广东省广州市实验中学高三上第一次月考数学文科试题

广东省广州市实验中学高三上第一次月考数学文科试题
( ) A.53- B.53 C.54 D.54-
6．已知函数ax x f -=3)(在区间(0，1)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．),0(+∞ B.]3
1,0( C.]3,0( D.)3,0(
7．若πααα20,0cos 3sin ≤≤>-，则α的取值范围是：( ) A.)2,3(ππ B.),3(ππ C.)2
33(ππ， D ．)3
4,3(ππ 8．把函数)6
sin(π+=x y 图像上各点的横坐标缩短为原来的21倍（纵坐标不变），再将图像向右平移3
π个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为
( )
A ．2π-=x
B ．4π-=x
C ．8
π=x D ．4
π=x 9、函数
1)(3++=ax x x f 有极值的充要条件是
( )
A ．0≥a
B ．0>a
C ．0≤a
D．0<a
10、已知函数f(x)的定义域为]5,1[-，
部分对应值如下表。

f(x)的导函数)('x f
y=的图象如图
所示。

下列关于函数f(x)的命题：
①函数f(x)在[0，1]是减函数；
②如果当],1[t
∈时，f(x)的最大值是2，那么t
x-
的最大值为4；
③函数a
=)
(有4个零点，则2
y-
f
x
≤a；
1<
其中真命题的个数是( )
A．3个B．2个C．1个D．0个
第二部分非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．曲线3
=在x=-1的处的切线方程为
y-
x
2x
__________________.
12．化简o
o33
o
o
cos
cos-=___________________.
27
33
sin
sin
27
13.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A、
B、灯塔B位于灯塔A的正南方向，海上停泊着
两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西750方向，与A 相距23海里的D 处：乙船位于灯塔B 的北偏西600方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘船之间的距离为____海里。

14.设31sin sin =+βα，不等式0cos sin 2≤--m βα对满足条件的βα,恒成立，则实数m 的最小值为__________.
三、解答题（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分12分）
已知：集合0)1)(1(|{≥--+-=m y m y y M ，其中}0>m 集合x
x y y N 1|{+==，其中R x ∈且}0≠x (1)求集合N
(2)已知N y q M y P ∈∈:::，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围。

16．（本小题满分12分） 已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2
++=π. (1)若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值；
(2)求f(x)的单调增区间．
17.（本小题满分14分）
已知函数0,13)(3≠--=a ax x x f
(1)求f(x)的单调区间：
(2)若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m 与y=f(x)的图象有三个不同的交点．求m 的取值范围。

18.（本小题满分14分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a,b ，c ，己知c=2，3
π=C . (1)若△ABC 的面积等于3，求a,b;
(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求△ABC 的面积．
19．（本小题满分14分）
已知：a x x a x f x ln )(2.-+=(a>0且a≠1)
(1)求f(x)的最小值． (2)若存在]1,1[21-∈x x 、，使1)()21-≥-<e x f x f 成立，求实
数a 的取值范围．
20.（本小题满分14分）
已知函数24)(2-+=x ax
x f 满足对任意R x x ∈21,且21x x =/，都有2
)()()2(2121x f x f x x f +<+. （1）求实数a 的取值范围；
（2）试讨论函数y=f(x)在区间[-1，1]上的零点的个数；
（3）对于给定的实数a ，有一个最小的负数M(a)，使得]0),([a M x ∈时，4)(4≤≤-x f 都成立，则当a
为何值时，M（a）最小，并求出M(a)的最小值．
参考答案
1-10 CDDCB CDADB 11.
02=++y x 12.21 13．13 14.94
15.解：(1)x
x y 1+=，其中R x ∈且0=/x ，可知： x>0时，21≥+=x
x y ,当且仅当x=1时取等号； ……………2分
x<0时，2)]1([1-≤-+--=+=x
x x x y ，当且仅当x=-1时取等号； …4分
}22|{-≤≥=∴y y y N 或 … 5分
注：利用函数的单调性处理相应计分
(2)由0)1)(1(≥--+-m y m y ，其中⇒>0m
}11|{m y m y y M -≤+≥=或
....7分 又
p 是q 的充分条件，即q p ⇒， …
…8分 可知：N M ⊆ …10分
所以
2
1-≤-m 且
2
1≥+m ，又
m>0 .........11分
得实数
m
的取值范围为
}
3|{≥m m 。

(12)
分 16.
解
：
x
x x f 2sin )62cos(1)(++
+=π
.........2分
-+=6
cos
2cos 1π
x 12sin 6
sin
2sin =+x x π
x
x 2sin 21
2cos 23++ ……
…4分
1
)3
2sin(++
=π
x
……6分
(1)11)32sin()(=++=πααf 0)3
2sin(=+∴π
α； π
π
αk =+3
2，
)(6
2z k k ∈-=
π
πα，又
)
,0(πα∈
3
πα=
∴或
6
5π …8分
(2)f(x)
单
调
增，故
]
22,22[3
2π
ππ
ππ
+
-
∈+
k k x ， ………
…10分
即)](12
,125[Z k k k x ∈+-∈π
πππ，
从
而f(x)
的单调增区间为
)](12
,125[Z k k k ∈+-ππππ ………12分 17.解
析
：
(1)
)
(333)('22a x a x x f -=-=，
…………1分 当
a<0时，对R
x ∈，有
)('>x f ， ……
………2分 当a<0
时，f(x)的单调增区间为
)
,(+∞-∞， ……3分 当
a>0
时，由
)('>x f 解得a
x -<或a
x >； … 4分
由
)('<x f 解
得
a
x a <<-，
…5分
当a>0时，f(x)的单调增区间为)
,(),,(+∞--∞a a ;f(x)
的单调减区间为)
,(a a -。

