如何在小学数学教学中把握数学本质
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• 符号化的过程蕴含着重要的价值，需要结 构化的教学设计，用更长的时间来帮助学 生感悟。
CPA教学法
• Concrete(具象化）→Pictorial (形象化） +Abstract (抽象化）（布鲁纳）
• CPA教学法最早由美国心理学家Jerome Bruner在上个世纪60年代提出，符合儿童 学习特点和规律。
第四，分类的思想方法
• 分类是重要的数学思想，是儿童研究问题的重要方法。 • 自然界的物体要通过分类来研究，例如，化学元素要分类，物理实验
要分类，数学概念也需要分类。 • 通过分类，可以更清楚明确物质的特点，可以更准确把握事物。分类
的过程就是对事物共性的抽象过程。 • 在儿童数学学习中，常常会遇到分类问题，比如数的分类、图形的分
认识数：认识什么？
认识意义：表示数量、表示顺序，产生新的数 认识十进位值制：产生新的计数单位；读写、改 写； 认识大小：数的大小比较（体现比较的思想） 认识与生活的联系：对于生活中数量的“感受”
数的本质——
• 数是对客观世界量的现象的抽 象与概括
认数活动的重点——建立现 实与数学的联系，让学生经 历从具体到抽象的过程
类、代数式的分类、函数的分类等。
第五，不变量的思想方法
• 数学的一个基本思想是要在变化中寻找不变的东西，不变 量是儿童数学学习中的一个重要思想。
• 在儿童的数学问题解决的过程中，他们往往会找一些不变 量。在寻求规律的过程中，儿童实际上也是找不变量的过
程。
• 在儿童的数学学习中，不变量的例子不胜枚举。例如，在加法交换律中，和 是不变量，只有把握这一不变量，儿童才能写出很多算式。
• 函数的思想是儿童数学学习中的一种重要的数学思想。 在儿童数学学习中，并不是正式地学习函数的概念，而是 在学习内容中渗透函数思想，使其有所体验。
• 在应用题中已经出现s=vt(距离=速度x时间 ）这样的函数。
•
在统计直方图的中，儿童进一步体会
了函数思想，如总价和数量的图，实际上
渗透了函数的图像表示法。
积，由长方形的面积＝长×宽，推导出平行四边形的面积＝底边×高。
第八，方程的思想方法
• 方程是从现实生活到数学的一个提炼过程, 一个用数学符号提炼现实生活中的特定关 系的过程。
方程思想内涵
• 第一，体现了等量的思想，儿童进一步发展了守恒意识和逆向思维， 这是儿童通过等式体会到的。
• 第二，未知数的意识，儿童从未知数是可以变化的，体会变化在数学 中的存在，方程的思想实质是一种变化的思想。
• “数形结合”是问题解决过程中经常使用的一种数学思想方法，即通过 数与形的对应关系和相互转化来解决数学问题，它涉及了数学的两大 研究对象——数与形。
•
小学阶段，儿童的逻辑思维能力还比较薄弱，利用数形结合思想
，通过画线段图、树状图等方法,可以将数量之间的关系直观形象地表
示出来, 帮助学生从图形的直观特征中发现数量关系, 以形助数，理解
举例 • 黑板是否是一个长方形？
第二，推理的思想方法
• 学推理，就是从一个数学命题判断到另一 个数学命题判断的思维过程。数学推理要 求“用数学的方法分析世界”。
• 儿童的数学推理往往用口头的形式展现— —讲数学。
• 推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。 • 合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等
、分析和解决实际问题。
第七，化归的思想方法
• 化归思想，即转化思想，是解决问题中经常用到的一种思 想方法。转化，就是在解决问题的过程中，通过对问题的 不断转化，使原来难于解决的问题，转化成儿童熟悉的、 易于解决的问题。
• 运用特例，将问题的特殊化，也是一种转化的思想。
• 在小学数学学习中，经常会运用化归的思想方法去解决数学问题。 • 例如 ，把小数乘法的计算转化为整数乘法的计算, • 把分数除法的计算转化为分数乘法的计算, • 把不规则图形的面积计算转化成规则图形的面积计算等。 • 学习平行四边形面积公式时，将平行四边形的面积通过割补转换成长方形面
如何在小学数学教 学中把握数学本质
理解课标
• 关注数学本质 • 关注儿童本位 • 关注核心素养
什么是数学
• 数学是研究现实世界的空间现实和数 量关系的科学（恩格斯）
什么是数学的本质
