七年级数学下册第五章生活中的轴对称阶段核心方法等腰三角形中作辅助线的八种常用方法习题新版北师大版

4．如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延 长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BE于G. 试说明：BG＝EG.
解：如图，过点D作DF∥BE， 交AB的延长线于F， 所以∠ABC＝∠F，∠ACB＝∠ADF.
因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC＝BC，∠ABC ＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°. 所以△ADF是等边三角形．所以AD＝DF＝AF. 所以CD＝BF.因为AD＝CE，所以FD＝CE. 因为∠DCE＝∠ACB＝60°，所以∠DFB＝∠DCE.
在△ FBD 和△ CDE 中，B∠FD＝FCBD＝，∠DCE， FD＝CE，
所以△ FBD≌△CDE(SAS)． 所以 DB＝DE，即△ BDE 是等腰三角形． 又因为 DG⊥BE 于 G，所以 G 为 BE 的中点．所以 BG＝EG.
5．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD.试说明： （1）BE＝CE； 解：如图，延长AB，DE交于点F. 因为AB∥CD，所以∠2＝∠F. 又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠2＝∠F.所以AD＝AF. 因为AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF， 所以DC＝BF.因为∠DEC＝∠FEB，所以 △DCE≌△FBE(AAS)．所以BE＝CE.
解法二：如图②，延长DA到点E，使AE＝AC，连接CE， 则∠E＝∠ACE.所以∠BAC＝180°－∠CAE＝∠E＋ ∠ACE＝2∠E.因为∠BAC＝2∠B，所以∠B＝∠E. 所以BC＝EC.因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝ ∠BCD.所以∠ADC＝180°－∠BDC＝∠B＋∠BCD＝ ∠B＋∠ACD.又因为∠DCE＝∠ACE＋∠ACD＝ ∠B＋∠ACD，所以∠ADC＝∠DCE.所以DE＝CE. 所以AC＋AD＝AE＋AD＝DE＝BC.
在△ EMA 和△ END 中，∠ ∠EAMAME＝ ＝∠ ∠NDDNEE＝ ＝8900°°， ， EM＝EN，
所以△ EMA≌△END(AAS)．所以 EA＝ED. 又因为 DE＝DC，所以 EA＝DC.所以 BC＝BD＋DC＝BE＋AE.
（2）探究：若∠A＝108°，则BC的长等于哪两条线段长的和 呢？试说明理由． 解：BC＝CE＋AB.理由如下： 在CB上截取CP＝CE，连接PE，如图所示． 因为AB＝AC，∠A＝108°， 所以∠ABC＝∠C＝(180°－108°)÷2＝36°.
（1）DE＝DF；
解：如图，连接AD.
因为 AB＝AC，D 为 BC 的中点， 所以 AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C. 因为∠BAC＝90°，所以∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°. 所以 AD＝BD.
BE＝AF， 在△ BED 和△ AFD 中，∠B＝∠DAF，
BD＝AD， 所以△ BED≌△AFD(SAS)．所以 DE＝DF.
（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的 过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变 的线段？请说明理由．
解：ED 的长度保持不变．理由如下： 由(1)知 PB＝PF.因为 PE⊥BF，所以 BE＝EF. 由(1)知△ PFD≌△QCD，所以 FD＝CD. 所以 ED＝EF＋FD＝12BF＋12CF＝12BC. 所以 ED 的长度保持不变．
（2）AE⊥DE； 解：由(1)知△DCE≌△FBE，AD＝AF， 所以DE＝EF.所以AE⊥DE.
（3）AE平分∠DAB.
因为DE＝EF，AD＝AF， 所以AE平分∠DAB.
6．如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点，AD，CE 交于点F，且AE＝EF.试说明：AB＝CF.
解法一：如图①，延长AD至点G，使DG＝AD，连接CG. 因为BD＝CD，∠ADB＝∠GDC，所以 △ABD≌△GCD(SAS)． 所以AB＝CG，∠G＝∠EAF. 因为AE＝EF，所以∠EAF＝∠EFA. 又因为∠EFA＝∠CFG，所以∠G＝∠GFC. 所以CG＝CF.所以AB＝CF.
