湖北省部分重点中学2019届高三第一次联考理数
2019届湖北省部分重点中学高三上学期开学考试数学(理)试题(解析版)
2019届湖北省部分重点中学高三上学期开学考试数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、单选题1．已知集合，,则=( )A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：求出集合，即可得到.详解：，选A.点睛：本题考查集合的交集运算，属基础题.2．已知复数满足，则（）A．B．C．D．【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B3．设等差数列的前项和为.若，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】又.可得，则故选D.4．已知命题：，，那么命题为（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】【分析】含有量词的命题的否定形式，量词换为相反，然后否定结论即可。
【详解】根据含有量词的命题的否定形式，则为，所以选C【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定，属于基础题。
A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：先化简得到，再求的值.详解：由题得所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6．执行程序框图，假如输入两个数是、，那么输出的=( )A．B．C．4 D．【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，的值，用裂项法即可得解．详解：模拟执行程序框图，可得是、，，满足条件，满足条件满足条件不满足条件 ，退出循环，输出 的值为4．故选C ．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基础题． 7．有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为( ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览的不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，即可求解概率.详解：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览，共有中不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，所以所求概率为，故选D.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．8．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【答案】B【解析】分析：利用函数的图象与性质求出和，写出函数的解析式，再求的对称轴和对称中心，从而可得结果.详解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为，，，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象，图象关于轴对称，，即，又，，令，解得，，得的图象关于点对称，故选B.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.9．已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据表达式的几何意义，画不等式表示的可行域，在可行域内找到最优解，然后代入点坐标求得参数m的值。
2019届湖北省部分重点中学上学期新高三起点考试数学(理科) (word版)
湖北省部分重点中学2018-2019学年度上学期新高三起点考试理 科 数 学 试 卷命题人： 武汉开发区一中一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合A ={x |x 2−3x +2≥0}，B ={x |log 3(x +2)<1},则A ∩B =( ) A. {x |−2<x <1} B. {x |x ≤1或x ≥2} C. {x |x <1} D. ∅ 2．已知复数z 满足(z −i )⋅(1+i )=2−i ，则 z ⋅z =（ ） A. 1 B. 12 C.√22D. √23．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 4=20，a 5=10，则a 16=（ ）A. −32B. 12C. 16D. 324．已知命题p ：∃x ∈R ，3x <x 3，那么命题¬p 为（ ）A.∀x ∈R ，3x <x 3B.∃x ∈R ，3x >x 3C.∀x ∈R ，3x ≥x 3D.∃x ∈R ，3x ≥x 3 5．已知函数f (x )=(e x +e −x )ln1−x 1+x−1，若f (a )=1，则f (−a )=（ ）A. 1B. −1C. 3D. −36．执行程序框图，假如输入两个数是S =1、k =2，那么输出的S =( )A. 1+√15B. √15C. 4D. √17 第11题图7．有4位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为( ） A. 34 B. 916 C. 89 D. 498．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)（ω>0，|φ|<π2），其图象相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数y =f(x)的图象向左平移3π16个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y =f(x)的图象（ ）1S S k k=-+A. 关于点(−π16,0)对称 B. 关于点(π16,0)对称C. 关于直线x =π16对称 D. 关于直线x =−π4对称9．已知x,y 满足约束条件{x −1≥0x −y ≤0x +y −m ≤0 ，若yx+1的最大值为2，则m 的值为( )A. 4B. 5C. 8D. 910．已知两点A (a,0),B (−a,0)(a >0)，若圆(x −√3)2+(y −1)2=1上存在点P ，使得∠APB =90°，则正实数a 的取值范围为（ ）A. (0,3]B. [1,3]C. [2,3]D. [1,2]11．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A.53B.C. D. 9412．己知函数f (x )=x e x，若关于x 的方程[f (x )]2+mf (x )+m −1=0 恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( ）A. (−∞,2)∪(2,+∞)B. (1−1e ,+∞) C. (1−1e ,1) D. (1,e ) 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．(x 2+2x)5的展开式中x 4项的系数为_______．14．函数f(x)=2sin(π4−x)cos(π4−x)+√3sin2x 的最小正周期为___________．15．如图所示，圆O 及其内接正八边形．已知 OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =e 1⃑⃑⃑ ，OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =e 2⃑⃑⃑ ，点P 为正八边形边上任意一点，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λe 1⃑⃑⃑ +μe 2⃑⃑⃑ ，λ、μ∈R ，则λ+μ的最大值为_____________________．第15题图 第16题图16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为__________．BAOP三、解答题（共70分。
湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三上学期第一次联考数学(理)试题(精编含解析)
）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】
【分析】
先根据角的终边经过的点，求得 cosa 的值，然后代入函数的解析式，求得对应的函数值.
( ) 【详解】由于角a 的终边经过点 P - 3, - 4 ，故 cosa =
-3
= - 3 ，故
(- 3)2 +(- 4)2 5
f
(cosa)
( ) 域内的点和 - 2, 0 连线的斜率比 y = 2x +2 的斜率要小，故 C 选项正确.所以选 C.
【点睛】本小题主要考查线性规划的 问题，考查方向有可行域的面积，点到直线的距离，两点连线的斜率还有特殊点等几个方向.属于基础题.
( ) ( ) ( ) { } 8.将向量列 a1 = x1, y1 ， a2 = x2 , y2 ，…， an = xn , yn 组成的系列称为向量列 an ，并记向量列
形式，通过解方程组求得这几个量来求得通项公式.
