2023学年浙江七年级数学上学期专题训练专题01数形思想之与线段有关的动点问题(解析版)

专题01数形思想之与线段有关的动点问题专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．（2021·河南）线段15AB =，点P 从点A 开始向点B 以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从点B 开始向点A 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当2AP PQ =时，t 的值为________． 【答案】
30
7
或6 【分析】
根据时间与速度可以分别表示出AP 、BQ ，结合2AP PQ =分别从相遇前和相遇后，利用线段的和差关系计算出t 的值． 【详解】
解：此题可分为两种情况进行讨论： ①如图1，
点P 、Q 相遇前，由题意得AP ＝t ，BQ ＝2t ，PQ ＝AB －AP －BQ ， 当2AP PQ =时，t ＝2(15－t －2t)， 解得t ＝
307
； ①如图2，
点P 、Q 相遇后，由题意得AP ＝t ，BQ ＝2t ，PQ ＝AP ＋BQ －AB ， 当2AP PQ =时，t ＝2(t ＋2t －15)， 解得t ＝6． 综上所述：t 的值为30
7
或6． 故答案为：30
7
或6． 【点睛】
此题考查了与线段有关的动点问题，正确理解题意，利用线段的和差关系列出方程是解题的关键．
2．（2021·全国）如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P 的“巧点”．
【答案】是7.5或45 7
【分析】
（1）根据“巧点”的定义即可求解；
（2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，分①Q为AP中点；①AQ＝2PQ；①PQ＝2AQ；进行讨论求解即可．【详解】
解：（1）若线段中点为C点，AB＝2AC，所以中点是这条线段“巧点”
（2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，
A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，
①Q为AP中点，
20
15
2
t
t
+
-=，①t＝7.5；
①AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15，①AQ＝2PQ，
①15﹣t＝2（3t﹣15），
①
45
7
t=；
①PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），①t＝9>7.5（舍去）．
综上所述：t＝7.5或45
7
．
故答案为：（1）是；（2）7.5或45
7
．
【点睛】
本题主要考查两点间的距离及一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
二、解答题
3．（2021·江苏七年级期末）（新知理解）
如图①，点M 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AM 和BM ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M 是线段AB 的“奇点”． （1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”） （初步应用）
（2）如图①，若18CD cm =，点N 是线段CD 的奇点，则______CN cm =； （解决问题）
（3）如图①，已知15AB cm =动点P 从点A 出发，以1/cm s 速度沿AB 向点B 匀速移动：点Q 从点B 出发，以2/m s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t ，请直接写出t 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？
【答案】（1）是；（2）6或9或12；（3）3t =或307或154
或458或45
7或6 【分析】
（1）根据“奇点”的定义即可求解；
（2）分①当N 为中点时, ②当N 为CD 的三等分点，且N 靠近C 点时，③当N 为CD 的三等分点，且N 靠近D 点时，进行讨论求解即可；
（3）分①由题意可知A 不可能为P 、Q 两点的巧点，此情况排除；②当P 为A 、Q 的巧点时；③当Q 为A 、P 的巧点时；进行讨论求解即可． 【详解】
（1）一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称这个点为该线段的“奇点”， ∴线段的中点是这条线段的“奇点”，
（2）18CD =，点N 是线段CD 的奇点， ∴可分三种情况，
①当N 为中点时，1
1892
CN =⨯=,
②当N 为CD 的三等分点，且N 靠近C 点时，1
1863CN =⨯=,
③当N 为CD 的三等分点，且N 靠近D 点时，2
18123
CN =⨯=
（3）15AB =,
t ∴秒后，(),15207.5AP t AQ t t ==-≤≤，
①由题意可知A 不可能为P 、Q 两点的巧点，此情况排除； ②当P 为A 、Q 的巧点时，有三种情况；
