高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战32073

（第3题）
数学Ⅰ
参考公式：
（1）样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2
211()n
i i s x x n ==-∑，其中1
1n
i i x x n ==∑.
（2）函数()()sin f x x ωϕ=+的导函数()()cos f x x ωωϕ'=⋅+，其中ωϕ，都是常数. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为▲. 2．若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲. 3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是▲.
4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差
为▲.
5．设全集U =Z ，集合{}
220A x x x x =--∈Z ≥，，则
U
A =▲.（用列举法表示）
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲.
7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2
号盒子中各有1个球的概率为▲.
8. 设P
是函数)1y x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为
θ，则θ
的取值范围是▲.
9．如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C
分别在函数y x =，12
y x =
，x
y =
的
图象上，
且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为▲. 10．观察下列等式：
311=， 33129+=，
（第9题）
(第13题)
33312336++=， 33331234100+++=，
……
猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+=▲（n ∈*N ）.
11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点
G 为正方形
11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面
积的最大
值为▲.
12．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为▲.
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F1，F2分别为椭圆
2
222
1y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭 圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D . 若127cos 25
F BF ∠=，则直线CD 的斜率为▲.
14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成
公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的 等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为▲.
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c.
（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；
（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.
16．(本小题满分14分)
A
（第16题）
B
C D
D 1
C 1
B 1
A 1
（第18题）
如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证： （1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD . 17．(本小题满分14分)
将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种
植150捆白杨树苗，B 组种植200捆
沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植.
（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25
小时，种植一捆沙棘树苗
用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？
（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25
小时， 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23
小时，于是从A 组抽调6名志愿者
加入B 组继
续种植，求植树活动所持续的时间.
18．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．
（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为
65
，求直线l 的方程；
（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；
②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．
19．(本小题满分16分)
已知函数()sin f x x x =+．
（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．
20.(本小题满分16分)
设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称
数列{n a }为“Jk 型”数列.
（1）若数列{n a }是“J2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；
（2）若数列{n a }既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列.
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）
如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使
BC ，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足
为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长． B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，
求实数k 的值．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
（第3题）
（第23题）
（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()
cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．
D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）
已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1n
n n a a n a +=∈+N ．
（1）求2a ，3a 的值；
（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立． 23．（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上
方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于
点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ⊥x 轴；
（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1 求证：直线AB 过定点．
数学Ⅰ参考答案及评分建议
一、填空题：本题考查基础知识、基本法．每小题5分，共70分．
1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2
2
1y x -=的离心率为▲.
2．若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲. 答案：1 + 2i
3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是▲. 答案：2，1
4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为▲. 答案：0.02
5．设全集U =Z ，集合{}
220A x x x x =--∈Z ≥，，则U
A =▲（用列举法表示）.
答案：{0，1}
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲.
答案：0
7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2
号盒子中各有1个球的概率为▲. 答案：29
8. 设P
是函数1)y x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为
θ，则θ
的取值范围是▲. 答案：)
ππ32
⎡⎢⎣， 9．如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数
y x =，12
y x =
，x
y =
的图象上，且矩形
的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为▲. 答案：()
1124，
10．观察下列等式：
311=，
（第9题）
(第13题)
33129+=， 33312336++=， 33331234100+++=，
……
猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+=▲（n ∈*N ）. 答案：2
(1)2n n +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点
G 为正方形
11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，
面积的最
大值为▲. 答案：12
12．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为▲.
答案：21π
-
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F1，F2分别为椭圆
2
222
1y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆 的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D . 若 127cos 25
F BF ∠=，则直线CD 的斜率为▲.
答案：1225
14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项
依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为▲. 答案： {}
58 37
，
A
（第16题）
B
C
D D 1 C 1
B 1
A 1
M
二、解答题
15．本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识，考查
运算求解能力．满分14分．
在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c.
（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；
（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.
解：（1）由正弦定理，得sin sin A a B b
=．
从而2sin cos sin A C B =可化为2cos a C b =． …………………………3分
由余弦定理，得22222a b c a b ab
+-⨯
=． 整理得a c =，即1a c =. ……………………………………………………7分
（2）在斜三角形ABC 中，A B C ++=π，
所以sin(2)3sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C π+-=π-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()sin 3sin A C A C --=+．……………………………………10分 故sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A C A C A C A C -+=+． 整理，得4sin cos 2cos sin A C A C =-， ………………………12分 因为△ABC 是斜三角形，所以sinAcosAcosC 0≠， 所以tan 1tan 2
A C =-．………………………………………14分
16．本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分 14分．
如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：
（1）1AA BD ⊥；
（2）11//BB DD .
