十点 十八分。
设的利用．
第十八页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科）
变式探究
4．证明：若a，b，c∈R＋，则 个不小于2.
a＋1b，b＋1c，c＋中a1至少有一
第十九页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科）
∴a＋1a≥2.同理b＋b1≥2，c＋1c≥2. ∴a＋1b＋b＋1c＋c＋a1＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥6， 产生矛盾．故假设不成立． ∴a，b，c∈R＋时，a＋1b，b＋1c，c＋1a中至少有一个不小于2.
答案：C
第十二页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科）
充要条件的证明
【例3】 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－ a2－b2＝0.
思路点拨：利用充分条件和必要条件的定义，通过推证条件与结论之 间的推出关系来证明．
证明：必要性： ∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0. ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－ 1)(a2－ab＋b2)＝0. 充分性：
第六页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科） 解析：(1)原命题的条件是a＝－b，作为逆命题的结论；
原命题的结论是|a|＝|b|，作为逆命题的条件，即得逆命题 “若|a|＝|b|，则a＝－b”．故选D.
答案：(1)D (2)①②③
第七页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科）
充分、必要、充要条件的判定
【例2】 (2013·北京西城区模拟)已知a，b∈R，下列四个条件中， 使a>b成立的必要而不充分的条件是( )
A．a>b－1
B．a>b＋1
C．|a|>|b|
D．2a>2b
第八页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科） 点评：在进行充分条件、必要条件的判断时，首先要明确哪个论
第十六页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科） 反证法的应用
【例4】 若p2＋q2＝2，求证：p＋q≤2.
思路点拨：用反证法，即证明逆否命题“若p＋q>2，则p2＋q2≠2”
成立．
证明：假设p＋q>2.
∴
2＞4.
∵p2＋q2≥2pq，
∴2
≥
2>4⇒p2＋q2>2⇒p2＋q2≠2.
这与“p2＋q2＝2”相矛盾，假设不成立，因此原命题成立．
高考总复习•数学（文科）
(2)有下列四个命题：
①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题． 其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
高考总复习•数学（文科）
第一章
第二节 命题及其关系、充分
条件与必要条件
第一页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科）
四种命题及其真假
【例1】 (2013·济南模拟)在命题p的四种形式(原命题、逆命
题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：
“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则 a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝( )
第三页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科）
解析：若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平 行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定 平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题， 从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种 形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有两个正确命题， 即f(p)＝2.
A．1
B．2
C．3
D．4
第二页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科） 点评：由原命题写出其他三个命题时，应先将命题化为“若p，则q”
的形式，再利用其他三个命题与原命题的关系，直接写出相应的命 题．
当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时，必须保留大 前提且不作改换．另外，在判断命题的真假时，如果不易直接判 断它的真假，可以转化为判断其逆否命题的真假．
第十七页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科） 点评： 使用反证法的基本步骤是：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立． (2)从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛盾．
(3)由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立．实际 上是通过证明命题“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”成立 从而得到“若p，则q”成立的结论．在证明过程中，一定要注意对假
第十三页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科）
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又∵ab≠0，∴a≠0且b≠0.
∴a2－ab＋b2＝
2＋ b2>0.
∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝
答案：A
第十页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总Байду номын сангаас习•数学（文科）
变式探究
2．(2013·梅州二模)函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件 是( )
A．a·b＝0
B．a＋b＝0
C．a2＋b2＝0
D．a＝b
第十一页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科） 解析：若f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 即－x|x－a|＋b＝－x|x＋a|－b恒成立， 亦即x(|x－a|－|x＋a|)＝2b恒成立， 要使上式恒成立，只需|x－a|－|x＋a|＝2b＝0，即a＝b＝0， 故函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是a＝b＝0，故选C.
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高考总复习•数学（文科）
变式探究
1．(1)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题
是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
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第九页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科） 解 析 ： 由 a>b⇒a>b － 1， 但 由 a>b － 1 不能得出 a>b ，
∴a>b－1是a>b成立的必要不充分条件；由a>b＋1⇒a>b，但 由a>b不能得出a>b＋1，∴a>b＋1是a>b成立的充分不必 要条件；易知a>b是|a|>|b|的既不充分也不必要条件；a>b 是2a>2b成立的充要条件．故选A.
0.
