浙江省衢州二中2013届高三下学期第三次模拟数学理试卷Word版含答案

浙江省衢州二中2013届第二学期高三第三次模拟数学（理）试
题
数学（理）试卷 命题人：高三数学备课组
选择题部分 (共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|10}M x x =-≤,11
{|24,}2
x N x x Z +=<<∈,则M N = ( )
A ．}0,1{-
B ．}1{
C ．}1,0,1{-
D ．∅
2．在等差数列}{n a 中, 51a =,322a a =+,则11S =( )
A ． 11
B ．22
C ． 33
D ．44
3．若R ∈βα,，则0
90=+βα 是 1sin sin >+βα的（ ） A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 即不充分又不必要条件 4．函数sin(
)(0)y x πϕϕ=+>的部分图象如右图所示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin 2θ的值是( ) A ．
1665
B ．
6365
C ．16
63
-
D ．1665
-
5．若m 是某已知的正整数，某程序框图如右图所
示，该程序运行后输出的数是31，则m 的值是
( ) A ． 4
B ． 5
C ． 6
D ． 7 6．某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要
求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公
益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式
有 （ ） A ．18种 B ．36种
C ．48种
D ． 120种
7.右图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）
A. π+
B.
C. 2)π+
D. 2)+
8．若C B A ,,三点不共线，2AB =，3CA CB =， 则CA CB ⋅的取值范围是( )
A ．)3,31(
B ．)3,31(-
C ．)3,43(
D ．)3,4
3(-
9．实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤≤-++-+3
1516
4242y x y x y x ，则xy y x u 2
2+=的取值范围是( ）
A ．]310,
2[ B ．]526,2[ C ．]5
26,310[ D ．]310,1[
10．函数x x x x f sin 3
1
)(3-+=的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若
11007-=a ，=m )()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++ ，则（ ）． A ．m 恒为负数 B ．m 恒为正数
C ．当0>d 时，m 恒为正数；当0<d 时，m 恒为负数
D ．当0>d 时，m 恒为负数；当0<d 时，m 恒为正数
非选择题部分 (共100分)
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．复数z 满足i z 82=，则=z ___________
12. 若∆ABC 的三个顶点的坐标分别是)1,3(),5,1(),1,1(----C B A ，则∆ABC 外接圆的方程是 . 13．9
(ax
的展开式中3x 的系数为126，则实数a 的值为___________ 14．在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠，若12345m a a a a a a =，则m =_____
15．已知函数2,1
()(1),1x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩
,则2(log 7)f 的值是__________
16．设F 1，F 2 是双曲线)0,(122
22>=-b a b
y a x 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P
满足212F F PF =，且5
4
cos 21=∠F PF ，则双曲线的两条渐近线的方程分别是
_____________________
17．如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1DD 上
一点，且13
1
DD DE =
，F 是侧面11C CDD 上的动点，且 //1F B 平面BE A 1，则F B 1与平面11C CDD 所成角的正切值
的取值范围是___________
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5
4
cos =
A ． （Ⅰ）求A C
B 2cos 2
sin 2
++的值； （Ⅱ）当ABC b ∆=,2的面积3=S 时，求a 的值．
19.（本小题满分14分） 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它对空气质量和能见度等有重要的影响。

我国从 2.5PM 的含量对空气质量评定的标准如表1所示.某市环保部门从2012年全年每天的 2.5PM 监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图4所示。

(Ⅰ) 从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数ξ，求ξ
的分布列和数学期望；
(Ⅱ) 以这15天的 2.5PM 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）
中大约有多少天的空气质量达到一级.
我国空气质量表 2.5PM 均值（微克/立方米）
图4
20.（本小题满分15分）在三棱柱
111
ABC A B C
-中，已知
1
AB AC AA
===,4
BC=,BC的中点为
O,
1
AO垂直底面ABC.
(Ⅰ) 证明：在侧棱
1
AA上存在一点E，使得OE⊥平
面
11
BB C C，并求出AE的长；
(Ⅱ) 求二面角
11
A B C B
--的平面角的余弦值．
21．（本小题满分15分）椭圆C的两焦点坐标是)0,3
(±
F，且经过点)
2
1
,3
(
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点N的坐标为)1,1(
N，若M是直线0
4=
+y
x上一动点，且与原点O不重合，过M作直线，交椭圆C于P、Q两点，且M平分线段PQ，求⊿NPQ的面积
的最大值。