6.下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. $ x Î (0,p ) ，使得 2 +sin x = 2 成立． sin x
B. 命题 p ：任意 x Î R ，都有 cos x £ 1，则 Øp ：存在 x0 Î R ，使得 cos x0 £ 1．
C. 命题“若 a > 2 且 b > 2 ，则 a +b > 4 且 ab > 4 ”的逆命题为真命题．
( ) 画出可行域，通过求出可行域的面积、可行域内点到 x 轴的距离、可行域内点和 - 2, 0 连线的斜率的范围、
通过特殊点判断 x0 + y0 的值是否为 2 ，根据四个结果判断四个选项的正误. 【详解】画出可行域如下图所示：有图可知，可行域面积是无限大的，可行域内的点到 x 轴的距离也是没
湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三上学期第一次联考数学(理)试题
2019届高三第一次联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.3.设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.4.设函数，若角的终边经过点，则的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 95.已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列，数列的前项和满足，数列满足，则数列的前项和为（）A. 31B. 34C. 62D. 596.下列有关命题的说法正确的是（）A. ，使得成立．B. 命题：任意，都有，则：存在，使得．C. 命题“若且，则且”的逆命题为真命题．D. 若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．7.设不等式组表示的平面区域为，则（）A. 的面积是B. 内的点到轴的距离有最大值C. 点在内时，D. 若点，则8.将向量列，，…，组成的系列称为向量列，并记向量列的前项和为，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等和向量列.若，，则下列向量中与向量垂直的是（）A. B. C. D.9.函数的定义域为，且，对任意，在上是增函数，则函数的图象可以是（）A. B. C. D.10.已知函数，若函数的零点都在区间内，当取最小值时，等于（）A. 3B. 4C. 5D. 611.已知同时满足下列三个条件：①时最小值为，②是奇函数，③．若在上没有最大值，则实数的范围是（）A. B. C. D.12.已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于5，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则________．14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0．618，这一数值也可表示为．若，则__________．15.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为____________．（结果用区间．．表示）16.已知各项均为正数的两个无穷数列和满足：，且是等比数列，给定以下四个结论：①数列的所有项都不大于；②数列的所有项都大于；③数列的公比等于；④数列一定是等比数列。
2019届湖北省部分重点中学高三上学期开学考试数学(理)试题(解析版)(含答案)
2019届湖北省部分重点中学高三上学期开学考试数学（理）试题一、单选题 1．已知集合，,则=( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：求出集合 ，即可得到.详解：，选A.点睛：本题考查集合的交集运算，属基础题. 2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B3．设等差数列的前项和为.若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】又.可得，则故选D.4．已知命题：，，那么命题为（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】【分析】含有量词的命题的否定形式，量词换为相反，然后否定结论即可。
【详解】根据含有量词的命题的否定形式，则为，所以选C【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定，属于基础题。
5．已知函数，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：先化简得到，再求的值.详解：由题得所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6．执行程序框图，假如输入两个数是、，那么输出的=( )A．B．C．4 D．【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，的值，用裂项法即可得解．详解：模拟执行程序框图，可得是、，，满足条件，满足条件满足条件不满足条件，退出循环，输出的值为4．故选C．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基础题．7．有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览的不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，即可求解概率.详解：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览，共有中不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，所以所求概率为，故选D.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．8．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【答案】B【解析】分析：利用函数的图象与性质求出和，写出函数的解析式，再求的对称轴和对称中心，从而可得结果.详解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为，，，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象，图象关于轴对称，，即，又，，令，解得，，得的图象关于点对称，故选B.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标. 9．已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据表达式的几何意义，画不等式表示的可行域，在可行域内找到最优解，然后代入点坐标求得参数m的值。
湖北省部分重点中学2019届高三上学期起点考试数学(理)试题
湖北省部分重点中学2019学年度上学期高三起点考试考试时间：8月10日 14：00-16：00 本卷满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 . i 为虚数单位，512iz i=+, 则z 的共轭复数为 ( ) A. 2-iB. 2+iC. -2-iD. -2+i 2．若二项式 的展开式中的常数项为70，则实数a 可以为( )DA ．2B ．12C ．3．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 64. .直线:1l y k x =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“△ABO 的面积为12”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件5． 已知函数 y = 2sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a 的值不可能是( ) A. 56π B.π C. 76π D. 2π2x +ax8(第3题图)6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为－2，则k 的值为（ ） A. 1 B.－1 C. 2 D. --27.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(1D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D A B C -在xO y ，yO z ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）A 123S S S ==B 12S S =且 31S S ≠C 13S S =且 32S S ≠D 23S S =且 13S S ≠8．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率，则2C 的渐近线方程为( )A . 0x =B. 0y ±=C.20x y ±=D.20x y ±=9.已知向量 ， 满足=1， 与 的夹角为，若对一切实数 x ,≥ 恒成立，则 的取值范围是( ) A.B. C. D.10．已知()l n (1)l n (1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。
2019届湖北省高三1月联考测试数学(理)试题(word版)
