2019-2020年南通市如皋市高一上册期末数学试题(有答案)名师版

江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁
U
A= ．
2．（5分）已知函数y=2sin（ω+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= ．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是．
4．（5分）设函数f（）=，则f[f（﹣）]的值为．
5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．
6．（5分）（log
23+log
2
27）×（log
4
4+log
4
）的值为．
7．（5分）将函数f（）=sin（2+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g （）的图象，若y=g（）是偶函数，则φ= ．
8．（5分）已知函数f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为．
9．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．
10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为．
11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ= ．
12．（5分）已知函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实
数根，则实数a的取值范围是．
13．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|= ．
14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是．（）
二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（14分）已知集合A={|f（）=lg（﹣1）+}，集合B={y|y=2+a，≤0}．
（1）若a=，求A∪B；
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
16．（14分）已知函数f（）=Asin（ω﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（）的解析式；
（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．
17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．
（1）若|+2|=3，求实数m的值；
（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．
18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N （异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：m），PN⊥MN．
（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；
（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．
19．（16分）已知函数f（）=m（sin+cos）﹣4sincos，∈[0，]，m∈R．
（1）设t=sin+cos，∈[0，]，将f（）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；
（2）若关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．20．（16分）（1）已知函数f（）=2+（＞0），证明函数f（）在（0，）上单调递减，并写出函数f（）的单调递增区间；
（2）记函数g（）=a||+2a（a＞1）
①若a=4，解关于的方程g（）=3；
②若∈[﹣1，+∞），求函数g（）的值域．
江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁
A= {2} ．
U
【解答】解：全集U={﹣1，2，4}，
集合A={﹣1，4}，
则∁
A={2}．
U
故答案为：{2}．
2．（5分）已知函数y=2sin（ω+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= 3 ．【解答】解：由题意可得：最小正周期T==，
解得：ω=3．
故答案为：3．
3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：设幂函数的解析式为y=α，
其函数图象过点（2，4），
则4=2α，
解得α=2，
所以y=2，
所以函数y的单调递减区间是（﹣∞，0）．
故答案为：（﹣∞，0）．
4．（5分）设函数f（）=，则f[f（﹣）]的值为 4 ．
【解答】解：∵f（）=，
∴f（﹣）=2=2=2，
f[f（﹣）]=f（2）=22=4．
故答案为：4．
5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．【解答】解：∵⊥，∴•=sinB+cosB=0⇒tanB=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=．
故答案为：．
6．（5分）（log
23+log
2
27）×（log
4
4+log
4
）的值为0 ．
【解答】解：原式=log
281×log
4
1=0，
故答案为：0
7．（5分）将函数f（）=sin（2+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g
（）的图象，若y=g（）是偶函数，则φ= ．
【解答】解：图象向左平移得到f（+）=2sin（2++φ），
∴g（）=2sin（2++φ），
∵g（）为偶函数，
因此+φ=π+，
又0＜φ＜π，
故φ=．
故答案为：．
8．（5分）已知函数f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为 1 ．
【解答】解：f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），
∴，
解得m=1
故答案为：1
9．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．
【解答】解：∵sin（α﹣）=，
∴sin（2α+）=cos[﹣（2α+）]=cos（2α）=cos[2（α﹣）]=1﹣2sin2（α
﹣）=1﹣2×（）2=．
故答案为：．
10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为 3 ．
【解答】解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，
∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，
则===3，
故答案为：3．
11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原
点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ= ．
【解答】解：由题意可得，α+θ=，tanα=4，∴tan（α+θ）=﹣1，
即=﹣1，即=﹣1，求得tanθ=，
故答案为：．
12．（5分）已知函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实
数根，则实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a＜2 ．
【解答】解：由题意，关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，
则f（）=a2﹣2a有三个不同的交点，
∵f（）=，
∴﹣1＜a2﹣2a＜0，
∴0＜a＜1或1＜a＜2，
故答案为0＜a＜1或1＜a＜2．
13．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|= π．
【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，
∴|+|=2×=π，
故答案为π．
14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是[﹣，] ．（）
【解答】解：设=，，∴，；
则•=+=，