…7分
(2)因f(x)在1
-=x 处取得极大值，所以
1
,03)1(3)1('2=∴=--⨯=-a a f …8分
所以
3
3)(',13)(23-=--=x x f x x x f ，由
)('=x f 解得
1
,121=-=x x 。

……9分
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1，在x=1处取得极小值f(1)=-3。

………11分
因为直线y=m 与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点， 又
1
17)3(,
319)3(>=-<-=-f f ，
…12分
结合f(x)的单调性可知，m 的取值范围是(-3,1)。

…14分 18.解：(1)由余弦定理及已知条件得，4
22
=-+ab b a
，
又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得ab=4． ………4分 联立方程组
⎩⎨
⎧==-+,
4,
422ab ab b a 解得a=2，
b=2． …………6分 (2)由题意得A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++， 即
A
A A
B cos sin 2cos sin =，
……………8分 当
cosA=0
时
，
6
,2
π
π
=
=
B A ，
3
3
2,334==
b a . …………10分
当0cos ≠A 时，得A B sin 2sin =，由正弦定理得b=2a ． 联
立
方程组
⎩⎨
⎧==-+,
2,
422a b ab b a 解得
3
34,332==
b a . ………12分
所
以
△ABC
的
面
积
3
32sin 21==
C ab S .
…14分
19.解析：(1)f(x)的定义域为
R ，
a
a x x f x ln )1(2)('-+=, ……2分
分a>1及0<a<1讨论可得，a>0且1≠a 时均有x>0时，0;0)('<>x x f 时，0)('<x f ；…5分
故f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，1
)0()(min
==∴f x f
，……6分 (2)存在
]
1,1[21-∈x x 、，使
1
)()(21-≥-e x f x f 成立
1
)()(max 21-≥-⇔e x f x f
1
)()(min max -≥-⇔e x f x f ， …
…7分
令a a
a f f a g ln 21)1()1()(--=--=， ……8分
)
(,0)11
()('2a g a
a g ∴>-=在(0，1)及
)
,1(+∞上单调递
增. ……9分 又g(1)=0，
①若0)1()(,10=<<<g a g a ，)1()1(-<∴f f ，)1()max(-=∴f x f ，1ln 1
-≥+∴e a a …10分
令a a a h ln 1)(+=，01
1)('2
<+
-
=a
a
a h ，∴h(a)在(0，1)上单调
递减． 由
)
1
(1)(e
h e a h =-≥，
e
a 10≤
<∴， …
…11分 ②若
)1()(,1=>>g a g a ，
)
1()1(->∴f f ，
)
1()(max f x f =∴，
1
ln -≥-∴e a a …12分
令011)(',ln )(>-=-=a a p a a a p ∴p （a ）在(1,+∞)上单调递增.
e
a e p e a p ≥∴=-≥∴),(1)(，……13分 综上得：a 的取值
范围是),[]1
,0(+∞⋃e e
........14分 20.（本小题满分
14分）解：
(1)2
)
()()2(2
1
2
1
x f x f x x f +-
+ ……1分
c x x b x x a ++++=)2()2(21221222
2121c bx ax c bx ax +++++-0
)(4
221<--=x x a
，3
分 又2
1
x x
=/ ．∴必有a>0，∴实数a 的取值范围是
)
,0(+∞. ……4分 (2)a 816+=∆，由(1)知：a>0 ，所以△>0。

由
a>0
，
知
对
称
轴
02
24<-=-
=a
a x
6
)1(,02)1(-=->+=a f a f ………5分
①当0<a<6时，总有f(-1)<0，f(0)=-2<0,f(1)>0, 故0<a<6时，f(x)在[-1，1]上有一个零点： ……6分
②当a>6时，
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧>--=->-+=<-
<->0
24)1(024)1(12410
a f a f a a ，即a>6时，f(x)在[-1,1]
上有两个零点； ...8分
③当a=6时，有f(-1)=0，f(0)=-2<0，f(1)>0，故a=6时，f(x)在[-1，1]上有两个零点。

…9分 综上：当0<a<6时，f(x)在[-1，1]上有一个零点；当6≥a 时，f(x)在[-1，1]上有两个零点。

…10分 (3)24)(2
-+=x ax
x f a
a x a 42)2(2-
-+=，显然f(0)=-2，对称
轴02
<-=a x .
①当
44
2-<-
-a
,即0<a<2时，
)
0,2
()(a
a M -∈，且
4
)]([-=a M f ． …11分
令4
242
-=-+x ax
，解得a a x 242-±-=，此时M(a)取较大
的根，即
2
242242)(+--=-+-
=a a a a M ，
2
0<<a ，
1
2
242
)(->+--=
∴a a M ．……12分 ②当
44
2-≥-
-a
，即
2
≥a 时，
a
a M 2)(-
<，且
4
)]([=a M f ． ………13分
令4
242
=-+x ax
，解得a a x 642+±-=，此时M(a)取较小
的根，即
2
646642)(++-=+--=
a a
a
a M ，2≥a ，
3
2
646
)(-≥-+-=∴a a M ．当
且仅当a=2时，取等号． 13-<- ，∴当a=2时，M(a)取得最小值-3. ……14分。