考研概率与数理统计第一章 随机事件及其概率

event），它在每次试验中都不会发生；
样本空间Ω 称为必然事件（certain event)。Ω 包含所有
的样本点，因此在每次试验中它总是发生。
例1-8 抛一枚骰子，观察出现的点数. 样本空间为：
8 1, 2, 3, 4,5, 6 记事件 A 1, 2,3 , B 1,3,5 , C 3 D 点数大于7 那么：
样本空间 7 A, 1, 2,
1.1.4 随机事件
,10, J, Q, K
在进行随机试验时，人们常常关心满足某种特定条件的样 本点的集合：
例1-3中，灯泡的寿命是否超过2000小时； 集合 A t t 2000 例1-4中，是否第一次出现正面向上； 集合 B HHH , HHT , HTH , HTT
3.条件概率：对概率概念的补充，介绍四个公式——条件概率 公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式； 4.事件的独立性：研究两个事件或多个事件之间，一个事件的 发生对另外的事件的发生是否产生影响。
【基本要求】 1.理解本章的基本概念：随机试验、样本点、样本空间、随机 事件、频率、概率、事件的独立性； 2.熟练掌握随机事件的描述方法及事件的运算和关系，辨别事 件的互不相容、对立或独立的关系；
1.1.6 事件的运算规律
设 A，B，C ，为三个事件，那么有下列运算规律： 1 交换律 2 结合律
B C A ( B C ) ，( AB)C A( BC )
AC ，A ( BC ) ( A B)( A C )
A( B C ) AB
类似地，称
n k 1
Ak为n个事件 A1 , A2 ,
, An 的积事件，称
k 1
Ak
可列个事件 A1 , A2 ,
3 差事件
的积事件。
事件 A B A但 B 称事件 A 与事件 B的差事件。这 表明事件 A B 发生就是事件 A发生但事件 B 不发生。
显然：A B B A ，A B A AB 。
当抛出的骰子为3点时，事件 A，B，C 都发生了，当然 8 也 发生了；
当抛出的骰子为5点时，事件 B 发生了，当然8 也发生了， A，C 都未发生； C 是一个基本事件，而 D 是不可能事件。
1.1.5
事件的运算与关系
由于事件是一个集合，因而事件的关系与运算可以类似集 的子集, 合的关系与运算.设 A, B, A（ k k=1，2，„）是样本空间
样本空间由试验的目的所确定(不是动作！).
例1-4 将一枚硬币掷三次，观察出现正面H、反面T的情况； 样本空间 4 {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }
例1-5 将一枚硬币掷三次，观察出现正面的次数； 样本空间 5 0, 1, 2, 3 例1-6 从一副扑克牌中任取一张，观察其花色； 样本空间 6 桃，心，梅，方 例1-7 从一副扑克牌中任取一张，观察其点数.
5 完备事件组 n个事件 A1 , A2 , , An 有且仅有一个发生，称 A1 , A2 , , An 为
Ak 且 样本空间Ω 的一个完备事件组或一个划分.即： k 1
n
Ai Aj
Ω A
1 i
B
j n
Ω A B
Ω A B
Ω A B
Ω A B
Ω A B= A
图1-1 事件的运算与关系
记为Ω。随机试验的每一种可能的结果，即样本空间中的元素，
称为样本点。
写出下列试验中的样本空间： 例1-1 掷一枚硬币，观察出现正面H、反面T的情况； 样本空间 1 H , T 例1-2 一射手连续向目标射击直到击中为止，记录射击的次数； 样本空间 2 1, 2, , n , 例1-3 从一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命； 样本空间 3 t t 0 从下面的例子中我们知道：
1.1.2 随机试验 概率中，我们把对某种现象的某种特征的观察或者科学试 验统称为试验。 如果试验具有下列三个特点则称为随机试验。 （1）可以在相同条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，试验之前不能确定 会出现哪个结果； （3）试验之前可以预知所有可能出现的结果。 1.1.3 样本空间（Sample Space） 随机试验所有可能出现的结果组成的集合称为样本空间，