当λ=0时，f（λ）=最大为，当时，f（λ）=最小为﹣；则•的取值范围是[﹣，]，
故答案为：[﹣，]，
二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（14分）已知集合A={|f（）=lg（﹣1）+}，集合B={y|y=2+a，≤0}．
（1）若a=，求A∪B；
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由f（）=lg（﹣1）+可得，﹣1＞0且2﹣≥0，
解得1＜≤2，故A={|1＜≤2}；…（2分）
若a=，则y=2+，当≤0时，0＜2≤1，＜2+≤，
故B={y|＜y≤}；…（5分）
所以A∪B={|1＜≤}．…（7分）
（2）当≤0时，0＜2≤1，a＜2+a≤a+1，故B={y|a＜y≤a+1}，…（9分）
因为A∩B=∅，A={|1＜≤2}，所以a≥2或a+1≤1，…（12分）
即a≥2或a≤0，
所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0．…（14分）
16．（14分）已知函数f（）=Asin（ω﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（）的解析式；
（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．
【解答】（本题满分为14分）
解：（1）据函数y=f（）的解析式及其图象可知A=2，…（2分）
且T=﹣（﹣）=π，其中T为函数y=f（）的最小正周期，故T=2π，…（4分）
所以=2π，解得ω=1，
所以f（）=2sin（﹣）．…（6分）
（2）由f（α+）=，可知2sin（﹣）=，即sinα=，
因为α∈（0，），
所以cos==．…（8分）
由f（β+）=，可知2sin（﹣）=，即sin（+）=，
故cosβ=，
因为β∈（0，），
所以sin=，…（10分）
于是cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．…（12分）因为α，β∈（0，），
所以α+β∈（0，π），
所以α+β=．…（14分）
17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．
（1）若|+2|=3，求实数m的值；
（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．
【解答】解：（1）因为|+|=2，所以|+|2=4．
即以2+2+2•=4．，…（2分）
又||=1，||=m，所以．…（3分）
由|+2|=3，所以所以|+2|2=9．
即以2+42+4•=9，
所以1+4×+4m2=9，解得m=±1，…（6分）
又||≥0，所以m=1．…（7分）
（2）因为，||=1，||=m，
所以|﹣|2=2+2﹣2•=1﹣2×+m2=2m2﹣2，|﹣|=．…（9分）
又因为+与﹣的夹角为，所以（+）•（﹣）=以2﹣2=|+|×|﹣|cos
即，所以1﹣m2=2×，解得m=±，…（13分）
又||≥0，所以m=．…（14分）
18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N （异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：m），PN⊥MN．
（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；
（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．
【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．
在Rt△MAN中，sinθ==，故NA=2sinθ，
在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ==，cosθ==，
故PD=sinθ，ND=cosθ．
在Rt△PDA中，PA==
=，
所以l（θ）=，
函数l（θ）的定义域为（0，）．
（2）由（1）可知，l（θ）=，
即l（θ）==
===，
又θ∈（0，），故2θ﹣∈（﹣，），所以当2θ﹣=，
即θ=时，sin（2θ﹣）取最大值1，
==1+．
l（θ）
ma
答：当θ=时，l（θ）有最大值，最大值为1+．
19．（16分）已知函数f（）=m（sin+cos）﹣4sincos，∈[0，]，m∈R．
（1）设t=sin+cos，∈[0，]，将f（）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；
（2）若关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）因为t=sin+cos=，∈[0，]，所以t∈[1，]，sincos=．…（2分）
所以g（t）=mt﹣4•=﹣2t2+mt+2．…（5分）
（2）因为关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，
据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，]恒成立，…（6分）
所以，得m≥．所以实数m的取值范围是[，+∞）．…（10分）
（3）因为关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数解，
据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1，]上有实数解，
即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1，]上有实数解，…（11分）
所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．
令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，开口向上，对称轴t=，
①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1，]上单调递减，
故，解得m不存在．…（13分）
②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1，]上单调递增，
故，解得2+≤m≤4．…（15分）
综上所述，实数m的取值范围是[2+，4]．…（16分）
20．（16分）（1）已知函数f（）=2+（＞0），证明函数f（）在（0，）上单调递减，并写出函数f（）的单调递增区间；
（2）记函数g（）=a||+2a（a＞1）
①若a=4，解关于的方程g（）=3；
②若∈[﹣1，+∞），求函数g（）的值域．
【解答】（1）证明：设
1，
2
是区间（0，）上的任意两个实数，且
1
＜
2
，
则f（
1）﹣f（
2
）=2（
1
﹣
2
）+（﹣）=，
因为0＜
1＜
2
＜，所以
1
﹣
2
＜0，0＜
12
＜，故2
12
﹣1＜0，
所以f（
1）﹣f（
2
）＞0，即f（
1
）＞f（
2
），
所以函数f（）在（0，）上单调递减，
函数f（）的单调递增区间为（，+∞）．（2）解：①当a=4时，4||+2•4=3，
（ⅰ）当≥0时，4+2•4=3，即4=1，所以=0；（ⅱ）当＜0时，4﹣+2•4=3，
即2•（4）2﹣3•4+1=0，
解得：4=1或4=，
所以=﹣或0；
综上所述，方程g（）=3的解为=0或=﹣；
②（ⅰ）当≥0时，g（）=3a，其中a＞1，
=g（0）=3，
所以g（）在[0，+∞）上单调递增，g（）
min
所以g（）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；
（ⅱ）当∈[﹣1，0）时，g（）=a﹣+2a，其中a＞1，
令t=a，则t∈[，1），g（）=2t+=f（t），
（ⅰ）若1＜a≤，则≥，
据（1）可知，f（t）=2t+在[，1）上单调递增，
所以f（）≤f（t）＜f（1），且f（）=a+，f（1）=3，
此时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[a+，3）；
（ⅱ）若a＞，则＜，
据（1）可知，f（t）=2t+在[，）上单调递减，在（，1）上单调递增，=f（）=2，又f（）=a+，f（1）=3，
所以f（t）
min
当f（）≥f（1）时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[2，a+]，
当f（）＜f（1）时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[2，3）；
综上所述，当1＜a≤时，函数g（）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+，+∞；
当a＞时，函数g（）在[﹣1，+∞）上的值域为[2，+∞）．。