证明：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ， 因为11A D A B =，AD AB =，
所以BD AM ⊥，1BD A M ⊥．…………………………3分
又1AM
A M M =，1AM A M ⊂、平面1A AM ，所以BD ⊥平面1A AM ．
而1AA ⊂平面1A AM ，
所以1AA BD ⊥.………………………………………7分 （2）因为11//AA CC ，
1AA ⊄平面11D DCC ，1CC ⊂平面11D DCC ，
所以1//AA 平面11D DCC ．………………………………9分 又1AA ⊂平面11A ADD ，平面11A ADD 平面111D DCC DD =，………11分
所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ，
所以11//BB DD ．…………………………………………14分
17．本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问
题的能力．满分14分．
将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆
沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．
（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25
小时，种植一捆沙棘树苗
用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？
（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25
小时， 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23
小时，于是从A 组抽调6名志愿者
加入B 组继
续种植，求植树活动所持续的时间.
（第18题）
解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，
则A 组活动所需时间2
150605()f x x x ⨯==；…………………………2分 B 组活动所需时间1
2001002()5252g x x x ⨯=
=--．………………………4分 令()()f x g x =，即6010052x x =-，解得392
x =．
所以两组同时开始的植树活动所需时间
**6019()10020.
52x x x
F x x x x ⎧∈⎪=⎨
⎪∈-⎩N N ≤， ，，
，≥，…………………………………6分 而60(19)19F =，25(20)8
F =，故(19)(20)F F >． 所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最
短．………………8分
（2）A 组所需时间为1+2150201
6532067
⨯-⨯=-（小时），…………………10分 B 组所需时间为2200321
23133263⨯-⨯+=+（小时），………………12分 所以植树活动所持续的时间为637
小时．………………………14分
18．本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考
查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16分．
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．
（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 65
，求直线l 的方程；
（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；
②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．
解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．
因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65
，而圆2C 的半径为1，
所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=
45
=． (3)
分
化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34
k =．
所以直线l 的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．…………………………………6分 （2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =，
= 化简得30x y +-=，
即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．…………………………………………10分
②圆C 过定点，设(3)C m m -，，
则动圆C
=
于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．…………………………………………14分
由22
10 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，
得1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=+⎩
或1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
所以定点的坐标为(1
，(1+．………………………16分 19．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方
法进行探究、分析与解决问题的能力．满分16分．
已知函数()sin f x x x =+．
（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．
解：（1）由题意，得()1cos 0f x x '=+≥． 所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．
设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有
12
12
0y y x x ->-，即0PQ k >．………………………………6分 （2）当0a ≤时，()sin 0cos f x x x ax x =+≥≥恒成立．………………………………………8分 当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-， ()1cos (cos sin )g'x x a x x x =+-- 1(1)cos sin a x ax x =+-+．
①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>， 所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦
，上为单调增函数．
所以()(0)0sin00cos00g x g a =+-⨯⨯=≥，符合题意．……………………………10分 ②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+， 于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+． 因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥． 所以()h x 在π02⎡⎤⎣⎦
，上为单调增函数．
所以()
π(0)()2h h x h ≤≤，即π2()12
a h x a -+≤≤，
亦即π2()12a g'x a -+≤≤．……………………………………………………………12分
（i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，
所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦
，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题
意．…………14分
（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()
0π02
x ∈，，使得
当0(0 )x x ∈，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函数， 从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立．
综上所述，实数a 的取值范围为2a ≤．……………………………………………………16分
20．本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证
的能力．满分16分．
设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称
数列{n a }为“Jk 型”数列．
（1）若数列{n a }是“J2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；
（2）若数列{n a }既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列. 解：（1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()
13
8
2
12
a
q a ==， 所以()
4
1
2212
n n n a a q
--==．………………………………………………………………4分
（2）证明：由{n a }是“4J 型”数列，得
1a ，5a ，9a ，13a ，17a ，21a ，…成等比数列，设公比为t . …………………………6分
由{n a }是“3J 型”数列，得
1a ，4a ，7a ，10a ，13a ，…成等比数列，设公比为1α； 2a ，5a ，8a ，11a ，14a ，…成等比数列，设公比为2α； 3a ，6a ，9a ，12a ，15a ，…成等比数列，设公比为3α；
则
431311a t a α==，431725a t a α==，432139
a
t a α==． 所以123ααα==，不妨记123αααα===，且4
3
t α=． ……………………………12分
于是(32)1
1
