福建省福州市—九年级数学第一学期期末质量检查试卷

福州市2012—2013学年第一学期九年级期末质量检查
数 学 试 卷
(全卷共4页，三大题，22小题；满分150分；考试时间：120分钟)
一、选择题(共10小题，每题4分，满分40分)
1．如果二次根式x 在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是
A ．x ≥0
B ．x ＞0
C ．x ＜0
D ．全体实数 2．下列一元二次方程中，没有实数根的是
A ．(x ＋1)(x －2)＝0
B ．2x 2＝0
C ．(x ＋1)2＝0
D ．(x ＋1)2＋1＝0 3．下列图形中，中心对称图形是
4．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有“观察、实验、猜测、计算、推理、验证”六个词，如果掷一次这个骰子，骰子向上的一面出现“观察”一词的概率是
A ．112
B ．18
C ．16
D ．14
5．如图，A 、B
、C 、D 四点在⊙O 上，OB ⊥AC ，∠ADB ＝30
°，则∠BOC
的度数为
A
．30°
B ．45°
C ．60° D
．90°
6．将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折，直径两侧的部分互相重合．这说明 A ．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；
B ．圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴；
C ．圆的直径互相平分；
D ．垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧．
7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ，若AE ＝BE ，则∠EBC 的度数是 A ．15° B ．30° C ．22.5° D ．
45°
8．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a (a ＞2)的正五边形内任意移动，如果这张圆形纸片在正五边形内不能接触到的部分用阴影表示，则下列示意图中表示正
2
A ．直线x ＝1
B ．直线x ＝－2
C ．直线x ＝2
D ．直线x ＝－8
10．在平面直角坐标系中，已知点C (0，3)、D (1，6)，将线段绕点M (3，3)旋转180°后，得到线段AB ，则线段AB 所在直线的函数解析式是 A ．y ＝3x ＋15 B ．y ＝3x －15
C ．y ＝15x －3
D ．y ＝－15x ＋3
二、填空题(共5小题，每题4分，满分20分) A B C D B
第5题图 第7题图 A B C 第8题图
11．如图所示的两圆位置关系是_________________．
12．从如图所示的统计图判断，中国人口约占世界人口总数的比例是_______．
13．化简式子90π(22)
2
360
的结果是_____________(结果保留π)．
14．已知k 为实数，在平面直角坐标系中，点P (k 2＋1，k 2
－k ＋1)关于原点对称的点Q 第_____象限．
15．已知点A (－134，y 1)，B (－54，y 2)，C (14
，y 3)在抛物线y ＝x 2
－mx ＋(m 、n 为常数)上，且y 2＜y 1＜
y 3，则m 的取值范围是________________．
三、解答题(满分90分；作图或添辅助线需用黑色签字笔摸黑) 16．(每小题7分，共14分)
(1) 计算18＋1
2
×2＋(27－48)÷3；
(2) 已知，四边形ABCD 顶点都在4×4正方形网格的格点上，如图所示，请用直尺和圆规画出四边形ABCD 的外接圆，并标明圆心M 的位置．这个圆中⌒BC 所对的圆心角的度数是___________．
17．(每小题8分，共16分)
(1) 解方程x 2＋2x ＋1＝(3＋2x )2
；
(2) 已知线段AB ＝1，C 为线段AB 上一点，且BC ＝
5－1
2
，求AC ·BC 的值． 18．(10分)在两张卡片上分别写有3－1，3＋1的实数．随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张．两次抽取的卡片上的实数依次为a 、b ．求使ab ≤2的概率． 19．(10分)如图，扇形OAB 中，AC ⊥OB ，垂足为C ，且C 为OB 中点．若AC ＝3，求阴影部分的面积．
20．(12分)秋末冬初，慈善人士李先生到某商场购买一批棉被准备送给偏远山区的孩子．该商场规定：如果购买棉被不超过60条，那么每条售价120元；如果购买棉被超过60条，那么每增加1条，所出售的这批棉被每条售价均降低0.5元，但每条棉被最低售价不得少于100元，最终李先生共支付棉被款8800元，请问李先生一共购买了多少条棉被？
21．(14分)如图1，已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝2，M 是斜边AB 上的一个动点，MH ⊥BC ，垂足为H ，以MH 为对对角线作菱形MPHQ ，其中，顶点P 始终在斜边AB 上．连接PQ 并延长交AC 于点E ，以E 为圆心，EC 长为半径作⊙E ．