湖北省2019年元月高考模拟调研考试理科数学一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C3.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】A4.已知等边内接于，为线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】A5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A6.若在上是增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C7.如图，边长为的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.【答案】C8.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】A9.已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B10.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D11.如图，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直线折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（）A. B. 以为直径的圆的面积大于C. 直线过抛物线的焦点D. 到直线的距离不大于2【答案】D二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设，满足约束条件，则的最大值为__．【答案】514.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______．【答案】1015.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.已知满足.且，则用以上给出的公式可求得的面积为____．【答案】16.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为__．【答案】三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列为递增数列，且，，数列的前项和为，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和为.【答案】(1) , (2)【解析】【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用错位相减法求出数列的和．【详解】（1）对于数列，即注意到为递增数列则∴对于数列，由得相减得又∵∴为定值∴数列和都是以4为公差的等差数列又∵∴在中令得∴，∴，（2）由（1）得∴∴【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)见证明 (2)见解析【解析】【分析】（1）推导出AB⊥AC，AP⊥AC，AB⊥PC，从而AB⊥平面PAC，进而PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD；（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD 上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，4﹣2．【详解】（1）∵在底面中，，且∴，∴又∵，，平面，平面∴平面又∵平面∴∵，∴又∵，，平面，平面∴平面（2）方法一：在线段上取点，使则又由（1）得平面∴平面又∵平面∴作于又∵，平面，平面∴平面又∵平面∴又∵∴是二面角的一个平面角设则，这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系且由（1）知是平面的一个法向量设则，∴，设是平面的一个法向量则∴令，则，它背向二面角又∵平面的法向量，它指向二面角这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证.某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣.（1）试完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？（2）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率.（3）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖，如下表所示.若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为，求随机变量的分布列及数学期望..【答案】（1）见解析；（2） (3)见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知数据得到列联表，求出K 2≈，从而作出判断；（2）利用互斥概率加法公式即可得到结果；（3）由题意，可知所有可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望值． 【详解】（1）由题得如下的列联表 ∴∴没有 （2）记事件从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有人有兴趣，则从这6名学生中随机抽取的3人中至少有2人有兴趣，且与互斥∴所求概率（3）由题意，可知所有可能取值有0，1，2，3，，，，所以的分布列是∴【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机事件概率分布列、数学期望、方差的求法，考查概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，过且垂直于轴的直线交椭圆于、两点，若.（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，且分别交直线和直线于、两点，试求的值.【答案】（1）（2）为定值【解析】【分析】（1）由通径公式得出，结合已知条件得出，再由c＝1，可求出a、b的值，从而得出椭圆的方程；（2）设切点为（x0，y0），从而可写出切线m的方程为，进而求出点M、N的坐标，将切点坐标代入椭圆方程得出x0与y0之间的关系，最后利用两点间的距离公式可求出答案．【详解】（1）由题得解得∴椭圆的方程为（2）设切点为则令得即令得即∴为定值【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，考查计算能力与推理能力，属于中等题．21.已知函数.（1）试讨论函数的导函数的零点个数；（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先对原函数求导，得到，再分类讨论即可得到单调性与极值，从而判断出导函数的零点个数；（2）设研究函数的单调性与最值即可.【详解】（1）解法一：由题得∴当时，是减函数且，∴此时有且只有一个零点当时，，此时没有零点当时∴（ⅰ）若则此时，函数没有零点（ⅱ）若则此时，函数有且只有一个零点（ⅲ）若则且，下面证明存在使①取下面证明，证明：设则，∴在上恒负∴在上是减函数∴在上，恒有∴在上是减函数∴，得证或②取下面证明，证明：设则∴在上是减函数∴，得证∴此时，函数有且只有两个零点综上，函数的零点个数解法二由题得当时，，此时没有零点当时导函数的零点个数等于函数与函数图象的交点个数设则当时，；当时，∴在上单调递增，在上单调递减∴又∵当时，，当时，（即，）∴图象如图∴当即时，有1个交点；当即时，有2个交点；当即时，有1个交点；当即时，没有交点.综上，函数的零点个数（2）设∴∴题设成立的一个必要条件是即当时，∴在上单调递减又∵在处连续（连续性在解题过程中可不作要求，下面第三行同） ∴，从而在上单调递减∴，∴实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值的思路；关于不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值来解．22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线与直线的极坐标方程（极径用表示，极角用表示）； （2）若直线与曲线相交，交点为、，直线与轴也相交，交点为，求的取值范围. 【答案】（1）曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为（2）【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换； （2）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可得到的取值范围． 【详解】（1）曲线即即即或由于曲线过极点 ∴曲线的极坐标方程为直线即即即直线的极坐标方程为（2）由题得设为线段的中点，圆心到直线的距离为则它在时是减函数∴的取值范围【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）画出函数的图象；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）写出f（x）的分段函数式，画出图象；（2）由题意可得2m+1≥f（x）﹣x的最小值，对x讨论去绝对值，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围．【详解】（1）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|，∴的图像如图（2）由（Ⅰ）得∴当时，∴题设等价于即【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查单调性的运用：求最值，属于中档题．。
湖北省部分重点中学2019届高三上学期起点考试理科数学试卷(含答案)