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高考总复习•数学（文科） 点评：有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结
论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结 论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分
性，二是必要性．对于充要条件问题，我们不仅要会利用定义进行证 明，而且要掌握充要条件的探求．
断是条件，哪个论断是结论，而且将条件进行适当的化简及合理的表 示条件间的推出关系也是解决问题的关键．常用的判断方法有三种： 直接法、集合法、等价法．利用集合法进行判断时，借助数轴能直观 显示两个集合的关系，从而刮题易于求解．对于条件或结论是否定形 式的充分条件、必要条件的判断，要善于利用等价命题进行判断．
第十五页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科）
变式探究
3．求方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负实数根的充要条件． 解析：当a＝0时，x＝－ ，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根． 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a≥0， ∴a≤1， 当a＝1时，方程只有一负根x＝－1. 当a<1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2 ＝ <0，∴a<0. 综上，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a＝1.
第二十页，编辑于星期五：十点 十八分。
第二十一页，编辑于星期五：十点 十八分。
设的利用．
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变式探究
4．证明：若a，b，c∈R＋，则 个不小于2.
a＋1b，b＋1c，c＋中a1至少有一
第十九页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科）
∴a＋1a≥2.同理b＋b1≥2，c＋1c≥2. ∴a＋1b＋b＋1c＋c＋a1＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥6， 产生矛盾．故假设不成立． ∴a，b，c∈R＋时，a＋1b，b＋1c，c＋1a中至少有一个不小于2.
答案：C
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充要条件的证明
【例3】 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－ a2－b2＝0.
思路点拨：利用充分条件和必要条件的定义，通过推证条件与结论之 间的推出关系来证明．
证明：必要性： ∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0. ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－ 1)(a2－ab＋b2)＝0. 充分性：
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高考总复习•数学（文科） 解析：(1)原命题的条件是a＝－b，作为逆命题的结论；
原命题的结论是|a|＝|b|，作为逆命题的条件，即得逆命题 “若|a|＝|b|，则a＝－b”．故选D.
答案：(1)D (2)①②③
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高考总复习•数学（文科）
充分、必要、充要条件的判定
【例2】 (2013·北京西城区模拟)已知a，b∈R，下列四个条件中， 使a>b成立的必要而不充分的条件是( )
A．a>b－1
B．a>b＋1
C．|a|>|b|
D．2a>2b
第八页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科） 点评：在进行充分条件、必要条件的判断时，首先要明确哪个论
第十六页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科） 反证法的应用
【例4】 若p2＋q2＝2，求证：p＋q≤2.
思路点拨：用反证法，即证明逆否命题“若p＋q>2，则p2＋q2≠2”
成立．
证明：假设p＋q>2.
∴
2＞4.
∵p2＋q2≥2pq，
∴2
≥
2>4⇒p2＋q2>2⇒p2＋q2≠2.
这与“p2＋q2＝2”相矛盾，假设不成立，因此原命题成立．
高考总复习•数学（文科）
(2)有下列四个命题：
①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题． 其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
高考总复习•数学（文科）
第一章
第二节 命题及其关系、充分
条件与必要条件
第一页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科）
四种命题及其真假
【例1】 (2013·济南模拟)在命题p的四种形式(原命题、逆命
题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：
“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则 a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝( )
第三页，编辑于星期五：十点 十八分。
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解析：若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平 行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定 平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题， 从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种 形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有两个正确命题， 即f(p)＝2.
A．1
B．2
C．3
D．4
第二页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科） 点评：由原命题写出其他三个命题时，应先将命题化为“若p，则q”
的形式，再利用其他三个命题与原命题的关系，直接写出相应的命 题．
当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时，必须保留大 前提且不作改换．另外，在判断命题的真假时，如果不易直接判 断它的真假，可以转化为判断其逆否命题的真假．
第十七页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科） 点评： 使用反证法的基本步骤是：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立． (2)从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛盾．
(3)由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立．实际 上是通过证明命题“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”成立 从而得到“若p，则q”成立的结论．在证明过程中，一定要注意对假
第十三页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科）
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又∵ab≠0，∴a≠0且b≠0.
∴a2－ab＋b2＝
2＋ b2>0.
∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝
答案：A
第十页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总Байду номын сангаас习•数学（文科）
变式探究
2．(2013·梅州二模)函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件 是( )
A．a·b＝0
B．a＋b＝0
C．a2＋b2＝0
D．a＝b
第十一页，编辑于星期五：十点 十八分。
高考总复习•数学（文科） 解析：若f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 即－x|x－a|＋b＝－x|x＋a|－b恒成立， 亦即x(|x－a|－|x＋a|)＝2b恒成立， 要使上式恒成立，只需|x－a|－|x＋a|＝2b＝0，即a＝b＝0， 故函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是a＝b＝0，故选C.