• 数学的本质特征就是：在从模式化 的个体作抽象的过程中对模式进行 研究。（怀特海）
数学的本质
• 结构与关系是数学内容的本质 • 抽象化思维是数学思维的本质
• 在头脑中形成一个数学内容和方法体系。
联系
• 数学知识的联系 • 数学方法的联系 • 一般知识与核心概念的联系
联系与推理
• 建立联系的过程是学生推理的 过程
• 建立联系也是形成学生良好的 数学认知结构的关键
• 如果学生的数学知识是以支离破碎的形式 储存的，就是没有把握数学的本质
• 如果学生的数学知识是以良好结构的形式 储存的，就是把握了数学的本质
• 路径二： 建立联系、形成结构
• 知识单元是一个整体 • 这个这整体以核心概念为统领 • 单元教学的思想
• 小学数学知识不是孤立的一个个知识点 • 而是有逻辑联系的整体结构 • 联系的过程就是推理的过程
• 强调核心概念 • 强调数学的通性通法
解决教学中的问题
➢强调碎片化的数学知识点 ➢强调孤立的解题技巧 ➢忽视数学的通性通法和对核心概念的深刻
• 第三，方程是表达现实和解决问题的数学模型。针对现实问题中求出 未知数的要求，需要建立方程，在解决问题中许多数量关系都可以用 方程来表达。通过方程的建立，儿童初步体会了模型的思想
第九，函数的思想方法
• 函数的数学定义是：设x与y为两个变量，如果变量x在实 数的某一范围中变化时，变量y按照一定的规律随x的变化 而变化，称y为x的函数。
•
• 数学的思想方法有好多，但是抽象、推理 和模型是数学思想方法的核心，也是数学 思维的本质。
• 在数学教学中，只有把抽象、推理和建模 贯穿在数学教学的全过程，才能让学生理 解数学的本质。
教材内容
• 算术 • 几何 • 解决问题
• 在数与代数学习中发展儿童早期的抽象概 括的思维能力
• 在空间与几何学习的过程中，要发展儿童 早期的空间思维
• 小的数关键是数数 • 大的数关键是在经验基础上的推理
用直观模型帮助儿童理解大数
例2，分数的意义
• 把单位“1”平均分成若干份， 表示这样的一份或几份的数， 叫做分数。
• 你是如何理解假分数呢？
分数
• 分数表示一个数是另一个数的几分 之几
整体把握分数的意义
商
指分数转化为除法之后 运算的结果
• 路径三： 发展思维、提升能力
第一，抽象的思想方法
• 抽象思想就是把现实世界中与数学有关的东西抽象到数学 知识，即要“用数学的眼光来看待世界”。
• 抽象两个层次，一个是语言描述，另一个是符号表达。 • 小学阶段的抽象主要体现在第一个层次。 • 抽象的内容有两种：一是数量与数量关系的抽象；二是
图形与图形关系的抽象。
数据的随机主要有两层涵义： 一方面对于同样的事情每次收集到的数据可 能会是不同的； 另一方面只要有足够的数据就可能从中发现 规律。
• 数学是抽象的过程
• 学生理解数学的本质，也是他们抽 象思维能力发展的过程
符号意识
• 符号意识的发展，是一个数学抽象进一步 发展的过程。
• 从数量抽象到数是一次抽象，用字母表示 数，则是理性的抽象。
• 在解决问题的过程中发展儿童早期的建模 思维
在教学中注重活动的内化
• 而要更加重视“活动的内化”，加强对数学活动 的反思，促进儿童生活经验的“数学化”，从而产 生真正的数学思维。 • 在数学活动中理解数学概念；建立新数学概念 与已有概念的联系。
谢谢！
进一步感受可能性有大有小；初步感受数据的随机性
用复式统计图直观、有效地表示数据；进一步体会平均数的实际应 用
认识扇形统计图；统计图的选择；原始数据的整理、运用数据进行 判断和预测、运用不同“标准”刻画数据
统计观念的发展
• 在现实世界中中有大量的数据 • 用数据分析解决问题 • 观察数据找出规律
数据的随机性
分类 积累收集、整理数据的活动经验，了解收集数据的简单方法，会进 行简单的数据整理。 再次积累收集、整理数据的活动经验，用自己的方式（文字、图 画、表格等）呈现整理数据的结果。
感受简单的随机事件；初步感受可能性有大有小
用条形和折线统计图直观、有效地表示数据；认识平均数，能用自 己的语言解释其实际意义
在小学数学数学教学中如何 把握数学的本质
• 理解数学知识 • 把握数学知识的结构 • 形成数学思维方式
三个主要路径
• 抽象概括 • 建立联系 • 发展思维
• 路径一：抽象概括
如何理解数学知识
• 发展学生抽象思维 • 让学生进行高位概括 • 抓住核心概念，发挥大观念的引领作用
例1，数的认识