湖北省部分重点中学2018-2019学年度上学期新高三起点考试理科数学参考答案ABD C DCDB BBBC13.4014.π15．16．1003π 17．解：（1）； 当时，，当时，，不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2； 所以.………………6分 （2）当时，， 当时，，，时也满足，综上………………12分 18．解：（1）证明：取AP 中点M ，连,DM BM ，∵DA DP =，BA BP =∴PA DM ⊥，PA BM ⊥，∵DM BM M ⋂=∴PA ⊥面DMB ，又∵BD ⊂面DMB ，∴PA BD ⊥………………4分（2）∵DA DP =，BA BP =，DA DP ⊥，060ABP ∠=∴DAP ∆是等腰三角形，ABP ∆是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴1DM =，3BM =. ∴222BD MB MD =+，∴MD MB ⊥以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，………………6分则()1,0,0A -，()0,3,0B ，()1,0,0P ，()0,0,1D 从而得()1,0,1DP =-u u u v ，()1,3,0DC AB ==u u u v u u u v ，()1,3,0BP =-u u u v ，()1,0,1BC AD ==u u u v u u u v 设平面DPC 的法向量()1111,,n x y z =u v则11•0{ •0n DP n DC ==u v u u u v u v u u u v ，即11110{ 30x z x y -=+=，∴()13,1,3n =--u v ， 设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =u u v ，由22•0{ •0n BC n BP ==u u v u u u v u u v u u u v ，得22220{ 30x z x y +=-=，∴()23,1,3n =-u u v ∴121212•1cos<,7n n n n n n ==>u v u u v u v u u v u v u u v 设二面角D PC B --为α，∴21243sin 1cos ,7n n α<>=-=u v u u v ………………12分 19．解：x2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 y2 23 2 3 3 2 3 1 2 z3 3 3 2 2 3 2 3 1 2 w 7 8 9 5 7 8 6 84 6（1）由题可知:建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是. 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件.则22322245()41(|)()164C C P AB P B A P A C C +====+………………6分 (2)由题可知，数学核心素养一级的学生为:，非一级的学生为余下4人的所有可能取值为0,1，2，3.031264643310102131646433101013(0),(1)301011(2),(3)26C C C C P X P X C C C C C C P X P X C C ============随机变量的分布列为： 0 1 2 3………………10分………………12分20．解：（1）设直线，代入得： 设， 则； 由得： 线段AB 中点222(,)2121km m D k k -++,因为为的重心， 所以11()22AB OC AB OD k k k k k k ==⨯-=-为定值.………………6分 点差法求证相应给分.（2）设，则代入得，又， 原点到的距离 于是所以（定值）.………………12分21．解：（Ⅰ）()21212(0).ax f x ax x x x-=-=>'………………1分 0a ≤当时，()f x '<0，()f x 在0+∞（，）内单调递减.………………2分0a >当时，由()f x '=0有x =. 当x ∈（时，()f x '<0，()f x 单调递减； 当x ∈+)∞时，()f x '＞0，()f x 单调递增.………………4分 （Ⅱ）11()x x e x g x xe---= 令()s x = 1e x x --，则()s x '=1e 1x --.当1x >时，()s x '＞0，所以()s x 单调递增，又()10s =，()0s x ∴>， 从而1x >时，()g x =111ex x --＞0.………………7分 （Ⅲ）由（Ⅱ），当1x >时，()g x ＞0.当0a ≤，1x >时，()f x = ()21ln 0a x x --<.故当()f x ＞()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >.………………8分 当102a <<＞1. 由（Ⅰ）有()10f f <=,而0g >， 所以此时()f x ＞()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立.………………10分 当12a ≥时，令()h x = ()f x ()g x （1x ≥）. 当1x >时，()h x '=122111112e x ax x x x x x x--+->-+-=322221210x x x x x x -+-+>>. 因此，()h x 在区间1+)∞（，单调递增.又因为()1h =0，所以当1x >时，()h x = ()f x ()g x ＞0，即()f x ＞()g x 恒成立.综上，a ∈1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，.………………12分 22．解： （Ⅰ）由，得， 故直线的普通方程为，由，得， 所以，即， 故曲线的普通方程为.………………5分（Ⅱ）据题意设点，则，所以的取值范围是.………………10分23．解：（Ⅰ）当时，知21(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，不等式 等价于1212x x x <-⎧⎨-+>+⎩或1232x x -≤<⎧⎨>+⎩或2212x x x ≥⎧⎨->+⎩解得：13x x <>或 故原不等式的解集为{|13}x x x <>或.………………5分 （Ⅱ），当时取等号. 若关于的不等式的解集不是空集，只需 解得，即实数的取值范围是………………10分。
湖北省八所名校2019届高三第一次联考试题(数学理)
湖北省鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 八中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2019届高三八校第一次联考数学（理科）试题2018年12月12日下午15：00—17:00第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|||1}A x x =≥，{},B y y ==，则A B = （ ） A.[1,2]B.[1,)+∞C.(,1][1,2]-∞-D.[0,1]2.已知复数2iz i=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）B.C.D. 3.设log a =2019log b =120192018c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.c b a >>4.设函数540()03x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，若角α的终边经过点(3,4)P --，则[(c o s )]f f α的值为（ ）A.1B.3C.4D.95.已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且247,,a a a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和n S 满足()2n n S n N *=∈，，数列{}n c 满足(),n n n c a b n N *=∈，则数列{}n c 的前3项和为（ ） A.31 B.34 C.62 D.596.下列有关命题的说法正确的是（ ） A.(0,)x π∃∈，使得2sin 2sin x x+=成立. B.命题p ：任意x R ∈，都有cos 1x ≤，则p ⌝：存在0x R ∈，使得0cos 1x ≤. C.命题“若2a >且2b >，则4a b +>且4ab >”的逆命题为真命题.D.若数列{}n a 是等比数列，*,,m n p N ∈则2m n p a a a ⋅=是2m n p +=的必要不充分条件.7.设不等式组02201x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为w ，则（ ）A.w 的面积是92B. w 内的点到x 轴的距离有最大值C. 点(,)A x y 在w 内时，22yx <+ D. 若点00(,)p x y w ∈，则002x y +≠ 8.将向量列111222(,),(,),(,)n n n a x y a x y a x y ==⋅⋅⋅= 组成的系列称为向量列{}n a，并记向量列{}n a 的前n 项和为123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量 p，那么称这样的向量列为等和向量列。
湖北省部分重点中学2019届高三第一次联考数学(理)试题(含答案)