因为CP＝CE，所以∠CPE＝(180°－36°)÷2＝72°. 所以∠BPE＝180°－72°＝108°.所以∠BPE＝∠A. 因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠PBE.
∠A＝∠BPE， 在△ ABE 和△ PBE 中，∠ABE＝∠PBE，
BE＝BE. 所以△ ABE≌△PBE(AAS)．所以 BA＝BP. 所以 BC＝CP＋BP＝CE＋AB.等腰三角形中作辅助线的八种常用
方法
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1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC 的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF. 试说明：
解法二：如图②，作BM⊥AD于点M，CN⊥AD交AD的延 长线于点N，则∠BMD＝∠CND＝90°. 又因为BD＝CD，∠BDM＝∠CDN， 所以△BMD≌△CND(AAS)．所以BM＝CN. 因为AE＝EF，所以∠EAF＝∠EFA＝∠CFN. 又因为∠BMA＝∠CNF，所以△ABM≌△FCN(AAS)． 所以AB＝CF.
解法三：如图③，在BC上截取CE＝CA，连接DE. 因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝∠ECD. 又因为CD＝CD，所以△ACD≌△ECD(SAS)． 所以AD＝DE，∠BAC＝∠DEC. 因为∠BAC＝2∠B，∠DEC＝180°－∠BED＝∠B＋ ∠BDE，所以∠BDE＝∠B.所以DE＝BE. 所以AC＋AD＝CE＋BE＝BC.
8．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分 ∠ABC交AC于点E.
（1）试说明：BC＝BE＋AE.
解：在BC上截取BD＝BE，连接DE，如图所示． 因为AB＝AC，∠BAC＝100°， 所以∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.
因为BE平分∠ABC，所以∠CBE＝∠ABE＝20°. 又因为BD＝BE，所以∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2 ＝80°.因为∠BDE＝180°－∠CDE＝∠C＋∠CED，∠C ＝40°，所以∠CED＝40°＝∠C.所以DE＝DC. 过点E作EM⊥BA交BA的延长线于点M，EN⊥BC于点N. 因为BE平分∠ABC，EM⊥BA，EN⊥BC，所以EM＝EN. 因为∠BAC＝100°，所以∠CAM＝180°－100°＝80°.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段 BA移动（点P与A，B不重合），同时，点Q从点C出 发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同， PQ与直线BC相交于点D.
（1）试说明：PD＝QD；
解：如图，过点 P 作 PF∥AC 交 BC 于点 F. 因为点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同，所以 BP＝CQ.
（2）DE⊥DF.
解：因为△BED≌△AFD， 所以∠BDE＝∠ADF. 所以∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°. 所以∠EDF＝90°. 所以ED⊥DF.
2．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC 于D，E是AD上一点，且EA＝EC.试说明：EB⊥AB.
解：如图，作EF⊥AC于点F. 因为EA＝EC，所以AF＝FC. 因为AC＝2AB，所以AF＝AB. 因为AD平分∠BAC，所以∠BAE＝∠FAE. 又因为AE＝AE，所以△ABE≌△AFE(SAS)． 所以∠ABE＝∠AFE＝90°.所以EB⊥AB.
因为 PF∥AQ，所以∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD. 又因为 AB＝AC，所以∠B＝∠ACB.所以∠B＝∠PFB.所以 BP ＝PF.所以 PF＝CQ.在△ PFD 和△ QCD 中，∠∠PDDPFF＝＝∠∠QDDQCC，，
PF＝CQ， 所以△ PFD≌△QCD(AAS)．所以 PD＝QD.
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB 于点D.试说明：AC＋AD＝BC.
解法一：如图①，延长CA至点E， 使EA＝AD，连接DE，则∠E＝∠ADE. 所以∠BAC＝180°－∠DAE ＝∠E＋∠ADE＝2∠E. 因为∠BAC＝2∠B，所以∠E＝∠B.
因为CD平分∠ACB， 所以∠ECD＝∠BCD. 又因为CD＝CD， 所以△CDE≌△CDB(AAS)． 所以CE＝CB. 因为CE＝AC＋AE＝AC＋AD， 所以AC＋AD＝BC.