1）点P 为AQ 中点时，则12AP AQ =
，即()11522t t =-，解得：154
t s = 2）点P 为AQ 三等分点，且点P 靠近点A 时，则13AP AQ =,即()1
1523
t t =-，解得：3t s = 3）点P 为AQ 三等分点，且点P 靠近点Q 时,则23AP AQ =
，即()21523t t =-，解得：307
t s = ③当Q 为A 、P 的巧点时，有三种情况；
1）点Q 为AP 中点时，则12
AQ AP =
，即1522t
t -=，解得：6t s =
2）点Q 为AP 三等分点，且点Q 靠近点A 时，则13AQ AP =,即1523t t -=，解得：45
7
t s = 3）点Q 为AP 三等分点，且点Q 靠近点P 时,则23AQ AP =，即21523t t -=，解得：458
t s = 【点睛】
考查了两点间的距离,一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
4．（2021·河南七年级期末）（背景知识）数轴上A 、B 两点在对应的数为a ，b ，则A 、B 两点之间的距离定义为：AB b a =-．
（问题情境）已知点A 、B 、O 在数轴上表示的数分别为-4、10和0，点M 、N 分别从O 、B 出发，同时向左匀速运动，点M 的速度是每秒1个单位长度，点N 的速度是每秒3个单位长度，设运动的时间为t 秒（0t >）． （1）填空：
①OA = OB = ；
①用含t 的式子表示：AM = ；AN = ； （2）当t 为何值时，恰好有2AN AM =； （3）求410t t -++的最小值．
【答案】（1）①4，10；①4t -，143t -；（2）6或22
5
；（3）14 【分析】
（1）①由题意可直接进行求解；
①由题意可得点M 在数轴表示的数为-t ，点N 在数轴表示的数为10-3t ，然后根据数轴上的两点距离可求解；
（2）由（1）可分点M 在点A 的右边、点M 在点A 的左边和点M 、N 都在点A 的左边，然后列方程求解即可；
（3）由410t t -++可看作是t 到10-和4的距离，进而可分当10t <-时，当104t -≤≤时和当4t >时，然后进行求解比较即可． 【详解】
解：（1）①由点A 、B 、O 在数轴上表示的数分别为-4、10和0，可得：
404,10010OA OB =--==-=， 故答案为4，10；
①由点M 、N 分别从O 、B 出发，同时向左匀速运动，点M 的速度是每秒1个单位长度，点N 的速度是每秒3个单位长度，设运动的时间为t 秒，可得点M 、N 的运动路程分别为：t ，3t ；
①点M 在数轴表示的数为-t ，点N 在数轴表示的数为10-3t ， ①4,143AM t AN t =-=-， 故答案为4t -，143t -；
（2）由（1）可得：当点N 追上点M 时，则有()3110t -=，解得：5t =，
①①当点M 在点A 的右边时，即04t <<，则有()14324t t -=-，解得：6t =（不符合题意，舍去）；
①当点M 在点A 的左边时，即4t >，则有()14324t t -=-，22
5
t =
＞4，符合题意； ①当点N 追上点M 后，即5t >，点M 、N 都在点A 的左边，则有()31424t t -=-，解得：6t =＞5，符合题意； 综上所述：当2AN AM =时，22
5
t =
或6t =； （3）由410t t -++可看作是t 到10-和4的距离，则有： 当10t <-时，41041026t t t t t -++=---=--无最小值；
当104t -≤≤时，41041014t t t t -++=-++=， 当4t >时，41041026t t t t t -++=-++=+，无最小值， 综上所述：当当104t -≤≤时，有最小值，最小值为14． 【点睛】
本题主要考查数轴上的两点距离、一元一次方程的解法及线段的和差关系，熟练掌握数轴上的两点距离、一元一次方程的解法及线段的和差关系是解题的关键．
5．（2021·湖南七年级期末）如图，直线l 上有A ，B 两点，AB =18cm ，点O 是线段AB 上的一点，OA =2OB ．
（1）OA = _______cm ，OB =________cm ．
（2）若点C 是线段AB 上一点（点C 不与A ，B 重合），且AC =CO +CB ，求CO 的长； （3）若动点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，向右运动，点P 的速度为3cm /s ，点Q 的速度为2cm /s ，当点P 与点Q 重合时，P ，Q 两点停止运动．设运动时间为t (s)，求当t 为何值时，2OP －OQ =6(cm)？
【答案】（1）12，6；（2）2cm ；（3）1.5s 或9s 【分析】
（1）由于AB ＝18cm ，点O 是线段AB 上的一点，OA ＝2OB ，则OA ＋OB ＝3OB ＝AB ＝18cm ，依此即可求解；
（2）根据点C 是线段AB 上一点（点C 不与A ，B 重合），分两种情况：①点C 在线段OA 上时；①点C 在线段OB 上时，根据AC ＝CO ＋CB 即可求解；
（3）根据题意分三种情况讨论：①点P 在AO 之间时，即0≤t ＜4时，①点P 在OB 之间时，即4≤t ＜6时，①点P 在AB 延长线上时，即6≤t ≤18时，分情况讨论求解即可． 【详解】