湖北省部分重点中学2019届高三第一次联考高三数学试卷参考答案：一、选择题CCABD CDABC DA二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：(1),,……6分(2)，则，故，……8分，……10分又，……12分18.解:已知得①当时，②由①－②，得……4分在①中，令，得，……5分．……6分由题意知，数列的公差为.时……10分当时，也符合上式，……11分综上，，.……12分19.(1)由图可知，所以，又因为，所以，又因为，因为，所以.所以函数，令，解得，所以函数的单调递增区间为.……6分(2)，由余弦定理得所以，当且仅当等号成立，即，有.……12分20.解:(1)由已知得：，∴，∴．此时，令；的单调递增区间是，单调递减区间是……6分(2),当时，在上恒成立，在上单调递增，，故问题等价于：对任意的，不等式恒成立．即恒成立记，（），则，令，则所以，所以故，所以在上单调递减所以即实数的取值范围为．……12分21.解：由①得②①②得，，即,由，得，对任意都成立数列为首项为1，公比为2的等比数列.……4分(2)由(1)知，①由，得，即，即，，数列是首项为1，公差为1的等差数列．，．②设，则，，两式相减，得，所以．……8分由，得，即．显然当时，上式成立，设，即．因为，所以数列单调递减，所以只有唯一解，所以存在唯一正整数，使得成立．……12分22.解:⑴当时，函数，．，曲线在点处的切线的斜率为．从而曲线在点处的切线方程为，即．……3分⑵．令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即时，∴在内为增函数，正实数的取值范围是．……6分⑶∵在上是减函数，∴时,;时，，即，①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数．当时，，因为，所以，，此时，在内是减函数．故∴当时，在上单调递减，不合题意；②当时，由，所以．又由⑵知当时，在上是增函数，∴，不合题意；③当时，由⑵知在上是增函数，，又在上是减函数，故只需，，而，，即，解得综上所述,实数的取值范围是．……12分。
2019届湖北省黄冈、华师附中等八校高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
2019届高三第一次联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得集合A中绝对值不等式的解集，再求的集合B中函数的值域，最后取它们的交集.【详解】对于集合A，或，对于集合B，由于，所以.所以.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查集合的研究对象，考查绝对值不等式的解法等知识，属于基础题.含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即的解是，的解是或.在研究一个集合时，要注意集合的研究对象，如本题中集合B，研究对象是函数的值域.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数除法的运算化简复数，然后求得其虚部.【详解】依题意，故虚部为，所以选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法和乘法运算，考查复数实部和虚部的识别，属于基础题.3.设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.4.设函数，若角的终边经过点，则的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】【分析】先根据角的终边经过的点，求得的值，然后代入函数的解析式，求得对应的函数值.【详解】由于角的终边经过点，故，故，.故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查复合函数求值以及分段函数求值，属于基础题.5.已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列，数列的前项和满足，数列满足，则数列的前项和为（）A. 31B. 34C. 62D. 59【答案】B【解析】【分析】利用基本元的思想求得的通项公式，利用求得的通项公式.再利用列举法求得的前项和.【详解】由于成等比数列，故，即，由于，解得，故.当时，，当时，，故.故的前项和为，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查已知求的方法，考查数列求和等知识，属于中档题.要求数列的通项公式，如果已知数列为等差或者等比数列，则将已知条件转化为或者的形式，通过解方程组求得这几个量来求得通项公式.6.下列有关命题的说法正确的是（）A. ，使得成立．B. 命题：任意，都有，则：存在，使得．C. 命题“若且，则且”的逆命题为真命题．D. 若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．【答案】D【解析】【分析】对于A选项，方程无解，由此判断命题不成立.对于B选项，用全称命题的否定是特称命题来判断是否正确.对于C选项，写出逆命题后判断命题是否为真命题.对于D选项，利用等比数列的性质，并举特殊值来判断命题是否为真命题.【详解】由，得，其判别式，此方程无解，故A选项错误.对于B选项，全称命题的否定是特称命题，应改为，故B选项错误.对于C选项，原命题的逆命题是“若且，则且”，如，满足且但不满足且，所以为假命题.对于D选项，若，为等比数列，，但；另一方面，根据等比数列的性质，若，则.所以是的必要不充分条件.故选D.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的概念，考查命题真假性的判断，考查等比数列的性质以及充要条件的判断.属于中档题.7.设不等式组表示的平面区域为，则（）A. 的面积是B. 内的点到轴的距离有最大值C. 点在内时，D. 若点，则【答案】C【解析】【分析】画出可行域，通过求出可行域的面积、可行域内点到轴的距离、可行域内点和连线的斜率的范围、通过特殊点判断的值是否为，根据四个结果判断四个选项的正误.【详解】画出可行域如下图所示：有图可知，可行域面积是无限大的，可行域内的点到轴的距离也是没有最大值的，故两个选项错误.注意到在可行域内，而，故D选项错误.有图可知，可行域内的点和连线的斜率比的斜率要小，故C选项正确.所以选C.【点睛】本小题主要考查线性规划的问题，考查方向有可行域的面积，点到直线的距离，两点连线的斜率还有特殊点等几个方向.属于基础题.8.将向量列，，…，组成的系列称为向量列，并记向量列的前项和为，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等和向量列.若，，则下列向量中与向量垂直的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等和向量列的概念，求出，归纳出规律，由此求得的值，通过向量数量积为零验证出正确选项.【详解】根据等和向量列的概念，，故，，故奇数项都为，偶数项都为.故.注意到可知，C选项正确.故选C.【点睛】本小题考查对新定义的理解和运用，采用的方法是通过列举法找到规律，然后利用这个规律来求和.属于基础题.9.函数的定义域为，且，对任意，在上是增函数，则函数的图象可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对于四个选项，举出对应的具体函数，然后利用函数的单调性验证是否在上递增，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，取，则，由于，故，故为增函数，符合题意.对于B选项，取，则，由于，故为减函数，不符合题意.对于C选项，取，则，这是一个开口向上的二次函数，在对称轴两侧单调性相反，不符合题意.对于D选项，取，则，是常数函数，不符合题意.综上所述，选A.【点睛】本小题考查函数的图像与性质，考查利用特殊值法解选择题，考查了函数单调性.属于中档题.10.已知函数，若函数的零点都在区间内，当取最小值时，等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】先求得函数是单调递增函数，并用零点存在性定理求得函数零点所在的区间，零点向右移个单位后得到的零点，由此求得的最小值，最后求定积分即可得出选项.【详解】依题意，化简为，可知，当时，，且当时，根据等比数列求和公式，有，故函数在上为增函数.，故函数零点在区间内，所以零点在内.故.故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调性，考查利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，考查函数图像平移变换，以及定积分的有关计算，还考查了等比数列求和公式，综合性很强，属于难题.函数求导后，是一个有规律的式子，类似于等比数列，但要注意的是，要考虑公比是否为，公比不为时可利用等比数列前项和公式求和.11.已知同时满足下列三个条件：①时最小值为，②是奇函数，③．若在上没有最大值，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】条件①表示函数的半周期为，由此求得的值. 条件②③可以求出的值，求得函数解析式后，结合函数图像可求得的取值范围.【详解】由于函数的最大值为，最小值为，故条件①表示函数的半周期为，周期为，故.故，根据条件②，有是奇函数，故，.根据条件③，，即，故为偶数，不妨设，由此求得函数的表达式为.画出图像如下图所示，，由图可知，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查根据已知条件求类型三角函数的解析式，考查三角函数的图像与性质，属于中档题.12.已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于5，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，将已知“直线的斜率的绝对值都不小于”，去绝对值.然后构造函数，利用导数求得函数的单调区间，利用一元二次不等式恒成立问题的解法，求得的取值范围.【详解】，在单调递减.，，.设，则.设，则在上单调递减，则对恒成立.则对恒成立，则，即，解之得或.又，所以.【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的化简.属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则________．【答案】【解析】【分析】利用向量的数量积求得参数的值，代入向量模的公式求得所求.【详解】根据，解得，故.. 【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量的加法和减法的坐标运算，还考查了向量模的运算，属于基础题.14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0．618，这一数值也可表示为．若，则__________．【答案】【解析】【分析】利用已知得，代入所求表达式，利用二倍角公式化简后，可求得表达式的值.【详解】由得，代入所求表达式，可得.【点睛】本小题主要考查方程的思想，考查同角三角函数关系，考查二倍角公式以及诱导公式.属于中档题.15.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为____________．（结果用区间．．表示）【答案】【解析】【分析】构造函数，求导后利用已知条件得到函数的单调性，由此求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，故函数在上单调递减，且，故不等式可变为，即，解得.【点睛】本小题主要考查利用函数导数求解不等式，考查构造函数法，属于中档题.在阅读题目过程中，提供一个函数值，给的是函数导数小于零，这个可以说明一个函数是递减函数，由此可以考虑构造函数，因为，就可以把已知和求串联起来了.16.已知各项均为正数的两个无穷数列和满足：，且是等比数列，给定以下四个结论：①数列的所有项都不大于；②数列的所有项都大于；③数列的公比等于；④数列一定是等比数列。
湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
2019届高三第一次联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）{}1A x x =³{B y y ==A B Ç=A. B.C.D. [1,2][1,)+¥(,1][1,2]-¥-È[0,1]【答案】A 【解析】【分析】先求得集合A 中绝对值不等式的解集，再求的集合B 中函数的值域，最后取它们的交集.【详解】对于集合A ，或，对于集合B ，由于，所以.所以1x £-1x ³03sin 14x £+£02y ££.故选A.[]1,2A B Ç=【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查集合的研究对象，考查绝对值不等式的解法等知识，属于基础题.含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即的解是，x a £a x a -££的解是或.在研究一个集合时，要注意集合的研究对象，如本题中集合B ，研究对象是x a ³x a £-x a ³函数的值域.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）z i zB. D. --【答案】B 【解析】【分析】利用复数除法的运算化简复数，然后求得其虚部.z【详解】依题意，故虚部为，所以选B.12z ==---【点睛】本小题主要考查复数的除法和乘法运算，考查复数实部和虚部的识别，属于基础题.3.设，，则的大小关系是（ ）2018log a =2019log b =120192018c =,,a b c A. B. C.D. a b c >>a c b >>c a b >>c b a>>【答案】C 【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.1,,1c a b ><,a b 11,22a b ><,,a b c 【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于02018201920181,log 20181,log 20191c a b >=<=<=c ，而，故.综上所述20182018111log 2019log 2018222a =>=20192019111log 2018log 2019222b =<=a b >，故选C.c a b >>【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分121段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于1121的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.124.设函数，若角的终边经过点，则的值为（ ）540()30x x x f x x ì+<ï=í³ïîa (3,4)P --[(cos )]f f a A. 1B. 3C. 4D. 9【答案】B 【解析】【分析】先根据角的终边经过的点，求得的值，然后代入函数的解析式，求得对应的函数值.cos a 【详解】由于角的终边经过点，故，故a ()3,4P --3cos 5a =-，.故选B.()3cos 3415f f a æöç÷=-=-+=ç÷èø()1133f ==【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查复合函数求值以及分段函数求值，属于基础题.5.已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列，数列的前项和满足0{}n a 13a =247,,a a a {}n b n n S，数列满足，则数列的前项和为（ ）2()n n S n N *=Î，{}n c ,()n n n c a b n N *=Î{}n c 3A. 31B. 34C. 62D. 59【答案】B 【解析】【分析】利用基本元的思想求得的通项公式，利用求得的通项公式.再利用列举法求得n a 11,1,2n n n S n b S S n -ì=ï=í-³ïîn b 的前项和.n c 3【详解】由于成等比数列，故，即，由于，解247,,a a a 2427a a a =×()()()211136a dad a d +=++13a =得，故.当时，，当时，，故1d =2n a n =+2n ³111222n n n n n n b S S ---=-=-=1n =11122b S ===.故的前项和为，故选B.12,12,2n n n b n -ì=ï=í³ïîn c 311223332425434a b a b a b ++=´+´+´=【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查已知求的方法，考查数列求和等知识，属于n S n a 中档题.要求数列的通项公式，如果已知数列为等差或者等比数列，则将已知条件转化为或者的1,a d 1,a q 形式，通过解方程组求得这几个量来求得通项公式.6.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. ，使得成立．(0,)x p $Î2sin 2sin x x+=B. 命题：任意，都有，则：存在，使得．p x R Îcos 1x £p Ø0x R Î0cos 1x £C. 命题“若且，则且”的逆命题为真命题．2a >2b >4a b +>4ab >D. 若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．{}n a *,,m n p N Î2m n p a a a ×=2m n p +=【答案】D 【解析】【分析】对于A 选项，方程无解，由此判断命题不成立.对于B 选项，用全称命题的否定是特称命题来判断是否正确.对于C 选项，写出逆命题后判断命题是否为真命题.对于D 选项，利用等比数列的性质，并举特殊值来判断命题是否为真命题.【详解】由，得，其判别式，此方程无解，故A 选2sin 2sin x x+=2sin 2sin 20x x -+=4880D=-=-<项错误.对于B 选项，全称命题的否定是特称命题，应改为，故B 选项错误.对于C 选项，0cos 1x £0cos 1x >原命题的逆命题是“若且，则且”，如，满足且但不4a b +>4ab >2a >2b >1,5a b ==4a b +>4ab >满足且，所以为假命题.对于D 选项，若，为等比数列，，但；2a >2b >1n a =2123a a a ×=1223+¹´另一方面，根据等比数列的性质，若，则.所以是的必要2m n p +=2m n p a a a ×=2m n p a a a ×=2m n p +=不充分条件.故选D.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的概念，考查命题真假性的判断，考查等比数列的性质以及充要条件的判断.属于中档题.7.设不等式组表示的平面区域为，则（ ）02201x y x y x ì-£ïï-+³íï³ïîw A. 的面积是 B. 内的点到轴的距离有最大值w 92w x C. 点在内时， D. 若点，则(,)A x y w 22yx <+00(,)p x y w Î002x y +¹【答案】C 【解析】【分析】画出可行域，通过求出可行域的面积、可行域内点到轴的距离、可行域内点和连线的斜率的范围、x ()2,0-通过特殊点判断的值是否为，根据四个结果判断四个选项的正误.00x y +2【详解】画出可行域如下图所示：有图可知，可行域面积是无限大的，可行域内的点到轴的距离也是没x 有最大值的，故两个选项错误.注意到在可行域内，而，故D 选项错误.有图可知，可行,A B ()1,1112+=域内的点和连线的斜率比的斜率要小，故C 选项正确.所以选C.()2,0-22y x =+【点睛】本小题主要考查线性规划的问题，考查方向有可行域的面积，点到直线的距离，两点连线的斜率还有特殊点等几个方向.属于基础题.8.将向量列，，…，组成的系列称为向量列，并记向量列()111,a x y =()222,a x y =(),n n n a x y ={}n a 的前项和为，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一{}n a n 123n n S a a a a =++++ 个向量，那么称这样的向量列为等和向量列.若，，则下列向量中与向量垂直的p ()11,0a =()1,1p =31S 是（ ）A. B. C. D. ()16,15()31,30()15,16-()16,15-【答案】C 【解析】【分析】利用等和向量列的概念，求出，归纳出规律，由此求得的值，通过向量数量积为零验证出正234,,a a a 31S 确选项.