最新-人教A版高中数学选修11 333 函数的最值与导数 课件共33张 精品

只需 m2＋m＋10≥28，解得 m≥2 或 m≤－3. 33
所以实数 m 的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
当堂检测
1.函数 y＝f(x)在[a，b]上 A.极大值一定比极小值大 C.最大值一定是极大值
(D ) B.极大值一定是最大值 D.最大值一定大于极小值
解析 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上 的最大值一定大于极小值.
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由 f(x)max＝k＋5＝10，得 k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.
课堂小结
作业
生活中没有什么可怕的东西，只有需 要理解的东西.
——居里夫人
谢谢观看
下课
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在 (a, b) 内的极值． (2)将函数y＝f(x)的 各极值 与端点处的函数值f(a)，f(b)比 较，其中最大的一个是最大值，最小 的一个是最小值．
问题探究 探究1： 函数的最值与导数的关系
例 1、求函数 f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5 在区间[－2，＋∞)上的最 值．
解：存在显然 a≠0.f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)当 a>0，x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
＋
0
－
f(x) 单调递增
极大值 单调递减
所以当 x＝0 时，f(x)取得最大值，所以 f(0)＝b＝3. 又 f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)． 所以当 x＝2 时，f(x)取得最小值， 即－16a＋3＝－29，解得 a＝2.
(2)当 a<0，x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x f′(x)
f(x)
[－1,0) －
单调递减
0 0 极小值
(0,2] ＋ 单调递增
所以当 x＝0 时，f(x)取得最小值，所以 b＝－29.
又 f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29， f(2)>f(－1)． 所以当 x＝2 时，f(x)取得最大值， ∴f(2)＝－16a－29＝3，解得 a＝－2， 综上可得，a＝2，b＝3 或 a＝－2，b＝－29.
2.函数 f(x)＝x3－3x(|x|<1)
(D )
A.有最大值，但无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值
D.既无最大值，也无最小值
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当 x∈(－1,1)时，
f′(x)<0，所以 f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值
第三章 导数及其应用
3.3.3 函数的最值与导数
1、能够区分极值与最值两个不同的概念． 2、会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般 不超过三次)．
知识导学
1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲 线，那么它必有最大值和最小值．
∴原函数在0，π6上单调递增，在π6，π2上单调递减．当 x＝0 时，y＝2，当 x＝π2时，y＝π2，当 x＝π6时，y＝π6＋ 3， ∵π6＋ 3>2>π2， ∴当 x＝π6时取最大值，故应选 B.
问题探究 探究2： 由函数的最值求参数的取值范围
例 2、 (1)函数 f(x)＝x3－x2－x＋a 在区间[0,2]上的最大值
学以致用
3、已知函数 f(x)＝1x3＋ax＋b(a，b∈R)在 x＝2 处取得极小值－4.
3
3
(1)求 f(x)的单调递增区间．
(2)若 f(x)≤m2＋m＋10在[ －4,3] 上恒成立，求实数 m 的取值范围． 3
解：(1)f′(x)＝x2＋a，由 f′(2)＝0，得 a＝－4； 再由 f(2)＝－43，得 b＝4. 所以 f(x)＝1x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4.
所以函数 f(x)的递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)； 递减区间为－23，1.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当 x＝－23时， f－23＝2227＋c 为极大值，
因为 f(2)＝2＋c，所以 f(2)＝2＋c 为最大值． 要使 f(x)<c2(x∈[－1,2])恒成立，只需 c2>f(2)＝2＋c， 解得 c<－1 或 c>2. 故 c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
由于当x＞32时，f′(x)＞0， 所以f(x)在32，＋∞上为增函数． 因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－1145，无最大值．
归纳总结
求函数最值的四个步骤 第一步求函数的定义域． 第二步求f′(x)，解方程f′(x)＝0. 第三步列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表． 第四步求极值、端点值，确定最值．
和最小值，故选 D.
3.函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是
(C )
A.π－1
B.π2－1
C.π D.π＋1
解析 因为 y′＝1－cos x，当 x∈π2，π时，y′>0，则函数
y 在区间π2，π上为增函数，所以 y 的最大值为 ymax＝π－sin π
＝π，故选 C.
4.函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋k 在区间[－4,4]上的最大值为 10， 则其最小值为__－__7_1___. 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1). 由 f′(x)＝0 得 x＝3 或 x＝－1. 又 f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
是 3，则 a 等于
()
A．3 B．1
C．2 D．－1
(2)已知函数 f(x)＝2x3－6x2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求
a 的值，并求 f(x)在[－2，2]上的最大值．
解析 (1)f′(x)＝3x2－2x－1， 令 f′(x)＝0，解得 x＝－1(舍去)或 x＝1，
3 又 f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2， 则 f(2)最大，即 a＋2＝3，所以 a＝1. 答案：B
因为
f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f
′
－2 3
＝43－43a＋b＝0，
解得 a＝－1，b＝－2， 2
所以 f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
－∞，－23 －23
f′(x)
＋
0
－23，1 －
1 调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
学以致用
1、函数 y＝x＋2cos x 在 0，
π 2 上取最大值时，x 的值为
(
)
A．0
B．π6
C．π 3
D．π 2
解析：选B y′＝1－2sin x，令y′＝0，得sin x＝12， ∵x∈0，π2，∴x＝π6. 由y′>0得sin x<12， ∴0≤x<π6；由y′<0得sin x>12，∴π6<x≤π2，
3 令 f′(x)＝x2－4>0，得 x>2 或 x<－2. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．
(2)因为 f(－4)＝－4，f(－2)＝28，f(2)＝－4，f(3)＝1，
3
3
3
所以函数 f(x)在[－4,3]上的最大值为238.
要使 f(x)≤m2＋m＋10在[－4,3]上恒成立， 3
问题探究
探究3： 与最值有关的恒成立问题
例 3、已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝－2与 x＝1 处都取得 3
极值． (1)求 a，b 的值及函数 f(x)的单调区间． (2)若对 x∈[ －1,2] ，不等式 f(x)<c2 恒成立，求 c 的取值范围．
解： (1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
(2)解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2. 又 f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40，f(0)>f(2)>f(－2)， 所以当 x＝－2 时，f(x)min＝a－40＝－37，得 a＝3. 所以当 x＝0 时，f(x)max＝3.
归纳总结
恒成立问题向最值转化的方法 (1)要使不等式 f(x)<h 在区间[m，n]上恒成立，可先在 区间[m，n]上求出函数的最大值 f(x)max，只要 h>f(x)max， 则上面的不等式恒成立． (2)要使不等式 f(x)>h 在区间[m，n]上恒成立，可先在 区间[m，n]上求出函数 f(x)的最小值 f(x)min，只要 f(x)min>h， 则不等式 f(x)>h 恒成立．
归纳总结
已知函数最值求参数的步骤 (1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处 的函数值． (2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个 是最小值． (3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
学以致用
2、已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a，b，使 f(x) 在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29，若存在，求出 a，b 的值； 若不存在，请说明理由．