• 十以内数的认识，二十以内数的认识 • 百以内数的认识，认识更大的数 • 元角分与小数，小数的认识，认识分数 • 分数，百分数 • 生活中的负数 • 倍数与因数
指部分与整体的关系和 两个量之间比的关系
分数的意义
指的是可以将分数理解 为分数单位累积的结果
整体把握分数的意义
商
指分数转化为除法之后 运算的结果
比
指部分与整体的关系 和两个量之间比的关系
分数的意义
指的是将对分数的认识 转化为一个运算的过程
运算
测量
指的是可以将分数理解 为分数单位累积的结果
例3，统计与概率
理解。 ➢忽视知识之间联系和转化。
• 数学知识的联系 • 数学方法的联系 • 一般知识与核心概念的联系
举例
• 整数——分数——小数 • 运算方法（加减乘除）的联系
• 正方形——长方形——平行四边形面积计 算
• 儿童学习数学不是孤立掌握一个个数学知 识的过程
• 而是把数学知识与自己头脑中已有的知识 体系建立实质性的联系
推断某些结果。在小学中，合情推理主要是归纳推理。 • 演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则
证明和计算。 • 合情推理用来探索思路发现结论；演绎推理用来证明结论。
第三，模型的思想方法
• 模型思想就是用数学的语言、符号和方法，描述现实世界，即“用数
学的语言表达世界”，数学模型是为了更好地认识和刻画现实世界。
•
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
事实上，抽象、推理和模型思想不能截然地分开，三者之间是相
互联系的。
•
模型思想是建立在抽象和推理之上，其思维的基础就是抽象和推
理。
• 在小学阶段，模型思想处处可见。 • 解决问题就是一个建立模型的过程，如在小学数学学习
中经常会用到加法模型，比如小学应用题中常见的总量模 型，即利用“总量=部分+部分”的模型去解决数学问题。 • 模型思想在小学数学中体现在要培养学生提出问题和解决 问题的能力。
• 又如，总价=单价*数量，单价是不变量，单价定了后可以有很多种表达式。 图形经过变化，移动或者割补，图形变了，但面积不变，面积是不变量。 • 解方程问题是儿童对于不变量的认识进一步加强。式的运算主要是指恒等变
形，例如x-5=12,则x=17，对于任意的x都是成立的，所以称为恒等变形。
第六，数形结合的思想方法
CPA教学法
• Concrete(具象化）→Pictorial (形象化） +Abstract (抽象化）（布鲁纳）
• CPA教学法最早由美国心理学家Jerome Bruner在上个世纪60年代提出，符合儿童 学习特点和规律。
第四，分类的思想方法
• 分类是重要的数学思想，是儿童研究问题的重要方法。 • 自然界的物体要通过分类来研究，例如，化学元素要分类，物理实验
要分类，数学概念也需要分类。 • 通过分类，可以更清楚明确物质的特点，可以更准确把握事物。分类
的过程就是对事物共性的抽象过程。 • 在儿童数学学习中，常常会遇到分类问题，比如数的分类、图形的分
认识数：认识什么？
认识意义：表示数量、表示顺序，产生新的数 认识十进位值制：产生新的计数单位；读写、改 写； 认识大小：数的大小比较（体现比较的思想） 认识与生活的联系：对于生活中数量的“感受”
数的本质——
• 数是对客观世界量的现象的抽 象与概括
认数活动的重点——建立现 实与数学的联系，让学生经 历从具体到抽象的过程
类、代数式的分类、函数的分类等。
第五，不变量的思想方法
• 数学的一个基本思想是要在变化中寻找不变的东西，不变 量是儿童数学学习中的一个重要思想。
• 在儿童的数学问题解决的过程中，他们往往会找一些不变 量。在寻求规律的过程中，儿童实际上也是找不变量的过
程。
• 在儿童的数学学习中，不变量的例子不胜枚举。例如，在加法交换律中，和 是不变量，只有把握这一不变量，儿童才能写出很多算式。
• 函数的思想是儿童数学学习中的一种重要的数学思想。 在儿童数学学习中，并不是正式地学习函数的概念，而是 在学习内容中渗透函数思想，使其有所体验。
• 在应用题中已经出现s=vt(距离=速度x时间 ）这样的函数。
•
在统计直方图的中，儿童进一步体会
了函数思想，如总价和数量的图，实际上
渗透了函数的图像表示法。
积，由长方形的面积＝长×宽，推导出平行四边形的面积＝底边×高。
第八，方程的思想方法
• 方程是从现实生活到数学的一个提炼过程, 一个用数学符号提炼现实生活中的特定关 系的过程。