【详解】根据等和向量列的概念，，故，1n n a p a +=-()()()21,11,00,1a =-=，故奇数项都为，偶数项都为.故()()()321,10,11,0a p a =-=-=()1,0()0,1.注意到可()()()()311331243016,0(0,15)16,15S a a a a a a =+++++++=+= ()()16,1515,160×-=知，C 选项正确.故选C.【点睛】本小题考查对新定义的理解和运用，采用的方法是通过列举法找到规律，然后利用这个规律来求和.属于基础题.9.函数的定义域为，且，对任意，在上是增函数，()y f x =R ()()()x f x f x a j=-+0a <()x j R 则函数的图象可以是（ ）()y f x =A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】对于四个选项，举出对应的具体函数，然后利用函数的单调性验证是否在上递增，由此得()f x ()x j R 出正确选项.【详解】对于A 选项，取，则，由于，故()2xf x =()()22222122xx a x a x a x x j+=-=-×=-×0a <，故为增函数，符合题意.对于B 选项，取，则120a ->()()122a x x j =-×()122x f x æöç÷=-+ç÷èø，由于，故为减函数，不符合()11111122222x a x a x x jæöç÷=-+×=-×ç÷èø10,102aa -()11122a x x j æöç÷=-×ç÷èø题意.对于C 选项，取，则，这是一个开口向上的二次()3f x x =()()332233x x x a ax a x a j=-+=---函数，在对称轴两侧单调性相反，不符合题意.对于D 选项，取，则，是常数函数，()f x x =()x a j =-不符合题意.综上所述，选A.【点睛】本小题考查函数的图像与性质，考查利用特殊值法解选择题，考查了函数单调性.属于中档题.10.已知函数，若函数的零点都在区间234567()1234567x x x x x x f x x =+-+-+-+()(3)h x f x =-内，当取最小值时，等于（ ）(,)(,,)a b a b a b Z <Îb a -(21)ba x dx -òA. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B 【解析】【分析】先求得函数是单调递增函数，并用零点存在性定理求得函数零点所在的区间，零点向右移()f x ()f x 个单位后得到的零点，由此求得的最小值，最后求定积分即可得出选项.3()3f x -b a -【详解】依题意，化简为，()234561f x x x x x x x =-+-+-+¢()()()()246111f x x x x x x x =-+-+-+¢可知，当时，，且当时，根据等比数列求和公式，有1x £-()0f x ¢>1x >-，故函数在上为增函数.()()7711011x x f x xx--+=++¢=>()f x R ，故函数零点在区间内，所以零()()111111010,10234567f f =>-=------<()f x ()1,0-()3f x -点在内.故.故选B.()2,3()()3232221|624x dx xx -=-=-=ò【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调性，考查利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，考查函数图像平移变换，以及定积分的有关计算，还考查了等比数列求和公式，综合性很强，属于难题.函数求导后，是一个有规律的式子，类似于等比数列，但要注意的是，要考虑公比是否为，公比不为()f x 1时可利用等比数列前项和公式求和.1n 11.已知同时满足下列三个条件：()sin()3f x x pw j =++①时最小值为，②是奇函数，③．12()()2f x f x -=12x x -2p()3y f x p=-(0)()6f f p>若在上没有最大值，则实数的范围是（ ）()f x [)0,t t A. B. C. D. 0,6p æùçúçúèû110,6p æùçúçúèû11,612p p æùçúçúèû511,612p p æùçúçúèû【答案】D 【解析】【分析】条件①表示函数的半周期为，由此求得的值. 条件②③可以求出的值，求得函数解析式后，结合函π2w j 数图像可求得的取值范围.t 【详解】由于函数的最大值为，最小值为，故条件①表示函数的半周期为，周期为，故.故11-π2π2w =，根据条件②，有是奇函数，故()πsin 23f x x j æöç÷=++ç÷èøπππsin 2sin 2333x x j j éùæöæöêúç÷ç÷-++=+-ç÷ç÷êúèøèøëû，.根据条件③，，即πππ,π33k k j j -==+()2πsin 2π3f x x k æöç÷=++ç÷èø()π06f f æöç÷>ç÷èø，故为偶数，不妨设，由此求得函数的表达式为[]2πsin πsin ππ03k k æöç÷+>+=ç÷èøk 0k =()f x .画出图像如下图所示，，由图可知，的取值()2πsin 23f x x æöç÷=+ç÷èø()5π11π01612f f f æöæöç÷ç÷==ç÷ç÷èøèøt 范围是.511,612p p æùçúçúèû【点睛】本小题主要考查根据已知条件求类型三角函数的解析式，考查三角函数的图像与性质，属()sin A x w j +于中档题.12.已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率()()()2ln 110h x a x a x a =+++<()h x ,A B AB 的绝对值都不小于5，则实数的取值范围是（ ）a A. B. C. D. (),0-¥æç-¥çèæç-¥çèö÷÷ø【答案】B 【解析】【分析】先对函数求导，将已知“直线的斜率的绝对值都不小于”，去绝对值.然后构造函数，AB 5()()5f x h x x =+利用导数求得函数的单调区间，利用一元二次不等式恒成立问题的解法，求得的取值范围.()f x a 【详解】，在单调递减.()()2210a x ah x x¢-+=<()h x ()0,+¥，，.设，则.()11,A x y ()22,B x y ()()12125h x h x x x -³-120x x >>()()112255h x x h x x +£+设，则在上单调递减，()()5f x h x x =+()f x ()0,+¥则对恒成立.()()22150a x x af x x¢-++=£()0,x Î+¥则对恒成立，则，即，()22150a x x a -++£()0,x Î+¥0D£288250aa --³解之得或a £a ³又，所以.0a <a £【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的化简.属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则________．(,0),(1,2)a t b ==- 2a b ×=- 2a b -=【答案】【解析】【分析】利用向量的数量积求得参数的值，代入向量模的公式求得所求.t 【详解】根据，解得，故.02a b t ×=-+=-2t =()2,0a =.()()()22,02,44,4a b -=--=-==【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量的加法和减法的坐标运算，还考查了向量模的运算，属于基础题.14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0．618，这一数值也可表示为． 若__________．2sin18m =°24m n +==【答案】16-【解析】【分析】利用已知得，代入所求表达式，利用二倍角公式化简后，可求得表达222444sin 184cos 18n m =-=-=式的值.【详解】由得，代入所求表达式，可得24m n +=222444sin 184cos 18n m =-=-=.212cos 27cos54sin 36132sin182cos186sin 366sin 366---===-×× 【点睛】本小题主要考查方程的思想，考查同角三角函数关系，考查二倍角公式以及诱导公式.属于中档题.15.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数满足，则不等R ()f x (1)0f =()f x ()f x ¢()10f x ¢+<式的解集为____________．（结果用区间表示）(ln )ln 1f x x +>【答案】()0,e 【解析】【分析】构造函数，求导后利用已知条件得到函数的单调性，由此求得不等式()()h x f x x =+()h x 的解集.()ln ln 1f x x +>【详解】构造函数，依题意可知，故函数在上单调递减，()()h x f x x =+()()10h x f x ¢+¢=<()h x R 且，故不等式可变为，即，解得.()()1111h f =+=()ln ln 1f x x +>()()ln 1h x h >ln 1x <()0,x e Î【点睛】本小题主要考查利用函数导数求解不等式，考查构造函数法，属于中档题.在阅读题目过程中，提供一个函数值，给的是函数导数小于零，这个可以说明一个函数是递减函数，由此()1f ()10f x ¢+<可以考虑构造函数，因为，就可以把已知和求串联起来了.()()h x f x x =+()()10h x f x ¢+¢=<16.已知各项均为正数的两个无穷数列和满足：，且{}n a {}nb 1n a +1n n n bb n N a *+×Î，是等比数列，给定以下四个结论：①数列；②数列的所有项都大于{}n a {}na {}nb 的公比等于；④数列一定是等比数列。
湖北省2019届高三数学1月联考测试试题理(含解析)