22．（本小题满分14分）已知3
1
()ln
3
f x x ax b x
=-++，'()
f x是()
f x的导函数，且
'(1)0
f=.
（Ⅰ）若1
x=不是()
f x的极值点，求,a b的值.
（Ⅱ）若函数()
y f x
=有零点，求22
(2)
a b
++的取值范围.
答案
一、ACDAB BCDBA
11．i2
2+或22i
--12．22
(1)(2)13
x y
-+-=
13．1 14．1115．
7
4
16．
4
3
y x
=±
17．
3
2
⎡
⎢⎣
18．（1）
50
59
（2）13
19解：（1）依据条件，ξ的可能值为0,1,2,3，(1分)
O
C1
B1
A1
C
B
A
当0ξ=时，03
5103
1524
(0)91
C C P C ξ===， (2分) 当1ξ=时，125103
1545
(1)91C C P C ξ=== (3分) 当2ξ=时，215103
1520
(2)91
C C P C ξ=== ， (4
分) 当3ξ=时，305103
152
(0)91
C C P C ξ=== (5分) 所以其分布列为：
(6分)
（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为1
153
P ==， (9分)
一年中空气质量达到一级的天数为η，则1
(360,)3
B η，
∴1
3601203
E η=⨯=（天）
所以一年中平均有120天的空气质量达到一级.
(14分) 20. 解：（1）证明：连接AO ，在1AOA ∆中，作1OE AA ⊥于点E ，因为1AA //1BB ，得
1OE BB ⊥．
因为1A O ⊥平面ABC ，
所以,1
AO BC ⊥,因为,AB AC OB OC ==， 得AO BC ⊥,所以BC ⊥平面1AAO ，所以BC OE ⊥， 所以OE ⊥平面11BB C C 又
11,AO AA =
==
得2
1AO AE AA ==
(2)如图所示，分别以1,,OA OB OA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则
1(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,2,0)A C A B -
由（1）可知115AE AA =
得点E 的坐标为42(,0,)55
, 由（1）可知平面11BB C C 的法向量是4
2(,0,)55
,
设平面11A B C 的法向量(,,)n x y z =，由1
00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩,得20
x y y z -+=⎧⎨
+=⎩
令1y =，得2,1x z ==-，即(2,1,1)n =-， 所以30cos ,OE n OE n OE n
⋅<>=
=
⋅ 即所求二面角的平面角与,OE n <>互补，所求的余弦值是． 【解析】（Ⅰ）椭圆C 的方程为2
214
x y +=；
（Ⅱ）由题意设()
4,M t t -，则
()2
224110,45t t t -⎛⎫
+<⇒∈ ⎪⎝⎭
设()11,P x y ，()22,Q x y ，则128x x t +=-，122y y t +=.
由题意得：()()()()2211121212122
2
2244
4044
x y x x x x y y y y x y ⎧+=⇒+-++-=⎨+=⎩ ()1
212121281442PQ y y x x t
k x x y y t
-+-⇒==-=-=-+⋅. 设直线PQ 的方程为4y t x t -=+，即5y x t =+，代入方程2
2
44x y += 得：2
2
5102540y ty t -+-=. 则122y y t +=，
2124
55
y y t =-
2PQ y ∴=
-==
. 点()1,1N 到直线PQ
的距离：d
1122NPQ S PQ d ∆∴=⋅=⋅= 由210,5t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则01NPQ S ∆<≤.
即：NPQ ∆的面积的取值范围是(]0,1
22．解：（Ⅰ）由'(1)0f =得1a b +=，
2(1)(1)
'()x x x a f x x
-++-=
1x =不是()f x 的极值点，所以1x =是方程210x x a ++-=的根，得3,2a b ==- (Ⅱ) 2(1)(1)
'()x x x a f x x
-++-=
（1）当1a ≤时，()f x 在(0,1)上递增，(1,)+∞上递减，max 1()(1)3
f x f a ==-
当103a -≥即1
13
a ≤≤时，若函数()y f x =有零点
（2）当1a >时，1
(1)03
f a =->，)(1)0f a =-<
由零点存在定理，()f x 在)内有零点，从而在(0,)+∞内有零点
所以当1
3
a ≥时，函数有零点.
22(2)a b ++的最大值为539，当1
3
a =时取得.。