(1) ∠PMQ 的度数是____________．
(2) 如图2，当点Q 在⊙E 上时，求证点Q 是Rt △ABC 的内心． (3) 当⊙E 与菱形MPHQ 边所在的直线相切时，求BM 的值．
第11题图
世界人口分布扇形图 第12题图 第16(2)题图
A B C
D
第19题图
C
H 图2
图1
A C
备用图
22．(14分)如图，已知抛物线y ＝ax 2
＋b 经过点A (4，4)和点B (0，－4)．C 是x 轴上的一个动点． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 若点C 在以AB 为直径的圆上，求点C 的坐标； (3) 将点A 绕C 点逆时针旋转90°得到点D ，当点D 在抛物线上时，求出所有满足条件的点C 的坐标．
福州市2012—2013学年第一学期九年级期末质量检查
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．A 2．D 3．B 4．C 5．C 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 二、填空题(每小题4分，共20分)
11．相交 12．20%或15等 13．2π 14．三 15．－9
2
＜m ＜－3
三、解答题(满分90分) 16．(每小题7分，共14分) (1) 解：原式＝32＋1＋(9－16)，………………4分
＝32＋1＋3－4， ……………………6分
＝32．…………………………………7分
(2) 如图，⊙M 即为所求； …………………………4分
(圆心M 位置标注正确2分，画图正确2分) ⌒BC 所对的圆心角的度数为90度． ……………7分 (注：未用水笔描图扣一分)
17．(每小题8分，共16分)
(1) 解：(x ＋1)2＝(3＋2x )2
，………………………………………1分 x ＋1＝±(3＋2x )， ………………………………………5分
∴ x ＋1＝3＋2x 或x ＋1＝－(3＋2x )，……………………6分
∴x 1＝－2，x 2＝－4
3
． ……………………………………8分
(2) 解：∵AB ＝1，BC ＝
5－1
2
， ∴AC ＝AB －BC ＝1－
5－1
2
，…………………………1分 ＝3－5
2
， …………………………………………3分
第22题图
第16(2)题图
∴AC ·BC ＝
5－12·3－52＝45－8
4
，…………………7分 ＝5－2．……………………………………8分
18．(满分10分)
解：当a ＝3－1，b ＝3－1时，ab ＝(3－1)(3－1)＝4－23＜2；
当a ＝3－1，b ＝3＋1时，ab ＝(3－1)(3＋1)＝2；
当a ＝3＋1，b ＝3＋1时，ab ＝(3＋1)(3＋1)＝4＋23＞2；
当a ＝3＋1，b ＝3－1时，ab ＝(3＋1)(3－1)＝2；………………………………………8分 a 、b 可能出现的结果有4种，它们出现的可能性相等，其中满足ab ≤2的有3种．………9分
∴P (ab ≤2)＝3
4
．……………………………………………………………………………………10分
19．(满分10分)
解：连接AB ， ………………………………………………………1分
∵AC ⊥OB ，且C 为OB 中点，
∴AC 垂直平分OB ，∠ACO ＝90°，
∴OA ＝AB ． ……………………………………………………3分
又∵OA ＝OB ，
∴△AOB 是等边三角形，………………………………………4分
∴∠O ＝60°， ∴∠OAC ＝30°，…………………………………………………5分 在Rt △AOC 中，AC ＝3，
设OC ＝x ，则OA ＝2x ，…………………………………………6分
由勾股定理得：x 2＋(3)2＝(2x )2
，
解得：x 1＝1，x 2＝－1(不合题意，舍去)． ……………………8分 ∴OA ＝2，BC ＝OB －OC ＝2－1＝1，
∴阴影部分的面积S ＝S 扇形OAB －S △AOC ＝60π×22
360－12×1×3＝23π－3
2
．………………10分
(注：不同解法可参照评分标准给分)
20．(满分12分)
解：∵120×60＝7200＜8800， ∴李先生购买的数量超过60条．…………………1分
设李先生一共购买了x 条棉被，依题意，得：……………………………………2分 x [120－0.5(x －60)]＝8800， ………………………………………………………6分 解得：x 1＝80，x 2＝220．……………………………………………………………9分 当x 1＝80时，120－0.5(x －60)＝110＞100，符合题意， ………………………10分 当x 2＝220时，120－0.5(x －60)＝40＜100，不符合题意． ……………………11分 答：李先生一共购买了80条棉被． ……………………………………………………12分
21．(满分14分)
解：(1) ∠PMQ ＝60°； (2)