湖北省2019届高三数学1月联考测试试题理（含解析）一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】解：由2+i＝z（1﹣i），得z，∴，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求y＝3x，x∈R，y，x∈R的值域，得：A＝（0，+∞），B＝[0，2]，再求交集即可．【详解】解：由y＝3x，x∈R，得y＞0，即A＝（0，+∞），由y，x∈R，得：0≤y≤2，即B＝[0，2]，即A∩B＝（0，2]，故选：C．【点睛】本题考查了求函数值域及交集的运算，考查指数函数与幂函数的图象与性质，属简单题．3.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数为偶函数，再求出f（1）即可判断【详解】f（﹣x）f（x），则函数f（x）为偶函数，故排除C、D，当x＝1时，f（1）0，故排除B，故选：A．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.已知等边内接于，为线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．【详解】解：如图所示，设BC中点为E，则（）•．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：v，．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型．6.若在上是增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m的最大值．【详解】解：若f（x）＝sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x）在[﹣m，m]（m＞0）上是增函数，∴﹣m，且m．求得m，且m，∴m，故m的最大值为，故选：C．【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于中档题．7.如图，边长为的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．【详解】如图所示，边长为a的正六边形，则OA＝OB＝AB＝a，设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，∴OC a，∴O'C a，OO'a，∴OD a，∴S阴影＝12[a•aπ•（a）2]＝（）a2，S正六边形a2，∴点恰好取自阴影部分的概率P，故选：C．【点睛】本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．8.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x＝2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a＝b，进而得到双曲线的离心率．【详解】由题意可得A（a，0），A为线段OB的中点，可得B（2a，0），令x＝2a，代入双曲线的方程可得y＝±b，可设P（2a，b），由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（﹣a，0），即|AP|＝2a，即有2a，可得a＝b，e，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9.已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由偶函数的定义和条件，将x换为x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期为4，即可判断①②的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x换为﹣x，化简变形即可判断③④的正确性．【详解】解：偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），即为f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，故①错误；②正确；由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1），又f（﹣x﹣1）＝f（x+1），即有f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），故f（x﹣1）为奇函数，故③正确；由f（﹣x﹣3）＝f（x+3），若f（x﹣3）为偶函数，即有f（﹣x﹣3）＝f（x﹣3），可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．10.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tan A＝3tan B，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．【详解】解：∵a cos B﹣b cos A，∴由正弦定理化简得：sin A cos B﹣sin B cos A sin C sin（A+B）sin A cos B cos A sin B，整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，∴cos A cos B＞0，∴tan A＝3tan B；∴则222．∴可得的最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．11.如图，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直线折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，由此能求出x的取值范围．【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（）A. B. 以为直径的圆的面积大于C. 直线过抛物线的焦点D. 到直线的距离不大于2【答案】D【解析】【分析】由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．【详解】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，﹣y0），由斜率之积为，可得，即，∴MN的直线方程为x＝2；当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，可得ky2﹣y+m＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，即m＝﹣2k．∴直线方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）．则直线MN过定点（2，0）．则O到直线MN的距离不大于2．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设，满足约束条件，则的最大值为__．【答案】5【解析】【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数z＝﹣3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值．【详解】作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线﹣3x+4y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，由可得A（1，2），此时z＝5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______．【答案】10【解析】【分析】设停车位有n个，求出这3辆共享汽车都不相邻的种数和恰有2辆相邻的种数，可得A n﹣23＝A32A n﹣22，解得即可.【详解】设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成（n﹣2）个间隔中，故有A n﹣23种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停车位排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A32A n﹣22种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴A n﹣23＝A32A n﹣22，解得n＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.已知满足.且，则用以上给出的公式可求得的面积为____．【答案】【解析】【分析】由题意可得：c＝2a＝2，a，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．【详解】解：∵AB＝2BC＝2，∴由题意可得：c＝2a＝2，a，∵（sin A﹣sin B）（sin A+sin B）＝sin A sin C﹣sin2C，∴由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝ac﹣c2，可得：a2+c2﹣b2＝ac，∴S ac．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为__．【答案】【解析】【分析】由题意可知函数为偶函数，函数有4个零点转化为函数在有2个零点，即研究函数的单调性与最值即可.【详解】由题意可知，函数的定义域，，即，∴函数为偶函数，若函数有4个零点，即函数在有2个零点，当x＞0时，,易知：函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，且时，，故只需：的最小值∴，解得∴的取值范围为.故答案为：【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。