3211
k k k a a
a α
----==，
2(31)1
223315111k k k k k a a a t a a ααα-
-----====，
131
3
23
3
39111
k k k k k a a a t a a α
α
α
----====，
所以1
1
n n a a -=，故{n a }为等比数列．……………………………………………16分 数学Ⅱ附加题参考答案及评分建议
21．【选做题】
A ．选修4—1：几何证明选讲
本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10
分．
如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC ，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足
为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长． 解：连接AD 、DO 、DB ．
由AE ∶EB =3∶1，得DO ∶OE =2∶1． 又DE ⊥AB ，所以60DOE ∠=．
故△ODB 为正三角形．……………………………5分 于是30DAC BDC ∠==∠．
而60ABD ∠=，故
30C BDC ∠==∠． 所以
DB BC == 在△OBD 中，3
2
DE =
=．……………………………………………………………10分
B ．选修4—2：矩阵与变换
本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
对应的变换下得到的直线过点
(41)P , ，
求实数k 的值．
解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即 . x y y x '=⎧⎨'=⎩
，
…………………………5分 代入直线y kx =，得x ky ''=．
将点(4 1)P ，代入上式，得k =4．……………………………………………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程
本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()
cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．
解：将圆sin a ρθ=化成普通方程为2
2
x y ay +=，整理，得()
2
22
2
4
a
a x y +-=． 将直线()
cos 1ρθπ+=4
化成普通方程为0x y --． ……………………………………6分
2a =
．解得4a =+．……………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲
本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥． 证明：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++………………………4分
333≥
27=27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）．………………………10分
22．【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满
分10分．
已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1n
n n a a n a +=∈+N ．
（1）求2a ，3a 的值；
（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．
（第23题）
（1）解：由题意，得2324 35
a a ==，． ……………………………………………2分 （2）证明：①当1n =时，由（1），知120a a <<，不等式成立．…………………4分 ②设当*()n k k =∈N 时，10k k a a +<<成立，………………………6分 则当1n k =+时，由归纳假设，知10k a +>．
而
()()1111211112121222()
011(1)(1)(1)(1)
k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-+--=
-==>++++++，
所以120k k a a ++<<，
即当1n k =+时，不等式成立．
由①②，得不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 成立． (10)
分
23．【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理
论证的能力．满分10分．
如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上
方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与
BD 交
于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ⊥x 轴；
（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．
解：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，
由题意，得
12
p
=，即2p =． 所以抛物线的标准方程为24y x =．………………………………3分 （2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y >，20y >．
由24y x =（0y >
），得y =
y '=．
所以切线AC
的方程为11)y y x x -=-，即1112()y y x x y -=-．
整理，得112()yy x x =+， ① 且C 点坐标为1( 0)x -，．
同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，② 且D 点坐标为2( 0)x -，．
由①②消去y ，得1221
12
M x y x y x y y -=-．…………………………………5分
又直线AD 的方程为1
212
()y y x x x x =++，③ 直线BC 的方程为2
112
()y y x x x x =
++． ④ 由③④消去y ，得1221
12
N x y x y x y y -=
-．
所以M N x x =，即MN ⊥x 轴． ……………………………………7分
（3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+．
所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+．
所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+． 故
直
线
AB 过定点(1 0)-，．………………………………………10分
一、选择题（每小题5分，共50分）
1.（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁UA=（）
A.∅
B.{2}
C.{5}
D.{2，5}
3.（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）
A.90cm2
B.129cm2
C.132cm2
D.138cm2
4.（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）
A.向右平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向左平移个单位
5.（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）
A.45
B.60
C.120
D.210
6.（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c.且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）
A.c≤3
B.3＜c≤6
C.6＜c≤9
D.c＞9
7.（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的图象可能是（）
A. B. C. D.
8.（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）
A.min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}
B.min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}
C.max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2
D.max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2
9.（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中.
（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；
（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）.
则（）
A.p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）
B.p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）
C.p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）
D.p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）
10.（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99.记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk （a98）|，k=1，2，3，则（）
A.I1＜I2＜I3
B.I2＜I1＜I3
C.I1＜I3＜I2
D.I3＜I2＜I1
二、填空题
11.（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是.