不放回抽样,直到抽出全部次品为止,考察抽取产品的次数.用 A表示前3次正好取出所有次品,B表示最后一次取得的是次品, C表示前5次取出的都不是次品。 （3）E：从5条长为1，3，5，7，9线段中一次取出3条，记录 它们的长度.用A表示取出的三条能组成三角形，B表示最小 周长的三角形，C表示取出的三条线段之和不超过10。
（4）E：在某时间段内，某甲等候的公汽每5分钟一趟，某乙
等候的公汽6分钟一趟。在该时间段内如果两人同时到达车
站，观察他们等候汽车的时间.用A表示甲乘客先上车，B表
示乙先上车，C表示二人同时上车。
B 是两个随机事件，下面的关系式在什么条件下成立？ 2. 设 A，
（1） A
BA
（2） AB A （3） A B A （4） A B
集合 A，B 事实上就是样本空间的子集。我们称样本空间的 子集称为随机事件，简称事件，一般用大写字母A，B，C， „ 来表示。 在一次试验中，当且仅当事件A中的某个样本点出现时， 称事件A发生了。 特别地： 仅包含一个样本点的事件，称为基本事件。 不包含任何样本点集合Φ ，称为不可能事件（impossible
设表示第ii12?n个人发生意外表示赔付iaa则且相互独立111pa1??11099??nnniiiipapa?????2即超过685人时赔付1099pa??0568416nn???的概率大于12例132电路的可靠性表示系统正常工作表示各元件正常工作且即同种元件iprp?irl1串联电路1212plprpr??nnnprrrprp?所有的元件正常工作系统才能正常工作2r1rnr串联的元件越多正常工作的概率越小任何一个元件正常该系统正常121211????1111nnnplprpr??rrprprp???元件越多越可靠2并联电路nr2r1r拆分成并联和串联
3．事件的独立性和有关计算。
难点： 1．古典概型中样本空间的选择，样本点个数的计算； 2．概率计算公式的应用及应用的条件； 3．应用问题中随机事件和随机事件的关系的确定或表示。
1.1
1.1.1
随机事件（Random Occurrence）
随机现象
在自然界的科学试验与生产实践中，人们可以观察到 两种现象：必然现象与随机现象。 必然现象：在一定条件下必然会发生。 例如： •上抛石子必然下落； •同种电荷相斥，异种电荷相吸引； •太阳从东边升起； •人总是要死的。
3. 下列命题是否正确？
（1）若 A C B C ，则 A B ； （2）若 A C B C ，则 A B ； （3）若 AC BC ，则 A B ； AB 与 AB也是互不相容。 （4） AB 与 AB互不相容，
自测题1.1.2
1. 口袋中有红、白、黄三种颜色的球，从中一次取出2只，考 察球的颜色.用A表示取出的球中没有红色球，B表示只有红 色球,C表示球的颜色各不相同,D表示球的颜色相同.试用集 合表示样本空间和随机事件A,B ,C,D。
4 德·莫根律
AB A B A B A B， A1 , A2 , , An 有 对于 n个事件：
A1 A1 A2
A2
An A1 A2 An A1 A2
An An
1.1.7 典型例题 例1-9 事件 AB与 A、B 的关系？ AB A ， AB B. AB 与 B互不相容. 事件 AB与 A、B 的关系？ AB A ， 例1-10 如图1-2所示的电路中，设 A1 , A2 , A3分别表示继电器 B 表示灯亮.试用事件 A1 , A2 , A3 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ闭合， 表示事件 B 。 解：继电器Ⅰ闭合，且Ⅱ或Ⅲ之一闭合时灯亮，
2. 在某系学生中任选一名同学,A设表示选出的学生是男生,B
表示选出的是三年级学生,C表示选出的学生是系足球队队 员。 (1)叙述事件 ABC 的含义； (2)在什么条件下 ABC A成立？