解（1）①AB=18， OA =2OB ①2OB+OB=18， ①OB=6，OA=12 故答案为：12，6； （2）分两种情况讨论： ①如图，
点C 在线段OA 上时， ①AC =CO +CB ， ①AC = CO +（CO +OB ）， ①AO －CO = CO +（CO +OB ） ①3CO=AO －OB ， OC =()1
12623
⨯-=；
①如图，
点C 在线段OB 上时， ①AC =CO +CB ，
①AC = CO +（OB － CO ）， 即AO +CO = CO +（OB － CO ）
①CO= OB －AO =－6不符合题意，舍掉， 综上所述，CO 的长是2； （3）由题意分三种情况讨论： ①点P 在AO 之间时，即0≤t ＜4时， 得()()2123626t t --+=，解得t =1.5； ①点P 在OB 之间时，即4≤t ＜6时， 得()()2312626t t --+=，解得t =9（舍去） ①点P 在AB 延长线上时，即6≤t ≤18时， 得()()2312626t t --+=，解得t =9． 综上所述，当t 为1.5s 或者9s 时，2OP －OQ =6(cm )． 【点睛】
本题考查了线段和差的计算，一元一次方程的应用，直线上的动点问题，解题的关键是找出等量关系列出方程，注意分情况讨论．
6．（2021·湖北七年级期末）已知：如图，在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，AB 表示A 点和B 点之间的距离，且a ，b 满足()2
230a b a +++=．
（1）求A ，B 两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点C ，且2AC BC =，求点C 表示的数；
（3）一小球甲在数轴上从点A 处以1个单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点B 处以7个单位/秒的速度向左运动，
当甲乙两小球开始运动时，立即在点P 和点B 处各放一块挡板，其中点P 所表示的数为1-，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒），问：t 为何值时，甲、乙两小球之间的距离为4．
【答案】（1）8；（2）点C 表示的数为103
或14；（3）t 为1
2s 或32s 时，甲、乙两小球之
间的距离为4． 【分析】
（1）由()2
230a b a +++=可得2,6a b =-=，进而问题可求解；
（2）由题意易得点C 在点A 的右侧，可分当点C 在线段AB 上和在线段AB 外，进而根据线段的和差关系可进行列方程求解；
（3）由题意得：=1V 甲个单位/秒，=7V 乙个单位/秒，则有它们相遇的时间为1s ，进而可分①当它们未碰到挡板P ，即01t <<，①当它们碰到挡板P 后，即1t >，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】
解：（1）①()2
230a b a +++=， ①20,30a b a +=+=， ①2,6a b =-=，
①A 、B 两点之间的距离为()628AB =--=，
（2）由2AC BC =得点C 在点A 的右侧，设点C 表示的数为x ，即AC=x+2，则有： ①当点C 在线段AB 上，则BC=6-x ， ①()226x x +=-，解得：10
3
x =
， ①当点C 在线段AB 外，则BC=x -6， ①()226x x +=-，解得：14x =，
综上所述：当2AC BC =时，点C 表示的数为
10
3
或14；
（3）由题意得：=1V 甲个单位/秒，=7V 乙个单位/秒， ①它们相遇的时间为：()178t +=，解得：=1t ， ①它们同时碰到挡板P ，
当它们之间的距离为4时，则有： ①当它们未碰到挡板P ，即01t <<，
①478t t ++=，解得：1
=2
t ，
①当它们碰到挡板P 后，即1t >， ①1774t t -+-=，解得：3
2
t =，
综上所述：当t 为1
2s 或32
s 时，甲、乙两小球之间的距离为4．
【点睛】
本题主要考查数轴上两点的距离、一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握数轴上两点的距离、一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键．
7．（2021·河南七年级期末）如图1，M ，N 是直线l 上的两个点，且10MN =．线段AB （A 在B 的左侧）可以在直线l 上左右移动．已知5AB =，点C 是AN 的中点．
（1）如图2，当B 与N 重合时，AM = ，BC = ；
（2）在图2的基础上，将线段AB 沿直线MN 向左移动(05)a a <<个单位长度得到图3．
①若3a =，求AM 和BC 的长； ①若2BC =，则a 的值是 ．
（3）在图2的基础上，将线段AB 沿直线MN 向右移动0b b >（）个单位长度．请直接写出AM 与BC 之间的数量关系 ．
【答案】（1）5，2.5；（2）①AM =2，BC =1；①1；（3）AM=2BC ． 【分析】
（1）当B 与N 重合时，AM=MN -NA=5,由点C 是()AN AB 的中点．由5AB =，可得
AC=BC=1
AB=2.52
；
