中考复习 几何探究题(含答案)

几何探究题
1题（1）如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC ，为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点O ． ①如图1，求证：ABE ADC △≌△；
②探究：如图1，BOC ∠= ；如图2，BOC ∠= ； 如图3，BOC ∠= ．
（2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；A C A E
，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ．
①猜想：如图4，BOC ∠= （用含n 的式子表示）； ②根据图4证明你的猜想． 2题.请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段()()a a b a b +-的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及
PG
PC
的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG
PC 的值；
（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边
AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图
2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）若图1中2(090)ABC
BEF ∠=∠=<<αα，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问
题中的其他条件不变，请你直接写出PG
PC
的值（用含α的式子表示）． 3题。

如图，等腰梯形ABCD 中，AB =4，CD =9，∠C =60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.
（1）求AD 的长；
（2）设CP =x ，问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC 边上是否存在点M 使得四边形PD Q M 是菱形？若存在，请找出点M ，并求出BM
的长；不存在，请说明理由.
4题已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 2222PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别时，
2222PA PB PC PD 、、和（2）
D A B
E F C P G 图1 D C
G
P
A B
F
图2
证明你的结论．
答：对图（2）的探究结论为____________________________________．
对图（3）的探究结论为_____________________________________．
证明：如图（2）
5题如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴
．．．于点P，且以点E、F、P为顶点
的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长
最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
6题如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与
C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，
连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及
所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、
如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2
证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb (a≠b，k>0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=
1
2
，求22
BE DG
+的值．
7题正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。

如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．
⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。

①求证：DF＝EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。

请完成图3并判断⑴
中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
8(00)
，，(6
A Q从点O出发以每秒OC
2
3
秒时，动点AO 向终点t（秒）．
（1）用含t的代数式表示OP OQ
，；
（2）当1
t=时，如图1，将O P Q
△沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；（3）连结AC，将O P Q
△沿PQ翻折，得到EPQ
△，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC 能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．
（第22题）
图1
图2 图3
9题（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD
AB 与CD 的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用：
① 如图2，点M ，N 在反比例函数x
k
y =（k ＞0）的图象上，
过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ． 试证明：MN ∥EF ．
② 若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3
所示，请判断 MN 与EF 是否平行．
1题。

