抽象函数定义域的求法

抽象函数的定义域
总结解题模板
1.已知 f ( x) 的定义域，求复
合函数
f [
g x ] 的定义域
由复合函数的定义我们可知， 要构成复合函数， 则内层函数的值域必须包含于外层函数
的定义域之中，因此可得其方法为：
若
f (x) 的定义域为 x a, b ，求出 f [ g( x)] 中 a g( x) b 的解 x 的范围，即为 f [ g(x)] 的定义
域。

2.已知复合函数 f [ g x ] 的定义域，
求
f ( x) 的定义域 方法是：若 f [
g x ] 的定义域为 x
a,b ，则由 a x b 确定 g( x) 的范围即为 f
(x) 的定义域。

3.已知复合函数 f [ g( x)] 的定义域，求 f [ h(x)] 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由 f [ g x ] 定义
域求得 f x 的定义域，再由 f x 的定义域求得 f [ h x ] 的定义
域。

4.已知 f ( x) 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的， 其定义域为各基本函数定义域的
交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例 1 已知函数
f ( x) 的定义域为
15， ，求 f (3 x 5) 的定义域．
分析：若 f ( x) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ，则在 f g ( x) 中， a ≤ g (x) ≤ b ，从中解
得 x 的取值范围即为 f g( x) 的定义域．本题该函数是
由 u 3x 5 和 f (u) 构成的复合函
数，
其中 x 是自变量，
u 是中间变量，由于
f ( x) 与 f (u) 是同一个函数，因此这里是已
知
1≤ u ≤ 5 ，即 1≤ 3x 5 ≤ 5，求 x 的取值范围．
解： f (x) 的定义域为 15， ， 1≤ 3x 5≤5， 4 ≤ x ≤ 10
．
3 3 故函数 f (3x 5) 的定义域为
4 10
3 ， ．
3
变式训练：
若函数
y f ( x)的定义域为1
，则
(lo
g ) 的定义域为。

,2 f 2 x
2
分析：由函数 y f (x) 的定义域
为1 ,2 可知：1x 2 ；所以 y
f (lo
g 2 x)
中有
2 2
1 2。

log 2 x
2
解：依题意
知：
1
log 2 x 2 解之，
得： 2 x 4
2
∴ f (log 2 x) 的定义域为 x | 2 x 4
例 2 已知函数 f ( x22x 2) 的定义域为0，3 ，求函数 f ( x) 的定义域．
分析：若 f
g
( x)
的定义域为 m ≤ x ≤ n ，则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g ( x) 的范围即为
f ( x) 的定义域．这种情况下，f ( x) 的定义域即为复合
函数
f g ( x) 的内函数的值
域。

本题中令
u x22x 2 ，则 f ( x2 2x 2) f (u) ，
由于 f (u) 与 f ( x) 是同一函数，
因此u 的取值范围即为f ( x) 的定义域．
解：由 0 ≤ x ≤ 3 ，得1≤x22x 2 ≤ 5 ．
令 u x22x 2 ，则 f ( x2 2x 2) f (u) ， 1≤ u ≤5．
故 f (x) 的定义域为
15，．变式训练：
已知函数的定义域为，则的定义域为________。

解：由，得
所以，故填
例 3. 函数定义域是，则的定义域是（）A. B. C. D.
分析：已知的定义域，求的定义域，可先由定义域求得
的定义域，再由 的定义域求得
的定义域
解：先求
的定义域 的定义域是
，
即
的定义域是 ，再求 的定义域
的定义域是 ，故应选 A 变式训练：
已知函数 f(2 x
）的定义域是［ -1 ， 1］，求
f(log 2x) 的定义域 .
分析：先求 2x
的值域为 M 则 log 2x 的值域也是 M ，再根据
log 2x 的值域求定义域。