（2）①由线段AB 沿直线MN 向左移动(05)a a <<个单位长度,可得BN=3a =可求AM =MN -AN =2，由点C 是AN 的中点．NC=AC=1
AN=42
，可求BC ；①由2BC =，
()1
522
BC CN BN a a =-=
+-=解方程即可； （3）又线段AB 沿直线MN 向由移动0b b >（）
个单位长度,BN=b ，可得AN= 5-b ，可求AM =MN -AN=5+b ，由点C 是AN 的中点．可求NC=AC=
()1
5-2
b ，可求BC =CN+BN=()1
5+2
b 即可． 【详解】
解：（1）当B 与N 重合时，AM=MN -NA=MN -BA=10-5=5， ①点C 是AN 的中点． ①点C 是AB 的中点， ①5AB =，
①AC=BC=11
AB=5=2.522
⨯，
故答案为：5，2.5；
（2）①①线段AB 沿直线MN 向左移动(05)a a <<个单位长度， ①3a =， ①BN=3a =，
①AN=AB+BN=5+a =8，
①AM =MN -AN=MN -（AB+BN ）=10-（5+3）=2， ①点C 是AN 的中点．
①NC=AC=11
AN=8=422
⨯，
BC =CN -BN=4-3=1；
①①2BC =，
()11
5222
BC CN BN AN BN a a =-=
-=+-=， 即
()1
522
a a +-=， 524a a +-=，
a =1，
故答案为：１；
（3）①线段AB 沿直线MN 向由移动0b b >（）个单位长度， ①BN=b ，
①AN=AB -BN=5-b ，
①AM =MN -AN= 10-（5-b ）=5+b ， ①点C 是AN 的中点． ①NC=AC=()11
AN=5-22
b ，
①BC =CN+BN=()()11
55+22
b b b -+=， ①AM=2BC ．
故答案为：AM=2BC ．
【点睛】
本题考查与线段有关的动点与动线问题，掌握线段的中点定义，会根据线段和差列方程，理解线段和差是解题关键．
8．（2021·贵州）如图，在数轴上点A ，点B ，点C 表示的数分别为2,1,6.-
（1）线段AB 的长度为 个单位长度，线段AC 的长度为 个单位长度．
（2）点P 是数轴上的一个动点，从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿数轴的正
方向运动，运动时间为t 秒(018)≤≤． 用含t 的代数式表示：点P 在数轴上表示的数为 线段BP 的长为 个单位长度；
（3）点M ，点N 都是数轴上的动点，点M 从A 点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点N 从点C 出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动．设点
,M N 同时出发，运动时间为x 秒当点,M N 两点间的距离为13个单位长度时，求x 的值，
并直接写出此时点M 在数轴上表示的数．
【答案】（1）3；8；（2）-2+t ；（3-t ）或（t -3）；（3）10．
【分析】
（1）根据两点间的距离公式可求线段AB的长度，线段AC的长度；
（2）由题意，先求出点P表示的数，再根据路程=速度×时间求出点P运动的路程，再分点P在点B的左边和右边两种情况求解；
（3）根据等量关系点M、N两点间的距离为3个单位长度列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）线段AB的长度为1-（-2）=3个单位长度，
线段AC的长度为6-（-2）=8个单位长度；
（2）根据题意，
点P在数轴上表示的数为：-2+t；
线段BP的长为：
当t≤3时，BP=3-t；
当t＞3时，BP=t-3，
（3）依题意有：
4x+3x-8=13，
解得：x=3．
此时点M在数轴上表示的数是：-2+4×3=10．
故答案为：（1）3；8；（2）-2+t；（3-t）或（t-3）．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，数轴，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
9．（2021·广东七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6（1）求线段AB的长；
（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
【答案】（1）8；（2）见解析；MN的长度不会发生改变，线段MN＝4．
【分析】
（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差；
（2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案．
【详解】
解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，
答：AB的长为8；
（2）MN的长度不会发生改变，线段MN＝4，理由如下：
如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点，
所以MA＝MP＝1
2PA，NP＝NB＝1
2
PB，
所以MN＝NP﹣MP
＝1
2PB﹣1
2
PA
＝1
2
（PB﹣PA）
＝1
2
AB
＝1
2
×8
＝4．
【点睛】
