高中数学选修2-1 2.3.1双曲线及其标准方程(第一课时)

1.与椭圆一样双曲线的标准方程有焦点在x轴上 和焦点y轴上两种情况.
2.指出a 、 b 、 c的大小关系，并与椭圆比较.
3.如何根据双曲线的标准方程确定焦点的位置？
典例讲评
补例1 指出下列方程所表示的曲线
1. (x+1)2 y2 (x 1)2 y2 0 2. (x+5)2 y2 (x 5)2 y2 10
指向F1F2外侧的两条射线． （2）若2a>2c,则轨迹是什么？
动点M的轨迹不存在. （3）若2a=0,则轨迹是什么？
线段F1F2的垂直平分线.
探求方程
1.求曲线方程的步骤： 建系、设点、列式、化简、检验 2.类比椭圆标准方程的求法求出双曲线的 标准方程：
1. 建系
y
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中垂
上），另一焦点为F2，则△ABF2的周长为
__________.
（3）双曲线
x 2 y2 的 1两 9 16
个焦点F1，F2，A是双曲线上的一点，
且|AF1|=8，则|AF2|=_______.
（4）求与⊙C1：(x+3)2+y2=1和⊙C2： （x-3)2+y2=9都外切的圆M的圆心M的轨 迹方程。
由双曲线定义知： 2c 2a 即：c ac2 a2 0
设 c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：
x2 a2
y2 b2
1a 0，b 0
深化认识
思考？在化简双曲线方程的过程中有
x c2 y2 | a c x |
x c2 y2
a | a c x |
可变形为
a
例3：已知双曲线 x2 y2 1
9 16
的左、右焦点为F1，F2，点P在双曲 线上，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的 面积。
例4：某工程要挖一个横截面为半圆
的柱形隧道，挖出的土只能沿道路 AP，BP运到P处（如图）， PA=100m，PB=150m， ∠APB=60°，试说明怎样运土才能 最省工。
离2c叫做双曲线的焦距.
深化认识
1.定义中为什么要强调“平面内”？ 2.定义中为什么要强调“差的绝对值”？定义 中绝对值去掉有什么变化？
3.说说定义中常数2a的取值范围？
（1）2a<2c ； （2）2a >0 ；
深化认识
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ 动点M的轨迹是分别以点F1、F2为端点，方向
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
M
线为y轴建立直角坐标系，则F1(-c,0),F2(c,0)
2.设点 设M（x , y）为轨迹上任意一点
Fห้องสมุดไป่ตู้ O F2
x
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简
移项两边平方后整理得：cx a2 a x c2 y2
两边再平方后整理得： c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
x c2 y2
| a2 x |
c a
c
x c2 y2
| a2 x |
c a
c
这两个式子分别有什么几何含义?
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F1 O F2
x
F2 x
O
F1
x2 y2 a2 b2 1
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0,b2 c2 a2 )
深化认识
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. b2 52 32 16
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
变式练习
变式1：已知双曲线的焦点为F1(0, -5), F2(0, 5),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差 的绝对值等于6，求双曲线的标准方程;
a2 b2
F1 -c , 0，F2 c , 0
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
F1 0,- c，F2 0,c
a2-c2=b2 (a>b>0) 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
思考？与两定点的距离的和为非零常数 （大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆. 那么与两定点的距离的差为非零常数的点的 轨迹是什么？
3. (x+3)2 y2 (x 3)2 y2 4 4. (x+2)2 y2 (x 2)2 y2 6
典例讲评
例1 已知双曲线的焦点为F1( -5 , 0 ), F2( 5 , 0 )，双曲线上一点P到F1、F2的距离 的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解： ∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
例1:求下列符合条件的双曲线标准方程：
(1)以椭圆 x 2 y2 1的焦点为顶 85
点，顶点为焦点；
（2）过点 (3,9 2), c 10 a3
（3）经过点 (3,2 7)和(6 2,7)
（2）双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0)
的过焦点F1的弦AB长为m（A，B在同一支
数学实验
取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开 的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2 上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开 或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线.
①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
两条曲线合起来叫做双曲线.
双曲线定义.gsp
形成概念
思考？类比椭圆的定义，你能给出双曲线
的定义吗？
平面内与两个定点F1，F2的距 离的差的绝对值等于常数2a（小于 F1
| F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a＜ ︱F1F2︱
M F2
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距
x2 a2
y2 b2
1
表示焦点在x轴上的标准双曲线
(a 0,b 0,c2 a2 b2 )
y2 a2
x2 b2
1
表示焦点在y轴上的标准双曲线
F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c)
2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程
第一课时
复习引入
1.椭圆定义是什么？ 2.椭圆的标准方程是什么？
探究定义
不
图形
同
点
标准方程
焦点坐标
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）}．
y M
F1 O F2
x
y
F2
M
O
x
F1
x2 + y2 = 1a > b > 0
变式练习
变式4：已知双曲线的焦点为F1( -5 , 0 ), F2( 5 , 0 ),双曲线上一点P的坐标为(3 3，4 2), 求双曲线的标准方程.
课堂练习
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程: ⑴a=4,b=3,焦点在x轴上; ⑵焦点在x轴上,经过两点（- 2，- 3），（ 15 ，2）
3
⑶焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,-5)
思考 : 在双曲线 x2 y2 1上取一点P 16 9
与双曲线的两焦点F1 , F2构成PF1F2 , 求PF1 F2的 内 切 圆 与 边F1 F2的 切 点 坐 标 。
小结
Ⅰ双曲线的定义：
平面内满足| |MF1| - |MF2| | = 2a＜ ︱F1F2︱ （2a>0)的点M的轨迹
Ⅱ双曲线的标准方程
变式练习
变式2：已知双曲线的焦距为10,双曲线 上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6， 求双曲线的标准方程；
变式 3:已知两定点 F1(5, 0) , F2 (5, 0) ,动 点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6