1
解 ∵y=f(2 x
) 的定义域是［ -1 ， 1］，即 -1 ≤ x ≤ 1, ∴
2
≤ 2x
≤ 2.
1
∴函数
y=f(log 2x) 中 2 ≤ log 2x ≤ 2. 即
log 2
2
≤ log 2x ≤
log 24, ∴ 2
≤ x ≤4.
故函数 f(log
2x) 的定义域为
［
2 ，4］
例 4 若 f ( x) 的定义域为 3，5 ，求
( x) f ( x) f (2 x 5) 的定义域．
分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，
其解法是： 先求出各
个 函数的定义域，然后再求交
集．
3 ≤ x ≤ ，
解： 由 f ( x) 的定义域为
3，5 ，则 (x) 必有 5 4≤ x ≤ 0 ．
3 ≤
2x 5 解得
≤ ，
5 所以函数 ( x) 的定义域
为
4，0 ． 变式训
练：
已知函数 的定义域是 ，求 的
定义域。

分析：分别求 f(x+a) 与 f(x-a) 的定义域，再取交集。

解： 由已知，有
，即
函数的定义域由确定函数的定义域是
例 5 若函数 f(x+1)的定义域为[－1，
2]
2
2
，求 f(x )的定义域．
分析：已知 f(x+1)的定义域为 [ －1， 2]，x 满足－1≤ x≤2，于是1＜ x＋ 1＜ 3，得到
2 2 2
2
f(x)的定义域，然后 f(x )的定义域由 f(x)的定义域可
得．
解：先求 f(x)的定义
域：
由题意知－1≤ x≤ 2，则1＜ x＋ 1＜ 3，即 f(x)的定
义域为 [ 1，3]，
2 2 2
再求 f[h(x)] 的定义
域：
∴1＜x2＜3，解得－ 3 ＜ x＜－ 2
或
2＜ x＜ 3 ．
2 2 2
∴f(x2)的定义域是 {x|
－3 ＜ x＜－ 2 或2＜ x＜ 3 }．
2 2
例6、某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下
部是边长分别为x、 y( 单位： m)的矩形 . 上部是等腰直角三
2
角形 . 要求框架围成的总面积 8cm. 问 x、y 分别为多少
( 精确到 0.001m) 时用料最省 ?
分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还
需考虑实际上的有效范围。

实际上的有效范围，即实际
问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：
（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；
（2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能
小于 0 也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；
（ 3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自
然数，增长率要满足题设；（ 4 ）路程问题中，要考虑路程的范围。

本题中总面积为
S三角形S矩形
xy 1 x2 8 ，由于 xy 0 ，于是1 x28 ，即 x 4 2 。

又 x 0，∴
4 4
x 的取值范围是 0 x
4 2 。

解：由题意得
x 2
8
= 8x (0<x<4 2 ).
xy+ 1 x2=8, ∴y= 4
4 x x 4
于是 , 框架用料长度
为
l=2x+2y+2
( 2 x )=( 3 + 2 )x+ 16≥4 6 4 2 .
2 2 x
当
( 3 +2 )x= 16 , 即 x=8－ 4
2 时等号成立 .
2 x
此时 , x
≈2.343,y=2 2 ≈2.828.
故当 x 为2.343m,y 为 2.828m
时 , 用料最省 .
变式训练：
13. （2007·北京理， 19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为 r. 计划将此钢板
切割成等腰梯形的形状, 下底 AB是半椭圆的短轴，上
底
CD的端点在椭圆上 . 记 CD=2x,梯形面积为
S.
(1)求面积 S 以 x
(2)求面积 S 的最大值 .
解（ 1）依题意，以 AB 的中点 O为原点建立直角坐标系 O-xy（如图），则点 C的横坐标为 x, 点 C的纵坐标 y 满足方程
x2y2
1(y ≥ 0),
r 24r 2
解得 y=2 r 2x2
(0<x<r).S=
1
(2x+2r) · 2 r 2x 2
2
=2(x+r)
·r 2x2, 其定义域为 {x|0<x<r}.
（ 2）记
f(x)=4(x+r) 2(r 2-x 2),0<x<r, 则 f ′
(x)=8(x+r)
2(r-
2x).
令 f ′(x)=0, 得
x= 1 r. 因为当 0<x< r时， f ′ (x)>0;
2 2
当r <x<r 时 ,f ′ (x)<0 ，所以 f （1 r ）
是 f(x) 的最大值 .
2 2
因此，当 x= 1 r 时， S 也取得最大值，最大
值为 f (1 r ) 3 3
r 2 .
2 2 2
即梯形面积 S 的最大值为3 r 2 .
3
2
巩固训练（各专题题目数量尽量一致，各题均附答案及解析）1. 设函数的定域为，则
（ 1）函数的定义域为 ________。