本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键．
10．（2021·全国）如图，射线OM上有A、B、C三点，满足OA＝40cm，AB＝30cm，BC＝20cm．点P从点O出发，沿OM方向以2cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．
（1）当点P与点Q都同时运动到线段AB的中点时，求点Q的运动速度；
（2）当P A＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度；
（3）自点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求OB AP
EF
的值．
【答案】（1）点Q的运动速度为14
11
cm/s；（2）点Q的运动速度为
11
10
cm/s或
11
6
cm/s；（3）
2
【分析】
（1）设经过ts，点P与点Q都同时运动到线段AB的中点，根据线段中点的定义得到BQ＝15cm，求得CQ＝35cm，于是得到结论；
（2）设Q的速度为v，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，点O
对应数轴上的0，点A 对应数轴上的40，点B 对应数轴上的70，点C 对应数轴上的90，点P 对应数轴上的2t ，点Q 对应数轴上的90﹣vt ，根据题意列出方程即可求出v 的值； （3）设经过ts 时，点P 在AB 之间，点O 对应数轴上的0，点A 对应数轴上的40，点B 对应数轴上的70，点C 对应数轴上的90，点P 对应数轴上的2t ，由于OP 和AB 的中点E ，F ，所以点E 对应数轴上的t ，点F 对应数轴上的55，从而可知EF ＝55﹣t ，AP ＝2t ﹣40，OB ＝70，代入原式即可求出答案． 【详解】
解：（1）①AB ＝30cm ，
1
152
AP BQ AB cm ∴==
=， ①CQ ＝BC +BQ ＝35cm ，
设经过ts ，点P 与点Q 都同时运动到线段AB 的中点， ①OP ＝OA +P A ＝40+15＝55（cm ）， ①t ＝
55
2
（s ）， ①点Q 的运动速度＝35÷552
＝14
11（cm /s ）； 答：点Q 的运动速度为
14
11
cm /s ； （2）设Q 的速度为v ，经过ts 后，点Q 运动到的位置恰好是线段OB 的中点，点O 对应数轴上的0，点A 对应数轴上的40，点B 对应数轴上的70，点C 对应数轴上的90， ①点P 对应数轴上的2t ，点Q 对应数轴上的90﹣vt ， ①点Q 运动到的位置恰好是线段OB 的中点， ①
70
2
＝90﹣vt ， ①vt ＝55， ①2PB ＝P A ，
①2|2t ﹣70|＝|2t ﹣40|， ①解得：t ＝50或t ＝30， 当t ＝50s 时， 此时v ＝
1110
， 而点Q 到达O 点所需要时间为900
11
s >50s ， 当t ＝30时， 此时v ＝
116
，
而点Q 到达O 点所需要的时间为540
11
>30s ， 综上所述，当v ＝
11
10或v ＝116
cm /s ； （3）设经过ts 时，点P 在AB 之间，
点O 对应数轴上的0，点A 对应数轴上的40，点B 对应数轴上的70，点C 对应数轴上的90，
①点P 对应数轴上的2t ， ①OP 和AB 的中点E ，F ，
①点E 对应数轴上的t ，点F 对应数轴上的55， ①EF ＝55﹣t ，AP ＝2t ﹣40，OB ＝70， ①原式＝
70(240)
55t t
---＝2．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，数形结合列出方程是解题的关键．
11．（2021·全国七年级专题练习）A ，B 两地相距a 千米，C 地在AB 的延长线上，且3
BC a =千米，D 是A 、C 两地的中点．
（1）求AD 长（结果用含a 的代数式表示）． （2）若90BD =千米，求a 的值．
（3）甲、乙两车分别从A 、D 两地同时出发，都沿着直线AC 匀速去C 地，经4小时甲追上乙．当甲追上乙后甲马上原路返回，甲返回行驶1小时时发现甲车距D 地50千米，已知600a =千米，求乙车行驶的平均速度
【答案】（1）2=3
AD a 千米；（2）270a =千米；（3）乙车平均速度为50km/h 或50
3
km/h 【分析】
（1）由题意易得4
3
AC a =
千米，进而根据点D 是A 、C 的中点可求解； （2）由（1）2
3AD a =千米，则有2133
BD a a a =-=千米，然后由BD=90千米可求解；
（3）由题意易得22600=40033
AD a =
=⨯km ，11
600=20033BC a ==⨯km ，进而可得1小时
内甲比乙多行驶100km ，设乙速度为xkm/h ，则甲速度为（x ＋100）km/h ，然后可得甲距离A 为()()()41001003300x x x +-+=+km ，则可分①甲在D 地左50km ，①甲在D 地右50km ，最后列方程进行求解即可． 【详解】
解：（1）AB a =千米，3
BC a
=千米，
4
3
AC a ∴=千米，
D 是A 、C 两地的中点，
12
23
AD AC a ∴=
=千米； （2）由（1）2
3
AD a =千米，
BD AB AD =-， 21
33
BD a a a ∴=-=千米，