（1均为等边三角形， AD ∴=AE 且60BAD CAE ∠=
BAD CAE ∴∠∠+∠DAC BAE ∠=∠ 证法二： AD ∴=60CAE =
ADC ∴△60得到ABE ADC ∴△≌△．
②120，90，72．（2）①
360
n
②证法一：依题意，知BAD ∠和CAE ∠都是正n 边形的内角，AB AD =，AE AC =，
BAD DAE CAE DAE ∴∠-∠=∠-∠，即BAE DAC ∠=∠． ·
····························· 11分 ABE ADC ∴△≌△． ·
················································································· 12分 ABE ADC ∴∠=∠，180ADC ODA ∠+∠=，180ABO ODA ∴∠+∠= ·
·········· 13分 (2)180360
180180n BOC DAB n n
-∴∠=-∠=-
= ········································ 14分
证法二：同上可证 A B E A D C △≌△． ·
························································ 12分 ABE ADC ∴∠=∠，如图，延长BA 交CO 于F ，
180AFD ADC DAF ∠+∠+∠= ································ 13分 360
180BOC DAF BAD n
∴∠=∠=-∠=
··················· 14分 证法三：同上可证 A B E A D C △≌△． ·
························································ 12分 180(360)BOC BAC DAC ∴∠=--∠-∠ ······················································ 13分
即360
180BOC BAD n
∠=-∠=
··································································· 14分 证法四：同上可证 A B E A D C △≌△． ·
························································ 12分 图 3
D
AEB ACD ∴∠=∠．如图，连接CE ，BEC BOC OCE ∠=∠+∠
BOC AEC ACE ∴∠=∠+∠．·
··································· 13分 即360180BOC CAE n
∠=-∠
=
······························· 14分 2题⑴ 线段PG 与PC 的位置关系是PG PC ⊥；
PG
PC
·
················································································· 2分 ⑵ 猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长GP 交AD 于点H ，连结CH CG ，． P 是线段DF 的中点， 由题意可知AD FG ∥． 四边形ABCD 是菱形，
由60ABC BEF ∠=∠=，且菱形BEFG 的对角线
BF 恰好与菱形ABCD
的边AB 在同一条直线上， 可得60GBC ∠=
．
四边形BEFG 是菱形，
即120HCG ∠=． PG
PC
∴= ·
·············
·················································
················ 6分 ⑶
PG
PC
=tan(90)-α． 8分 3题（1）解法一：如图25-1 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E . 依题意，DE=
25
249=-. …………………………2 在Rt △ADE 中，AD=5
225
60=⨯=︒cos DE . ………5分
解法二：如图25-2
过点A 作AE ∥BC 交CD 于点E ，则CE=AB=4 . …2分 ∠AED=∠C=60°. 又∵∠D=∠C=60°，
∴△AED 是等边三角形 .
∴AD=DE=9－4=5 . …………………………………5分 （2）解：如图25-1
∵CP=x ，h 为PD 边上的高,依题意，△PDQ 的面积S 可表示为：
S=21
PD ·h ………………………………………6分 =21
(9－x)·x ·sin60°
D C G P A
B E
F
H
图25-1
图25-2
=43
(9x －x2)
=－43(x －29
)2＋16381. …………………………………………………
8分
由题意，知0≤x ≤5 . ……………………………………………………… 9分 当x =
2
9
时（满足0≤x ≤5），S 最大值=16381. …………………………… 10分
（3）证法一：如图25-3
假设存在满足条件的点M ，则PD 必须等于D Q . ………………………… 11分
于是9－x =x ，x =
2
9
. 此时，点P 、Q 的位置如图25-3所示，连Q P .
△PD Q 恰为等边三角形 .
过点Q 作Q M ∥DC ，交BC 于M ，点M 即为所求.
连结MP ，以下证明四边形PD Q M 是菱形 .
易证△MCP ≌△Q DP ，∴∠D=∠3 . MP =PD ∴MP ∥Q D , ∴四边形PD Q M 是平行四边形 .
又MP =PD , ∴四边形PD Q M 是菱形 . ………………………………… 13分 所以存在满足条件的点M ，且BM =BC －MC =5－29=2
1
. ………………… 14分 [注] 本题仅回答存在，给1分. 证法二：如图25-4
假设存在满足条件的点M ，则PD 必须等于D Q . ………………………… 11分
于是9－x =x ，x =
2
9. 此时，点P 、Q 的位置如图25-4所示，△PD Q 恰为等边三角形 .
过点D 作DO ⊥P Q 于点O ，延长DO 交BC 于点M ，连结PM 、Q M ，则DM 垂直平分P Q ，
∴ MP =M Q .
易知∠1=∠C . ∴P Q ∥BC .
又∵DO ⊥P Q ， ∴MC ⊥MD ∴MP =
2
1
CD =PD 即MP =PD =D Q =Q M
∴四边形PD Q M 是菱形 ……………………………………………………… 13分