方程思想内涵
• 第一，体现了等量的思想，儿童进一步发展了守恒意识和逆向思维， 这是儿童通过等式体会到的。
• 第二，未知数的意识，儿童从未知数是可以变化的，体会变化在数学 中的存在，方程的思想实质是一种变化的思想。
• “数形结合”是问题解决过程中经常使用的一种数学思想方法，即通过 数与形的对应关系和相互转化来解决数学问题，它涉及了数学的两大 研究对象——数与形。
•
小学阶段，儿童的逻辑思维能力还比较薄弱，利用数形结合思想
，通过画线段图、树状图等方法,可以将数量之间的关系直观形象地表
示出来, 帮助学生从图形的直观特征中发现数量关系, 以形助数，理解
举例 • 黑板是否是一个长方形？
第二，推理的思想方法
• 学推理，就是从一个数学命题判断到另一 个数学命题判断的思维过程。数学推理要 求“用数学的方法分析世界”。
• 儿童的数学推理往往用口头的形式展现— —讲数学。
• 推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。 • 合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等
、分析和解决实际问题。
第七，化归的思想方法
• 化归思想，即转化思想，是解决问题中经常用到的一种思 想方法。转化，就是在解决问题的过程中，通过对问题的 不断转化，使原来难于解决的问题，转化成儿童熟悉的、 易于解决的问题。
• 运用特例，将问题的特殊化，也是一种转化的思想。
• 在小学数学学习中，经常会运用化归的思想方法去解决数学问题。 • 例如 ，把小数乘法的计算转化为整数乘法的计算, • 把分数除法的计算转化为分数乘法的计算, • 把不规则图形的面积计算转化成规则图形的面积计算等。 • 学习平行四边形面积公式时，将平行四边形的面积通过割补转换成长方形面
如何在小学数学教 学中把握数学本质
理解课标
• 关注数学本质 • 关注儿童本位 • 关注核心素养
什么是数学
• 数学是研究现实世界的空间现实和数 量关系的科学（恩格斯）
什么是数学的本质
• 数学的本质特征就是：在从模式化 的个体作抽象的过程中对模式进行 研究。（怀特海）
数学的本质
• 结构与关系是数学内容的本质 • 抽象化思维是数学思维的本质
• 在头脑中形成一个数学内容和方法体系。
联系
• 数学知识的联系 • 数学方法的联系 • 一般知识与核心概念的联系
联系与推理
• 建立联系的过程是学生推理的 过程
• 建立联系也是形成学生良好的 数学认知结构的关键
• 如果学生的数学知识是以支离破碎的形式 储存的，就是没有把握数学的本质
• 如果学生的数学知识是以良好结构的形式 储存的，就是把握了数学的本质
• 路径二： 建立联系、形成结构
• 知识单元是一个整体 • 这个这整体以核心概念为统领 • 单元教学的思想
• 小学数学知识不是孤立的一个个知识点 • 而是有逻辑联系的整体结构 • 联系的过程就是推理的过程
• 强调核心概念 • 强调数学的通性通法
解决教学中的问题
➢强调碎片化的数学知识点 ➢强调孤立的解题技巧 ➢忽视数学的通性通法和对核心概念的深刻
• 第三，方程是表达现实和解决问题的数学模型。针对现实问题中求出 未知数的要求，需要建立方程，在解决问题中许多数量关系都可以用 方程来表达。通过方程的建立，儿童初步体会了模型的思想
第九，函数的思想方法
• 函数的数学定义是：设x与y为两个变量，如果变量x在实 数的某一范围中变化时，变量y按照一定的规律随x的变化 而变化，称y为x的函数。
•
• 数学的思想方法有好多，但是抽象、推理 和模型是数学思想方法的核心，也是数学 思维的本质。
• 在数学教学中，只有把抽象、推理和建模 贯穿在数学教学的全过程，才能让学生理 解数学的本质。
教材内容
• 算术 • 几何 • 解决问题
• 在数与代数学习中发展儿童早期的抽象概 括的思维能力
• 在空间与几何学习的过程中，要发展儿童 早期的空间思维
• 小的数关键是数数 • 大的数关键是在经验基础上的推理
用直观模型帮助儿童理解大数
例2，分数的意义
• 把单位“1”平均分成若干份， 表示这样的一份或几份的数， 叫做分数。
• 你是如何理解假分数呢？
分数
• 分数表示一个数是另一个数的几分 之几
整体把握分数的意义
商
指分数转化为除法之后 运算的结果
• 路径三： 发展思维、提升能力
第一，抽象的思想方法
• 抽象思想就是把现实世界中与数学有关的东西抽象到数学 知识，即要“用数学的眼光来看待世界”。