90BD =千米， 1
=903
a ∴ =270a ∴
（3）600a =，
22600=40033AD a ∴==⨯km ，11
600=20033
BC a ==⨯km ，
由题甲、乙之间相距400km ，4小时后甲追上乙，
∴1小时内甲比乙多行驶100km ，
∴设乙速度为xkm/h ，则甲速度为（x ＋100）km/h ，
由题知，甲返回行驶了1h ，
∴甲距离A 为()()()41001003300x x x +-+=+km ，
甲车距D 地50km ，
∴甲可能在D 地左50km 或右50km ，
①甲在D 地左50km ，此时甲距离A 为5040050=350AD -=-，
3300350x +=，
解得：50
3
x =
， ①甲在D 地右50km ，此时甲距离A 为5040050=450AD +=+，
3300450x +=，
解得：50x =，
综上所述：乙车平均速度为50km/h 或50
3
km/h ． 【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键．
12．（2021·石家庄市第二十八中学）已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．
（1）点A表示的数是：；点B表示的数是：．
（2）A，B两点间的距离是个单位，线段AB中点表示的数是．
（3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数．
【答案】（1）-20，100．（2）120，40；（3）28．
【分析】
（1）根据点的位置确定符号和值即可；
（2）用两个点表示的数相减即可，求出中点到A的距离，再求中点表示的数；
（3）求出相遇的时间，再求出C点与A的距离，即可求出C点表示的数．
【详解】
解：（1）①点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位，①点A表示的数是：-20；点B表示的数是：100．
故答案为：-20，100．
（2）A，B两点间的距离是100-（-20）=120；
线段AB中点到A的距离是120÷2=60，
线段AB中点表示的数为-20+60=40；
故答案为：120，40；
（3）两只电子蚂蚁在数轴上相遇的时间为120÷（4+6）=12（秒）
点C距A的距离为12×4=48，
点C表示的数为-20+48=28．
【点睛】
本题考查了数轴上的动点问题，解题关键是理解数轴上点表示的数的意义，会求两点间的距离．
13．（2021·江苏七年级期末）如图1，线段AB＝20cm．
（1）点P沿线段AB自A点向B点以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以3cm/s的速度运动，几秒后，P，Q两点相遇？
（2）如图2，AO＝PO＝2cm，①POQ＝60°，现点P绕着点O以30°/s
的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，若点P，Q两点也能相遇，求点Q运动的速度．
【答案】（1）4秒；（2）8cm/s或5
2
cm/s
【分析】
（1）根据点P，Q的运动路程之和为20建立方程求解即可得出结论；
（2）要点P，Q相遇，只能点P运动到线段AB上，判断出点P旋转的角度，进而求出点P的运动时间，即可得出结论．
【详解】
解：（1）设t秒后，P，Q两点相遇，
根据题意知，（2+3）t＝20，
解得，t＝4秒，
答：4秒后，P，Q两点相遇．
（2）①①POQ＝60°，
①点P绕着点O旋转60°或240°刚好在线段AB，
当点P绕着点O旋转60°时，点P和点Q相遇，
①点P的旋转了60°÷30°＝2秒，
则（20﹣4）÷2＝8cm/s，
当点P绕着点O旋转240°时，点P和点Q相遇，
①点P的旋转了240°÷30°＝8秒，
则20÷8＝5
2
cm/s，
即：点Q的速度为8cm/s或5
2
cm/s．
【点睛】
本题主要考查角的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键．
14．（2021·陕西七年级期末）如图，已知线段24
AB=，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（0
t>），点M为AP的中点．
（1）当3t =时，求线段MB 的长度； （2）当t 为何值时，点P 恰好是MB 的中点？ （3）当t 为何值时，2AM PB =？
【答案】（1）当3t =时，21MB =；（2）当8t =；点P 恰好是MB 的中点；（3）48
5
t =或16t =，2AM PB =． 【分析】
（1）如图：当t =3时，先求出AP ,然后再求出AM ,最后根据MB =AB -AM 求解即可； （2）先求出AM =MP =t ，再说明MP PB t ==，然后由3324AB AM t ===即可求得t ； （3）分P 在线段AB 上和P 在线段AB 延长线上两种情况解答即可． 【详解】
解：（1）当3t =时，326AP =⨯=. ①点M 为AP 的中点，
①11
6322
AM AP =
=⨯=， ①24321MB AB AM =-=-=. （2）①点M 为AP 的中点， ①11
222
AM MP AP t t ==
=⨯=. ①点P 是MB 的中点， ①MP PB t ==， ①3324AB AM t ===， ①8t =；
