高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》难题汇编及答案解析

【最新】数学高考《空间向量与立体几何》专题解析
一、选择题
1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ， N 分别为棱111,C D CC 的中点，以下四个结论：①直线DM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面.
【详解】
①：1CC 与DM 是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；
②：若AM BN 、平行，又AD BC 、平行且,AM AD A BN BC B ⋂=⋂=，所以平面BNC P 平面ADM ，明显不正确，故错误；
③：1BN MB 、不共面，所以是异面直线，故正确；
④：1AM DD 、不共面，所以是异面直线，故正确；
故选C.
【点睛】
异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.
2．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A．3
4
B．
7
8
C．
15
16
D．
23
24
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE
-，
该几何体的体积为
11117 111
32228
⎛⎫
-⨯⨯+⨯⨯=
⎪
⎝⎭
故选B
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）
A ．23
B ．13
C ．12
D ．34
【答案】B
【解析】
分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
详解：几何体如图S-ABCD ，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于21111=33
⨯⨯， 选B.
点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.
4．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB BCD ⊥平面，BCD V 是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为( )
A ．16π
B ．323π
C ．12π
D ．32π
【答案】A
【解析】
【分析】
先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积2S D π=求解即可.
【详解】
BCD V 外接圆直径23
sin 3
CD d CBD ===∠ , 故球的直径平方222222(23)16D AB d =+=+=,故外接球表面积216S D ππ== 故选：A
【点睛】
本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径d ,再利用锥体高h ,根据球直径22D d h =+求解即可.属于中等题型.
5．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．6
π 【答案】C
【解析】
【分析】
设AE BF a ==，13
B EBF EBF V S B B '-'=⨯⨯V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF A
C ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.
【详解】
设AE BF a ==，则()()2
3119333288B EBF a a V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32
a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=352AF =2292A F AA AF ''=+=，1322EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，
由余弦定理得222
81945
2
4
24
cos
93
22
22
22
A F EF A E
A FE
A F EF
+-
''
+-
'
∠===
'
⋅⋅⨯⨯
，
∴
4
A FE
π
'
∠=．
方法二：以B为坐标原点，以BC、BA、BB'分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则()
0,3,0
A，()
3,0,0
C，()
0,3,3
A'，
3
,0,0
2
F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
∴
3
,3,3
2
A F
⎛⎫
'=--
⎪
⎝⎭
u u u u r
，()
3,3,0
AC=-
u u u r
，
所以
9
92
2
cos,
9
32
2
A F AC
A F AC
A F AC
+
'⋅
'===
'⋅⨯
u u u u r u u u r
u u u u r u u u r
u u u u r u u u r
所以异面直线A F'与AC所成的角为
4
π
．
故选：C
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.
6．已知圆锥的母线与底面所成的角等于60°，且该圆锥内接于球O，则球O与圆锥的表面积之比等于（）
A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16
【答案】C
【解析】
【分析】
由圆锥的母线与底面所成的角等于60°，可知过高的截面为等边三角形，设底面直径，可以求出其表面积，根据圆锥内接于球O，在高的截面中可以求出其半径，可求其表面积，可求比值．
【详解】
设圆锥底面直径为2r，圆锥的母线与底面所成的角等于60°，
则母线长为2r ，
则圆锥的底面积为：2r π，侧面积为
1222r r π⋅， 则圆锥的表面积为2212232
r r r r πππ+⋅=， 该圆锥内接于球O ，则球在圆锥过高的截面中的截面为圆，即为边长为2r 的等边三角形的
内切圆，则半径为R =，表面积为221643r R ππ=， 则球O 与圆锥的表面积之比等于2
216:316:93
r r ππ=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查圆锥的性质，以及其外接球，表面积，属于中档题．
7．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且cos A =1BC =，
3AC =，三棱锥O ABC -的体积为
6，则球O 的表面积为( ) A ．36π
B ．16π
C ．12π
D ．163
π 【答案】B
【解析】
【分析】 根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC 是直角三角形，根据棱锥的体积求出O 到平面ABC 的距离，利用勾股定理计算球的半径OA ，得出球的面积．
【详解】
由余弦定理得222291cos 26AB AC BC AB A AB AC AB +-+-==g ，解得AB = 222AB BC AC ∴+=，即AB BC ⊥．
AC ∴为平面ABC 所在球截面的直径．
作OD ⊥平面ABC ，则D 为AC 的中点，
111
13326
O ABC ABC V S OD OD -∆==⨯⨯⨯=Q g ，
OD ∴=
2OA ∴=．
2416O S OA ππ∴=⋅=球．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断ABC ∆的形状是关键．
8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 分别是AB 、11B C 的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为（ ）
A 3
B ．13
C 58
D 387 【答案】C
【解析】
【分析】
取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF ，推导出四边形BDFE 为平行四边形，可得出//BE DF ，可得出异面直线BE 与CD 所成的角为CDF ∠，通过解CDF V ，利用余弦定理可求得异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值.
【详解】
取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF .
易知EF 是111A B C △的中位线，所以11//EF A B 且1112
EF A B =. 又11//AB A B 且11AB A B =，D 为AB 的中点，所以11//BD A B 且1112BD A B =
，所以//EF BD 且EF BD =.
所以四边形BDFE 是平行四边形，所以//DF BE ，所以CDF ∠就是异面直线BE 与CD 所成的角.
因为4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 、F 分别是AB 、11B C 、11A C 的中点， 所以111122C F AC ==，111122
B E B
C ==且C
D AB ⊥. 由勾股定理得22442AB =+=2242
AC BC CD AB ⋅=== 由勾股定理得2222115229CF CC C F =+=+=2222115229DF BE BB B E ==+=+=.
在CDF V 中，由余弦定理得((22229222958cos 22922CDF +-∠=
=⨯⨯. 故选：C.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.
9．如图，在正方体1111ABCD A B C D - 中，,E F 分别为111,B C C D 的中点，点P 是底面1111D C B A 内一点，且//AP 平面EFDB ，则1tan APA ∠ 的最大值是( )
A ．2
B ．2
C ．22
D ．32
【答案】C
【解析】 分析：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，则AO =
P
PM ，从而A 1P=C 1M ，由此能求出tan ∠APA 1的最大值．
详解：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，
设正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，
