2019版高考数学(理)一轮复习课时分层作业： 十一 2.8函数与方程

课时分层作业十一
函数与方程
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是( )
A.0,2
B.0,
C.0,-
D.2,-
【解析】选C.因为2a+b=0,
所以g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).所以零点为0和-.
2.(2018·唐山模拟)f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选 B.令2sin πx-x+1=0,则2sin πx=x-1,令h(x)=2sin πx,g(x)=x-1,则f(x)=2sin πx-x+1的零点个数问题转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题.h(x)=2sin πx的最小正周期为
T==2,画出两个函数的图象,如图所示.因为
h(1)=g(1),h>g,g(3)=2>h(3)=0,g(-1)=-2,所以两个函数图象的交点一共有5个,所以f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为5.
3.若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(2,+∞)
B.
C.(1,+∞)
D.(0,1)
【解析】选C.函数f(x)=a x-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,就是函数y=a x(a>0且a≠1)与函数y=x+a(a>0且a≠1)的图象有两个交点,由图1知,当0<a<1时,两函数的图象只有一个交点,不符合题意;由图2知,当a>1时,因为函数y=a x(a>1)的图象与y轴交于点(0,1),而直线y=x+a与y轴的交点一定在点(0,1)的上方,所以两函数的图象一定有两个交点,所以实数a的取值范围是a>1.
4.已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)的零点的区间是
( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,4)
D.(4,+∞)
【解析】选C.对于函数f(x)=-log2x,因为f(2)=2>0,f(4)=-0.5<0,根据零点的存在性定理知选C.
【一题多解】选C.在同一坐标系中作出函数h(x)=与g(x)=log2x的大致图象,如图所示,
可得f(x)的零点所在的区间为(2,4).
【变式备选】(2018·烟台模拟)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间
是 ( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,e)
D.(3,4)
【解析】选 B.因为f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,且f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0,所以函数的零点所在的大致区间是(1,2). 5.设函数f(x)=e x+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则( )
A.g(a)<0<f(b)
B.f(b)<0<g(a)
C.0<g(a)<f(b)
D.f(b)<g(a)<0
【解析】选A.依题意,f(0)=-3<0,f(1)=e-2>0,且函数f(x)是增函数,
因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内,即0<a<1.g(1)=-3<0,g(2)=ln 2+3>0,函数g(x)的零点在区间(1,2)内,即1<b<2,于是有f(b)>f(1)>0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数,因此有g(a)<g(1)<0,g(a)<0<f(b).
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·安庆模拟)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a 的取值范围是________.
【解析】因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,
所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,
即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.
方程a=4x-2x可变形为a=-,
因为x∈[-1,1],所以2x∈,所以-∈.
所以实数a的取值范围是.
答案:
7.(2018·嘉兴模拟)设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是________.
【解析】设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数y=x3与y= 的图象如图所示.
因为f(1)=1-=-1<0,f(2)=8-=7>0,所以f(1)f(2)<0,所以x0∈(1,2).
答案:(1,2)
【变式备选】已知函数f(x)=x2+x+a (a<0)在区间(0,1)上有零点,则a的范围为________.
【解析】由题意f(1)·f(0)<0,所以a(2+a)<0.所以-2<a<0.
答案:(-2,0)
8.(2018·北京模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x).当x∈[0,1]时,f(x)=2x.若在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则实数a的取值范围是________.
【解析】由f(x+2)=f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数,又f(x)为偶函数,故函数在[-2,3]上的图象
如图所示.
直线y=ax+2a过定点(-2,0),在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有
四个不相等的实数根,等价于直线y=ax+2a与函数y=f(x)的图象有四个不同的公共点,结合图形可得实数a满足不等式3a+2a>2,且a+2a<2,
即<a<.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.判断函数f(x)=4x+x2-x3在区间[-1,1]上零点的个数,并说明理由.
【解析】因为f(-1)=-4+1+=-<0,
f(1)=4+1-=>0,
所以f(x)在区间[-1,1]上有零点.