Q 外语学院女生，则 P 与 Q 互不 例如：设 P 汽车学院男生， A B A ，B A B。 相容.若 A B ，那么：
4 对立事件（互逆） 若 A B 而且 A B ，则称事件 A 与事件 B互为对立事 件.这表明事件 A、B有且仅有一个发生.A的对立事件记为 A 例如：设 汽院全体同学P 汽车学院男生Q 汽车学院女生 则 P 与 Q 相互对立。 对立事件一定是互不相容事件，互不相容事件不一定是对 立事件。
1.1.5.2 事件的关系 1 包含事件 若 A B ，则称事件 B 包含事件 A .这表明事件 A 发生必然 导致事件 B 发生，也就是 A的样本点必然是的样本点 B 。 特别地： A B AB A ， A B A B B 2 相等事件 若 A B且 B A ，即 A B ，则称事件 A 等于事件 B .这表 明当且仅当事件 A 发生时，事件 B 发生，也就是 A 与 B 的样本 ， 点完全相同。 3 互不相容事件（互斥） 若 A B ，则称事件 A与事件 B 互不相容.这表明事件 A 与事件 B 不能同时发生，也就是 A 与 B 没有相同的样本点。
Ⅱ Ⅰ
因此： B A1 ( A2
A3 )
Ⅲ
图1-2
例1-11 设 A, B, C 为三个事件，试用这三个事件表示下列事件： （1） A, B, C 中至少有一个发生； （2） A, B, C 中恰好有一个发生； （3） A, B, C 中不多于一个发生； （4） A, B, C 不都发生（至少有一个不发生）。 解 （1） A B C ； （2） ABC
随机现象：在一次试验或观察中，不能预知会出现哪种结果， 但经过大量重复的试验或者观察，其结果会呈现某种规律性 （称为统计规律性）。例如：
•抛一枚质地均匀的硬币一次，可能正面向上，也可能反面向上；
•从一副扑克牌中任取一张，取出的牌的花色不一定； •一射手向目标射击，每次落点不一定； •生男生女。
概率论与数理统计是一门研究随机现象的统计规律性的科学， 在各学科和行业中有着广泛的应用.气象、地震的预测，电子 元件的使用寿命和可靠性分析，信号的接受，市场规律的研究…
ABC ABC；
（3） ABC ABC ABC ABC 或 AB BC AC ；
（4） A B C 或 A B C 。
AB 与 AB是不同的，千万不可混淆！ 注意：
自测题 1.1.1
1．用集合的形式表示下面随机试验E的样本空间和指定的随机 B C： 事件 A，，
（1）E:抛掷一枚硬币两次，观察向上的面.用A表示没有正 C 表示有正面向上。 B 表示只有正面向上， 面向上， （2）E:10件产品中有7件正品3件次品，每次从中抽取一件作
有下列关系与运算：
1.1.5.1 事件的运算 以下事件的关系和运算都可以用事件“发生”的观点来解 释，也可用集合的运算来表达。 1 和事件 事件 A B A或 B 称事件A 与事件 B的和事件， 这表明事件 A B 发生就是事件A 与事件B 至少一个发生。 类似地，称
n k 1
1.1 随机事件
1.2 事件的概率 1.3 条件概率 1.4 事件的独立性
第一章
【内容提要】
随机事件及其概率
1.随机事件及其关系：介绍随机试验、样本空间、随机事件等 概念和随机事件之间的关系和运算；
2.概率的定义：介绍了两种概率模型——古典概型和几何概型， 给出了概率的统计定义和公理化定义；
Ak 为 n个事件（有限多）A1 , A2 ,
, An 的和事
件，称
k 1
Ak 为可列个事件 A1 , A2 , （无穷多）的和事件。
2
积事件
事件 A B A且 B称事件 A 与事件 B 的积事件。
这表明事件 A B 发生就是事件 A 与事件 B 同时发生。事件 A B 也记为 AB 。
3.掌握概率的性质，并能在概率的有关计算问题中灵活运用；
4.掌握一般的古典概型及几何概型的计算方法；
5.熟练掌握并能灵活运用本章的重要公式：条件概率公式， 乘法公式，全概率公式及贝叶斯公式；
6.熟练运用独立性作有关计算。
【重点难点】 重点：
1．随机事件、随机事件之间的关系及运算； 2．概率的计算公式：加法公式，条件概率公式，全概率公式， 贝叶斯公式；