∵在正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 点P 是底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面EFDB ，
∴AO =P
PM ，∴A 1P=C 1M=244
AC =， ∴tan ∠APA 1=11AA A P 22．
∴tan ∠APA 1的最大值是2．
故选D ．
点睛：本题考查角的正切值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．
10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）
A ．305
B ．2305
C ．275
D ．475 【答案】B
【解析】
【分析】
在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.
【详解】
如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD
//DN BM Q ，1//DQ A M 且DN DQ D =I ，1BM A M M =I
∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）
又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值
此时，22512CP ==+ 221223025C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B
【点睛】
本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.
11．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为
①AC ⊥BE ；
②EF ∥平面ABCD ；
③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；
④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B
【解析】
试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确
考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质
12．三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若
//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的体积为（ ）
A ．3
B ．3
C ．13
D ．3
【答案】B 【解析】
根据题意画出如图所示的几何体：
∴三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体为三棱锥F ABC - ∵ABC 为正三角形，2AB =
∴1322322
ABC S ∆=⨯⨯⨯=∵CD ⊥底面ABC ，//AE CD ，2CD AE ==
∴四边形AEDC 为矩形，则F 为EC 与AD 的中点
∴三棱锥F ABC -的高为112CD = ∴三棱锥F ABC -的体积为13313V =
⨯⨯= 故选B.
13．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶5
D ．3∶2
【答案】C
【解析】
【分析】 由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝
r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ．
【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题． 14．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）
A ．若，与所成的角相等，则
B ．若
，，则 C ．若
，，则 D ．若
，，则 【答案】C
【解析】
试题分析：若，与所成的角相等，则
或，相交或，异面；A 错. 若，
，则或，B 错. 若，，则正确. D ．若，，则 ，相交或，异面，D 错
考点：直线与平面，平面与平面的位置关系
15．设三棱锥V ﹣ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A ﹣VC ﹣B 为γ，则（ ）
A ．2π
αββγ+＜，＞ B ．2π
αββγ+＜，＜ C ．2
π
αββγ+＞，＞
D ．2παββγ+＞，＜
【答案】C
【解析】
【分析】 由最小角定理得αβ>，由已知条件得AB ⊥平面VAC ，过A 作AN VC ⊥，连结BN ，得BNA γ=∠，推导出BVA γ>∠，由VA ⊥平面ABC ，得VMA β=∠，推导出MVA γ>∠，从而2πβγ+>
，即可得解.
【详解】 由三棱锥V ABC -的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，
VA ⊥平面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），
记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A VC B --为γ， 由最小角定理得αβ>，排除A 和B ；
由已知条件得AB ⊥平面VAC ，
过A 作AN VC ⊥，连结BN ，得BNA γ=∠，
∴tan tan AB BNA AN γ=∠=
， 而tan AB BVA AV
∠=，AN AV <，∴tan tan BNA BVA ∠>∠， ∴BVA γ>∠，
∵VA ⊥平面ABC ，∴VMA β=∠，
∴2MVA πβ+∠=
， ∵tan AM MVA AV
∠=，AB AM >，∴tan tan BVA MVA ∠>∠， ∴MVA γ>∠，∴2πβγ+>
．
故选：C ．
【点睛】
本题查了线线角、线面角、二面角的关系与求解，考查了空间思维能力，属于中档题.
16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上一点且12CE EC =，则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为（ ）
A ．11
B ．11
C ．211
D ．11 【答案】B
【解析】
【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值．
【详解】
解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设3AB =，则()3,0,0A ，()0,3,2E ，()13,0,3A ，()3,3,0B
，
()3,3,2AE =-u u u r ，()10,3,3A B =-u u u r ， 设异面直线AE 与1A B 所成角为θ，
则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为：
1111cos 222218AE A B AE A B
θ⋅===⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ． 故选：B ．
【点睛】
本题考查利用向量法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般.已知1l 的方向向量为a r ，2l 的方向向量为b r ，则异面直线12,l l 所成角的余弦值为a b a b
⋅⋅r r r r .
17．棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( )
A ．92
B ．922
C ．32
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案． 【详解】
由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台ABC DEF -，所得的组合体，
其截面是一个梯形BCFE ， 22112+=
22222+= 222322()2+= 故截面的面积1329(222)222
S =
⨯=， 故选：A ．
【点睛】
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
18．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）
A ．2
B ．5
C ．13
D ．22
【答案】D
【解析】
【分析】 根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥P ABC -.13PAC PAB S S ∆∆==，22PAC S ∆=，2ABC S ∆=，故最大面的面积为22.选D.
【点睛】
本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.
19．由两个14
圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．π3
B ．π2
C ．π
D ．2π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。

【详解】
由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2， 则21122
V ππ=
⋅⨯=， 故答案选C 。

【点睛】 本题主要考查根据几何体的三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。

20．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )
A ．3
B ．3
C ．4
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】
取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．
【详解】
由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,
所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，
设正三棱柱的各棱长为2,则11C N BC BN ===
设直线AM 与1C N 所成角为θ，
在1BNC ∆中，由余弦定理可得cos θ==，
即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为4
，故选D ．
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．。