所以存在满足条件的点M ，且BM =BC －MC =5－
29=2
1
……………… 14分 4题结论均是P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2（图2 2分，图3 1分） 证明：如图2过点P 作MN ⊥AD 于点M ，交BC 于点N ，
因为AD ∥BC ，MN ⊥AD ，所以MN ⊥BC
图25-3
图
25-4
在Rt △AMP 中，P A 2＝PM 2＋MA 2 在Rt △BNP 中，PB 2＝PN 2＋BN 2 在Rt △DMP 中，PD 2＝DM 2＋PM 2 在Rt △CNP 中，PC 2＝PN 2＋NC 2
所以P A 2＋PC 2＝PM 2＋MA 2＋PN 2＋NC 2 PB 2＋PD 2＝PM 2＋DM 2＋BN 2＋PN 2
因为MN ⊥AD ，MN ⊥NC ，DC ⊥BC ，所以四边形MNCD 是矩形 所以MD ＝NC ，同理AM ＝ BN ，
所以PM 2＋MA 2＋PN 2＋NC 2＝PM 2＋DM 2＋BN 2＋PN 2 即P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2 5题解：（1）(31)E ，；(12)F ，． （2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >， 顶点(12)F ，，
∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．
①如图①，当EF PF =时，2
2
EF PF =， 解得10n =（舍去）；24n =． 解得2a =．
∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+
②如图②，当EP FP =时，2
2
EP FP =， 解得5
2
n =-
（舍去）．
③当EF EP =时，3EP =<，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是2
2(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小．
如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点． 又
5EF =
∴5FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是5
6题(1)①,BG DE BG DE =⊥ ………………………………………………………………2分
②,BG DE BG DE =⊥仍然成立 ……………………………………………………1分
在图（2）中证明如下
∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形
∴BCG DCE ∠=∠…………………………………………………………………1分
∴BCG DCE ∆≅∆ （SAS ）………………………………………………………1分
又∵BHC DHO ∠=∠ 0
90CBG BHC ∠+∠=
∴BG DE ⊥ …………………………………………………………………………1分
（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立 …………………………………………………2分
简要说明如下
∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，
且AB a =，BC b =，CG kb =，CE ka =(a b ≠，0k >)
∴BCG DCE ∆∆………………………………………………………………………1分
又∵BHC DHO ∠=∠ 0
90CBG BHC ∠+∠=
∴BG DE ⊥ ……………………………………………………………………………1分
（3）∵BG DE ⊥ ∴2
2
2
2
2
2
2
2
BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+ 又∵3a =，2b =，k =
12
∴ 2
2
2
22
2
365
231()2
4
BD GE +=+++= ………………………………………………1分 ∴2
2
65
4
BE DG +=
………………………………………………………………………1分 7题⑴ ①略；②PC －PA
CE ；⑵结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA －PC
CE ；
8题解：（1）6OP t =-，2
3
OQ t =+．
（2）当1t =时，过D 点作1DD OA ⊥，交OA 于1D ，如图1， 则53DQ QO ==
，43
QC =， （3）①PQ 能与AC 平行．
图1
若PQ AC ∥，如图2，则
OP OA
OQ OC
=， 即
66
233
t t -=+，149t ∴=，而703t ≤≤， ②PE 不能与AC 垂直．
若PE AC ⊥，延长QE 交OA 于F ，如图3，
则
2
33
35t QF OQ AC OC +
==．
又
Rt Rt EPF OCA △∽△，PE OC
EF OA
∴
=
， 3.45t ∴≈，而7
03
t ≤≤，
t ∴不存在．
9题（1）证明：分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ， 垂足为G ，H ，则∠CGA ＝∠DHB ＝90°．……1分
∴ CG ∥DH ．
∵ △ABC 与△ABD 的面积相等，
∴ CG ＝DH ． …………………………2分 ∴ 四边形CGHD 为平行四边形．
∴ AB ∥CD ． ……………………………3分 （2）①证明：连结MF ，NE ． …………………4分
设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2
∵ 点M ，N 在反比例函数x
k
y =（k ＞0∵ ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴， ∴ OE ＝y 1，OF ＝x 2．
∴ S △EFM ＝
k y x 21
2111=⋅， ………………5分 S △EFN ＝k y x 2
1
2122=⋅． ………………6分
∴S △EFM ＝S △EFN ． ……………… 7分 由（1）中的结论可知：MN ∥EF ． ………8分 ② MN ∥EF ． …………………10分 （若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分．）。