（3）当点P 在线段AB 上时，AM t =，
242PB AB AP t =-=-，
①()2242t t =-， 解得485
t =
. 当P 在线段AB 的延长线上时，AM t =，
224PB AP AB t =-=-，
①()2224t t =-， 解得16t =. ①48
5
t =
或16t =． 【点睛】
本题属于直线上的动点问题，主要考查了中点的定义、线段的和差等知识点，正确画出图形并表示出相应线段的长以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
15．（2021·福建七年级期末）（1）如图：若点C 在线段AB 上，线段AC ＝10cm ，BC ＝6cm ，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，求线段MN 的长度；
（2）若点C 在线段BA 的延长线上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，设BC ﹣AC ＝a ，请根据题意画出图形，并求MN 的长度（用含a 的式子表示）；
（3）在（1）的条件下，动点P 、Q 分别从A 、B 两端同时出发，点P 以2cm /s 的速度沿AB 向右运动，终点为B ，点Q 以1cm /s 的速度沿AB 向左运动，终点为A ，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，CP ：CQ ＝1：2？
【答案】（1）线段MN 的长度是8cm ；（2）MN ＝1
2a ，理由见解析；（3）当运动143或265
时，CP ：CQ ＝1：2 【分析】
（1）根据题意结合图形得出MN ＝1
2（AC +BC ），即可得出答案；
（2）直接根据题意画出图形，进而利用MN ＝NC ﹣MC ＝1
()2
BC AC -求出即可；
（3）根据动点P 、Q 的运动方向和速度用含t 的式子表示出CP 和CQ
，再列方程可得结论． 【详解】
解：（1）①线段AC ＝10cm ，BC ＝6cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点， ①12MC AC =
，1
2
NC BC =， ①MN 11
22
MC NC AC BC =+=
+ ＝1
2（AC +BC ）＝1
2×16＝8（cm ）； 答：线段MN 的长度是8cm ； （2）如图：
MN ＝1
2a ．理由如下：
①点M 、N 分别是AC 、BC 的中点， ①MC ＝1
2AC ，NC ＝1
2BC ， ①BC ﹣AC ＝a ，
①MN ＝NC ﹣MC ＝12BC ﹣12AC ＝1()2
BC AC -＝1
2a ．
（3）①点P 以2cm /s 的速度沿AB 向右运动，点Q 以1cm /s 的速度沿AB 向左运动， 而AC ＝10cm ，BC ＝6cm ，CP ：CQ ＝1：2 ①2CP CQ = ， 可分为三种情况讨论：
当点C 在点P 右侧，点Q 的左侧时，有05t <≤ ，此时102CP t =- ，6CQ t =- ,
则2
(102)6t t -=- ，解得：14
3
t = ； 当点C 在点P 、Q 的左侧时，有56t <≤ ，此时210CP t =-，6CQ t =-，
则2
(210)6t t -=-，解得：26
5
t = ； 当点C 在点P 的左侧，Q 的右侧时，有68t <≤ ，此时210CP t =-，6CQ t =-，
则2
(210)6t t -=-，解得：14
3
t =，舍去， 综上所述，当运动143 或26
5
时，CP ：CQ ＝1：2． 【点睛】
本题考查线段的计算，中点的定义，利用两点之间的距离和中点的定义分情况讨论列出一元一次方程是解题的关键．
16．（2021·天津七年级期末）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）则OA＝cm，OB＝cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO 的长；
（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．
①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为；此时，Q点所到的点表示的数为．（用含t的代数式表示）
①求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．
【答案】（1）8，4；（2）4
3
cm；（3）①﹣8+2t，4+t；①1.6或8．
【分析】
（1）由于AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，则OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依此即可求解；
（2）根据图形可知，点C是线段AO上的一点，可设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时；①点C在线段OB上时，根据AC＝CO+CB，列出方程求解即可；
（3）①根据路程＝速度×时间即可求解；
①分两种情况：0＜t＜4（P在O的左侧）；4≤t≤12（P在O的右侧）；进行讨论求解即可．【详解】
解：（1）①AB＝12cm，OA＝2OB，