• 抽象两个层次，一个是语言描述，另一个是符号表达。 • 小学阶段的抽象主要体现在第一个层次。 • 抽象的内容有两种：一是数量与数量关系的抽象；二是
图形与图形关系的抽象。
数据的随机主要有两层涵义： 一方面对于同样的事情每次收集到的数据可 能会是不同的； 另一方面只要有足够的数据就可能从中发现 规律。
• 数学是抽象的过程
• 学生理解数学的本质，也是他们抽 象思维能力发展的过程
符号意识
• 符号意识的发展，是一个数学抽象进一步 发展的过程。
• 从数量抽象到数是一次抽象，用字母表示 数，则是理性的抽象。
• 在解决问题的过程中发展儿童早期的建模 思维
在教学中注重活动的内化
• 而要更加重视“活动的内化”，加强对数学活动 的反思，促进儿童生活经验的“数学化”，从而产 生真正的数学思维。 • 在数学活动中理解数学概念；建立新数学概念 与已有概念的联系。
谢谢！
进一步感受可能性有大有小；初步感受数据的随机性
用复式统计图直观、有效地表示数据；进一步体会平均数的实际应 用
认识扇形统计图；统计图的选择；原始数据的整理、运用数据进行 判断和预测、运用不同“标准”刻画数据
统计观念的发展
• 在现实世界中中有大量的数据 • 用数据分析解决问题 • 观察数据找出规律
数据的随机性
分类 积累收集、整理数据的活动经验，了解收集数据的简单方法，会进 行简单的数据整理。 再次积累收集、整理数据的活动经验，用自己的方式（文字、图 画、表格等）呈现整理数据的结果。
感受简单的随机事件；初步感受可能性有大有小
用条形和折线统计图直观、有效地表示数据；认识平均数，能用自 己的语言解释其实际意义
在小学数学数学教学中如何 把握数学的本质
• 理解数学知识 • 把握数学知识的结构 • 形成数学思维方式
三个主要路径
• 抽象概括 • 建立联系 • 发展思维
• 路径一：抽象概括
如何理解数学知识
• 发展学生抽象思维 • 让学生进行高位概括 • 抓住核心概念，发挥大观念的引领作用
例1，数的认识
• 十以内数的认识，二十以内数的认识 • 百以内数的认识，认识更大的数 • 元角分与小数，小数的认识，认识分数 • 分数，百分数 • 生活中的负数 • 倍数与因数
指部分与整体的关系和 两个量之间比的关系
分数的意义
指的是可以将分数理解 为分数单位累积的结果
整体把握分数的意义
商
指分数转化为除法之后 运算的结果
比
指部分与整体的关系 和两个量之间比的关系
分数的意义
指的是将对分数的认识 转化为一个运算的过程
运算
测量
指的是可以将分数理解 为分数单位累积的结果
例3，统计与概率
理解。 ➢忽视知识之间联系和转化。
• 数学知识的联系 • 数学方法的联系 • 一般知识与核心概念的联系
举例
• 整数——分数——小数 • 运算方法（加减乘除）的联系
• 正方形——长方形——平行四边形面积计 算
• 儿童学习数学不是孤立掌握一个个数学知 识的过程
• 而是把数学知识与自己头脑中已有的知识 体系建立实质性的联系
推断某些结果。在小学中，合情推理主要是归纳推理。 • 演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则
证明和计算。 • 合情推理用来探索思路发现结论；演绎推理用来证明结论。
第三，模型的思想方法
• 模型思想就是用数学的语言、符号和方法，描述现实世界，即“用数
学的语言表达世界”，数学模型是为了更好地认识和刻画现实世界。
•
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
事实上，抽象、推理和模型思想不能截然地分开，三者之间是相
互联系的。
•
模型思想是建立在抽象和推理之上，其思维的基础就是抽象和推
理。
• 在小学阶段，模型思想处处可见。 • 解决问题就是一个建立模型的过程，如在小学数学学习
中经常会用到加法模型，比如小学应用题中常见的总量模 型，即利用“总量=部分+部分”的模型去解决数学问题。 • 模型思想在小学数学中体现在要培养学生提出问题和解决 问题的能力。
• 又如，总价=单价*数量，单价是不变量，单价定了后可以有很多种表达式。 图形经过变化，移动或者割补，图形变了，但面积不变，面积是不变量。 • 解方程问题是儿童对于不变量的认识进一步加强。式的运算主要是指恒等变
形，例如x-5=12,则x=17，对于任意的x都是成立的，所以称为恒等变形。
第六，数形结合的思想方法