（ 2）函数
分析：做法与例题
的定义域为
1 相同。

__________。

解：（ 1）由已知有，解得
故的定义域为
（ 2）由已知，得，解得
故的定义域为
2、已知函数的定义域为，则的定义域为
________。

分析：做法与例题 2 相同。

解：由，得
所以，故填
3、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5) 的定义域为________。

分析：做法与例题 3 相同。

解：由，得
所以，所以 0≤ 3x-5≤ 1,所以 5/3≤
x≤ 2.
4、设函数y=f(x) 的定义域为
［
0， 1］， q 求 y=f
( x 1 ) f (x 1) 定义域。

3 3
分析：做法与例题 4 相同。

解：由条件， y 的定义域是
f (x 1 ) 与 ( x
1) 定义域的交
集 .
3 3
0x 1
1
1
x
2
3 3 3 1 2
列出不等式组x
1 1 4 3
, 0x 1 x
3
3 3 3
故 y=f
( x 1) f ( x 1) 的定义域为1,2 .
3 3 3 3
【党员个人总结与自我评价(四 )】
一年里，在学校领导的教育和培养下，在同事们的关心和帮助下，自己的思想、工作、学
习等各方面都取得了一定的成绩。

现总结如下：
一、自觉加强理论学习，努力提高政治思想素质和个人业务能力。

在过去的一年中，主动加强对政治理论知识的学习 ,系统学习了邓小平理论和“三个代表”的重要思想，通过学习，提高了自己的政治敏
锐性和鉴别能力，坚定了立场，坚定了信念。

其间，我认真的学习了《保持共产党员先进性教育读本》一书党委及支部工作有关的文件材料。

只有不断加强学习，才能适应社会发展的需要，只有不断的提高自己的政治理论素质，才能适应社会经济发展的客观要求。

二、积极开展工作，力求更好的完成自己的本职工作。

工作中能够始终保持一种积极向上的
心态，努力开展工作。

特别是党支部的工作，促使我养成更加严谨、更加细致的工作作风，更好的完成领导交给的各项工作任务。

三、严格遵守学校各项规章制度。

不迟到不早退，团结同事，尊师爱生，虚心求教，不耻
下问，将工作以外的时间合理的利用起来，养成良好的工作、生活习惯。

四、坚持党性原则。

遵纪守法，敢于抵制不正之风和腐败行为，自觉树立正确的世界观、
人生观、价值观，用党章规范言行，自觉遵守公民道德规范，在党的教育事业中体现党员
的先进性。

五、在工作岗位上保持先进性。

自觉树立终身学习的观念，结合本部门工作特点和教学工
作需要，参加专业知识、基本技能的学习，提升
知识层次，扩大知识面，以自已的实际行为践行党的宗旨，争当教育
教学工作领域的带头人，在建功立业中保持党员先进性。

六、自觉履行党员义务，按时交纳党费，积极参加组织活动，坚决执
行党的决定，始终与党中央保持一致，积极为党工作，努力完成党的
各项任务。

当然，在自己的思想、工作、学习等方面还存在着许多的不足。

在在思想上，与新时期党员的标准之间还存在着一定的差距；在业务知
识上，与自己本职工作要求还存在一定的差距。

在今后的工作中，还
需要进一步的努力，不断提高自己的综合素质，克服畏难心理，更加
出色的完成好各项工作任务。