又f′(x)=4+2x-2x2=-2,
当-1≤x≤1时,0≤f′(x)≤,
所以f(x)在[-1,1]上是单调递增函数.
所以f(x)在[-1,1]上有且只有一个零点.
10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,
(1)求m的值.
(2)求函数的零点.
【解析】 (1)因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,
即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.
设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.
当Δ=0时,即m2-4=0,
所以m=±2,
当m=-2时,t=1;
当m=2时,t=-1(不合题意,舍去).
所以2x=1,x=0符合题意.
当Δ>0时,即m>2或m<-2,
t2+mt+1=0有两正或两负根,
即f(x)有两个零点或没有零点.
所以这种情况不符合题意.
综上可知:当m=-2时,f(x)有唯一零点.
(2)由(1)可知,该函数的零点为0.
1.(5分)已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间
是 ( )
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
【解析】选B.因为2a=3,3b=2,
所以a>1,0<b<1,
又f(x)=a x+x-b,所以f(-1)=-1-b<0,f(0)=1-b>0,从而由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.
2.(5分)(2018·台州模拟)已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是 ( )
A.9
B.10
C.11
D.18
【解题指南】函数F(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=|lg x|图象交点的个数,作出函数图象,结合图象确定零点的个数.
【解析】选B.由F(x)=0得f(x)=|lg x|,所以函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数就是函数y=f(x)与y=|lg x|图象交点的个数.作出函数图象,如图所示:
当0<x≤10时,有10个交点;当x>10时,|lg x|>1,所以此时函数y=f(x)与y=|lg x|图象无交点.故函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是10.
3.(5分)已知以T=4为周期的函数
f(x)=若方程f(x)=mx恰有5个实数解,则正实数m的取值范围为________.
【解题指南】作出函数f(x)在一个周期[-1,3]上的图象,根据周期性拓展函数图象,再作出函数y=mx的图象,数形结合找出两个函数图象有5个公共点时实数m满足的不等式解之即可.
【解析】因为当x∈[-1,1]时,将函数y=化为方程x2+y2=1(y ≥0),其图象为半圆如图所示,同时在坐标系中作出当x∈(1,3]的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象如图,
由图易知直线y=mx与第二个半圆(x-4)2+y2=1(y≥0)相交,而与第二段折线无公共点时,方程恰有5个实数解, 将y=mx代入(x-4)2+y2=1
得(1+m2)x2-8x+15=0, 令Δ=64-60(1+m2)>0,得m2<.又当x=6时,6m>1,m>,所以m∈.
答案:
【方法技巧】数形结合思想在函数零点问题中的应用
(1)数形结合思想的本质是转化,即把数的问题转化为形的问题直观解决,或者把形的问题转化为数的问题加以解决.
(2)在函数与方程问题中利用数形结合思想可以把函数的零点、方程的根等问题转化为两个函数图象的交点问题加以解决.
4.(12分)设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.
(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,
令f(x)=0,得x=3或x=-1.
所以函数f(x)的零点为3或-1.
(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,
所以b2-4a(b-1)>0恒成立,
即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,
所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a2-a<0,
解得0<a<1,
因此实数a的取值范围是(0,1).
5.(13分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.
(1)求k的值.
(2)若方程f(x)=log4(a·2x-a)有且只有一个根,求实数a的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),
即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,
即(2k+1)x=0,所以k=-.
(2)依题意有log4(4x+1)-x=log4(a·2x-a),
即
令t=2x,则(1-a)t2+at+1=0(),
只需其有一正根即可满足题意.
①当a=1,t=-1时,不合题意.
②()式有一正一负根t1,t2,
即
得a>1,经验证正根满足at-a>0,所以a>1.
③()式有相等两根,即Δ=0⇒a=±2-2,
此时t=,
若a=2(-1),则有t=<0,
此时方程(1-a)t2+at+1=0无正根,故a=2(-1)舍去; 若a=-2(+1),则有t=>0,
且a·2x-a=a(t-1)=a=>0, 因此a=-2(+1).
综上所述,a>1或a=-2-2.。