12.（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=.
13.（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是.
14.（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）.
15.（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.
16.（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是.
17.（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是.（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）
三、解答题
18.（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB
（1）求角C的大小；
（2）若sinA=，求△ABC的面积.
19.（14分）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=（n∈N*）.若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2.
（Ⅰ）求an和bn；
（Ⅱ）设cn=（n∈N*）.记数列{cn}的前n项和为Sn.
（i）求Sn；
（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.
20.（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=.
（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小.
21.（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.
（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.
22.（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）.
（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；
（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(12)
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共50分）
1.（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论.
【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，
故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；
当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，
故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；
综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；
故选：A.
【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题.
2.（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁UA=（）
A.∅
B.{2}
C.{5}
D.{2，5}
【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁UA.
【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，
则∁UA={2}，
故选：B.
【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题.
3.（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）
A.90cm2
B.129cm2
C.132cm2
D.138cm2
【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算.
【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，
其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，
四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，
∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）.
故选：D.
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.
4.（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）
A.向右平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向左平移个单位
【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可.
【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象.
故选：C.
【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查.
5.（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）
A.45
B.60
C.120
D.210
【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可.
【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20.f（3，0）=20；
含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；
含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；
含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；
∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120.
故选：C.
【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力.
6.（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c.且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）
A.c≤3
B.3＜c≤6
C.6＜c≤9
D.c＞9
【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围.
【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）
得，
解得，
则f（x）=x3+6x2+11x+c，
由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，
即6＜c≤9，
故选：C.
【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题.
7.（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的图象可能是（）
A. B. C. D.
【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象，比照后可得答案.
【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象为：
此时答案D满足要求，
当a＞1时，函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象为：
无满足要求的答案，
综上：故选D，
故选：D.
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键.
8.（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）
A.min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}
B.min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}
C.max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2
D.max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2
【分析】将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和﹣分别表
示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断.
【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；
对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|﹣|}=0，显然，不等式不成立；
对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|2，|﹣|2}=|+|2=4，而不等式右边=||2+||2=2，故C不成立，D选项正确.
故选：D.
【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法.
9.（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中.
（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；
（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）.
则（）
A.p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）
B.p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）
C.p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）
D.p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）
【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1，P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可.
【解答】解析：，
，
，所以P1＞P2；
由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，
所以，
==，
E（ξ1）﹣E（ξ2）=.
故选：A.
【点评】正确理解ξi（i=1，2）的含义是解决本题的关键.此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解.
10.（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99.记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk （a98）|，k=1，2，3，则（）
A.I1＜I2＜I3
B.I2＜I1＜I3
C.I1＜I3＜I2
D.I3＜I2＜I1
【分析】根据记Ik=|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk （a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案
【解答】解：由，故
==1，
由，故×=×＜1，
+
=，
故I2＜I1＜I3，
故选：B.
【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题.
二、填空题
11.（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是 6 .
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i 的值.
【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；
第二次循环S=2×1+2=4，i=3；
第三次循环S=2×4+3=11，i=4；
第四次循环S=2×11+4=26，i=5；
第五次循环S=2×26+5=57，i=6，
满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6.
故答案为：6.
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.
12.（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=.
【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得.
【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，，解得，，
所以.
故答案为：
【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式.
13.（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是[].
【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围.
【解答】解：由约束条件作可行域如图，
联立，解得C（1，）.
联立，解得B（2，1）.
在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）.
要使1≤ax+y≤4恒成立，
则，解得：1.
∴实数a的取值范围是.
解法二：令z=ax+y，
当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，
可得，即1≤a≤；
当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值，
①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合条件，舍去）
②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合条件，舍去）
综上所述即：1≤a≤；
故答案为：.
【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题.
14.（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 60 种（用数字作答）.
【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张.
【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；
一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，
共有24+36=60种.
故答案为：60.
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.
15.（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是（﹣∞，].
【分析】画出函数f（x）的图象，由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围.
【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：
由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2.
当a＜0时，f（a）=a2+a=（a+）2﹣≥﹣2恒成立；
当a≥0时，f（a）=﹣a2≥﹣2，即a2≤2，解得0≤a≤，
则实数a的取值范围是a≤，
故答案为：（﹣∞，].
【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.
16.（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是.
【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P （m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率.
【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则
与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），
∴AB中点坐标为（，），
∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，。