①OA+OB＝3OB＝AB＝12（cm），
解得OB＝4，
OA＝2OB＝8（cm）．
故答案为：8，4；
（2）设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，
①AC＝CO+CB，
①8+x＝﹣x+4﹣x，
3x ＝﹣4，
解得x ＝﹣4
3
；
①点C 在线段OB 上时， ①AC ＝CO +CB ， ①8+x ＝4，
解得x ＝﹣4（不符合题意，舍）．
故CO 的长是4
3
cm ；
（3）①t （s ）后，P 点所到的点表示的数为﹣8+2t ；此时，Q 点所到的点表示的数为4+t ． 故答案为：﹣8+2t ，4+t ； ①0＜t ＜4（P 在O 的左侧），
OP ＝0﹣（﹣8+2t ）＝8﹣2t ，OQ ＝4+t ，2OP ﹣OQ ＝4，则 2（8﹣2t ）﹣（4+t ）＝4， 解得t ＝1.6；
4≤t ≤12（P 在O 的右侧），
OP ＝﹣8+2t ﹣0＝﹣8+2t ，OQ ＝4+t ，2OP ﹣OQ ＝4，则 2（2t ﹣8）﹣（4+t ）＝4， 解得t ＝8．
综上所述，t ＝1.6或8时，2OP ﹣OQ ＝4cm ． 【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，数轴上点的表示，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
17．（2021·辽宁七年级期末）如图，数轴上点A 在原点左侧，点B 在原点右侧，且2OA OB =，动点P ､Q 分别从A ､B 两点同时出发，都向右运动，点P 的速度为每秒2个单位长度，点Q 的速度为每秒1个单位长度，当点P 与点Q 重合时，P ，Q 两点停止运动．设运动时间为t 秒．
（1）若点A 表示的数为12-，则点B 表示的数为________，线段AB 中点表示的数为___________；
（2）在（1）的条件下，若1
22
OP OQ AB -=
，求t 的值； （3）当点P 在线段AO 上运动时，若AP BP OP -=，请探究线段OP 与线段AB 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）6；-3；（2）9
5
或13；（3）3AB OP =或9AB OP =，见解析
【分析】
（1）由点A 表示的数为12-，AO ＝2OB 可知，可求出OB ，AB 长，从而得出结论； （2）分两种情况：点P 在原点的左侧和右侧时，OP 表示的代数式不同，OQ ＝6+t ，分别代入2OP ﹣OQ ＝9列式即可求出t 的值；
（3））设线段OB 的长为b ，则2,3OA b AB b == ，分两种情况去绝对值，求出t 的值，即可解决问题． 【详解】
（1）①点A 表示的数为12-，AO ＝2OB ， ①AO ＝12，OB ＝6， ①AB ＝18，
①线段AB 中点表示的数为3． 故答案是：6；﹣3；
（2）当P ､Q 相遇时，()()1262118t =+÷-=（秒），
①11
18,18922
t AB ≤=⨯=．当点P 在AO 上时，122,6OP t OQ t =-=+，
①29OP OQ -=，
①()()2122169t --+=，9
5
t =
，符合； 当点P 在原点O 右侧时，212,6OP t OQ t =-=+， ①29OP OQ -=，()()221269t t --+=， 13t =，符合．
综上所述，若29OP OQ -=，t 的值为9
5
或13.
（3）设线段OB 的长为b ，则2,3OA b AB b ==． ①点P 在线段AO 上运动，
①2,22AP t OP b t ==-．32BP AB AP b t =-=-． 若AP BP <，则AP BP BP AP -=-， ①BP AP OP -=，
①()32222b t t b t --=-，
解得1
2
t b =．
①222OP b t b b b =-=-=， 又①3AB b =， ①3AB OP =；
若AP BP >，则AP BP AP BP -=-， ①AP BP OP -=， ①()23222t b t b t --=-，
解得5
6
t b =．
①51
22233
OP b t b b b =-=-=．
①3AB b =． ①9AB OP =．
综上所述，线段OP 与线段AB 之间的数量关系为3AB OP =或9AB OP =． 【点睛】
本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
18．（2021·安徽七年级期末）如图，点,A B 在数轴上分别表示有理数,a b ，且,a b 满足2|2|(5)0a b ++-=．
（1）点A 表示的数是___________，点B 表示的数是____________．
（2）若动点P 从点A 出发以每秒3个单位长度向右运动，动点Q 从点B 出发以每秒1个单位长度向点A 运动，到达A 点即停止运动,P Q 两点同时出发，且Q 点停止运动时，
P 也随之停止运动，求经过多少秒时，,P Q 第一次相距3个单位长度？
（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为t 秒，若AP 的中点为,M BQ 的中点为N ，当t 为何值时，3BM AN PB +=？ 【答案】（1）﹣2，5；（2）1秒；（3）1秒或35
11
秒． 【分析】。