(2) 如图1，过Q 点作QF ⊥BC 于点F ，连接BQ ，……………3分 ∵AC ⊥BC ，∴QF ∥AC ， ……………………………………4分
∵四边形MPHQ 是菱形，
∴PE ⊥MH ， 又∵BC ⊥MH ，∴PE ∥BC ，
∴四边形CEQF 是矩形，又∵EC ＝EQ ， ∴四边形CEQF 是正方形，………………………………5分 ∴QE ＝QF ，即点Q 在∠ACB 的平分线上．……………6分
∵在菱形MPHQ 中，∠PMQ ＝60°， ∴△MPQ 和△PHQ 都是等边三角形，
∴QP ＝QH ， ………………………………………………7分
又∵PE ∥BC ，HQ ∥MP ， ∴四边形BPQH 是菱形， ∴BQ 平分∠ABC ，
第19题图
H
图1
∴点Q 为Rt ABC △的内心；…………………………8分 (3) ∵⊙E 与菱形MPHQ 关于直线PE 对称，
∴⊙E 与直线HQ 、直线MQ 同时相切；或与直线PM 、直线PH 同时相切，………9分
∴分两种情况考虑：
如图2，设⊙E 与直线HQ 相切于点N ，直线HQ 交AC 于点D ，连接EN ． 则EN ⊥DH ，四边形CHOE 是矩形． 设⊙E 的半径为r ，则MH ＝2OH ＝2r ， 由(2)得：MH ∥AC ，HQ ∥AB ， ∴四边形AMHD 是平行四边形， ∴AD ＝MH ＝2r ，
在Rt △DEN 中，∠EDN ＝∠A ＝30°， ∴DE ＝2EN ＝2r ，
∴AC ＝AD ＋DE ＋EC ＝5r ，………………………………10分 又∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝2， ∴BC ＝12AB ＝1，∴AC ＝22－12
＝3， ∴r ＝
35，∴MH ＝23
5
，…………………………………11分 ∵在Rt △MHB 中，∠MHB ＝90°，∠BMH ＝∠A ＝30°，
∴BM 2－(12BM )2＝MH 2
＝1225，
∴BM ＝4
5
， ………………………………………………12分
② 如图3，设⊙E 与直线AB 相切于点G ，连接EG ， ∴EG ⊥AB ，又∠A ＝30°， ∴AE ＝2EN ＝2r ， ∵AC ＝AE ＋EC ＝3r ，
∴3r ＝3，r ＝3
3，
∴MH ＝233，…………………………………………… 13分
∴BM 2－(12BM )2＝MH 2
＝43，
∴BM ＝43
，
综上所述，当⊙E 与菱形MPHQ 边所在的直线相切时，BM 的值为45或4
3
．…………！！14分
(注：各题不同解法可参照评分标准给分，但凡用相似证明或解题者，统一在总分中扣2分，不重复扣分．)
22．解：(1) ∵抛物线y ＝ax 2
＋b 的图像经过点A (4，4)和点B (0，－4)，
∴⎩⎨⎧16a ＋b ＝4b ＝－4，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－4
， ∴抛物线的解析式为：y ＝12x 2
－4；…………3分
(2) 过点A 作AE ⊥x 轴于E ，连接AB 交x 轴于点E ， ∴OB ＝AE ＝4，∠MOB ＝∠AEM ＝90°，∠OMB ＝∠AME ， ∴△OMB ≌△EMA ，……………………………………… 4分 ∴MB ＝MA ，OM ＝ME ＝12
OE ＝2，………………………5分
∴以M 为圆心，MB 为半径的⊙M ，即为以AB 为直径的圆．………………6分
由勾股定理得：MB ＝OM 2＋OB 2 ＝42＋22
＝25，………………………7分
图3
∴点C 的坐标为(2－25，0)，(2＋25，0)． ………………………………8分 (3) 如图2，当点C 在点(4，0)的右侧时， 作AE ⊥x 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，
∵△ACD 为等腰直角三角形，
∴AC ＝DC ，∠ACD ＝90°，即∠ACF ＋∠DCF ＝90°，
∵∠FDC ＋∠DCF ＝90°，∴∠ACF ＝∠FDC ，
又∵∠DFC ＝∠AEC ＝90°，
∴△DFC ≌△CEA ，………………………………………9分 ∴EC ＝DF ，FC ＝AE ，
∵A (4，4)，∴AE ＝OE ＝4，
∴FC ＝OE ，即OF ＋EF ＝CE ＋EF ，
∴OF ＝CE ，∴OF ＝DF ， ……………………………………10分 当点C 与点(4，0)的重合时，点D 与原点重合；……………11分
当点C 在点(4，0)的左侧时(如图3)，同理可得OF ＝DF ；…12分∴综上所述，点D 在直线y ＝－x 的图像上． 设点C 的坐标为(m ，0)，
则点D 的坐标为(m －4，4－m )，………………………………13分又∵点D 在抛物线y ＝12
x 2
－4的图像上，
∴4－m ＝ y ＝12
(m －4)2
－4，
解得：m 1＝0，m 2＝6，
∴当点C 的坐标为(6，0)或(0，0)时，点D 落在抛物线y ＝12
x 2
－4的图像上．…………14分
(注：各题不同解法可参照评分标准给分，但凡用相似证明或解题者，统一在总分中扣2分，不重复扣分．)。