隐含多项式曲线曲面拟合次数的确定研究

吴
刚： 隐含多项式曲线曲面拟合次数的确定研究
Hale Waihona Puke . % 2边界进行拟 合， 以此进行图像的描述和识别 !拟合 图像边界最简单的方法是寻求隐含多项式 ! （ ，） ， " #$ 使
（# & " $ %， %）
不到两个曲线来 判 断， 惟一知道的就是物体边界轮 廓的特征， 但是， 我们可以根据物体边界轮廓特征构 造两个曲线来应用 ( 以此解决拟合隐含 ) * + , -定 理， 多项式曲线的次数确定问题 ! 显然， 物体轮廓最为显著的特征就是驻点， 这里 明确一下驻点的具体 定 义 !对一物体的边界轮廓用 参数方程 - ## （ ， （ 描 述， 其 中& 表 示 物 &） . #$ &） 体边界的轮廓长度， 称物体边界上 # （ 为零， 但是 / &） （ 不为零的点为驻点 驻点可能是极值 / &） ! 显 然， $ 点， 也可能是拐点 ! 定理! 封闭有界并且连通的正 " 假设非退化的、 则隐含多项式曲线方程为 ! （#， 它的一阶导 #$， $） 函数曲线 为 0 （#， 则! （#， 和0 （#， 没 #$， $） $） $） （#， 的 次 数 为 偶 数 次 多 项 式， 有公因子， 而且! $） （#， 为奇次数多项式 ! 0 $） 证明 ［ 中 指 出， 非退化的隐含 ! 我们在文献 1 ’ 2］ 多项式曲线封闭有界的充分必要条件是隐含多项式 曲线是 偶 次 的， 因而! （#， 必定是偶次隐含多项 $） 式， 显然其一次导函数多项式一定是奇次的 ! 假设 ! （#， 和0 （#， 有公因子1 （#， ， 如 $） $） $） （#， 为奇次的， 则1 （#， 果1 #$ 为 一 条 无 界 的 $） $） 曲线， 因而 ! （#， 这和已 #$ 也 是 一 条 无 界 曲 线， $） 知! （#， 另 一 方 面， 如果 #$ 是 有 界 曲 线 相 矛 盾， $） （#， 那么说明! （#， 1 #$ 为 偶 次 的， #$ 是 由 $） $） 两个封闭有界的曲线组成， 如果这两条曲线不相交， 就意味着 ! （#， 这 #$ 是 不连通 的两 条封闭 曲线， $） （#， 和已知相矛盾； 如果这两条曲线相交， 则和 ! # $） （#， 和0 （#， $ 是正则曲线相矛盾 !由 此 得 出 ! $） $） 证毕 没有公因子 ! ! 定理 # " 设 一 物 体 的 边 界 轮 廓 上 有 , 个 驻 点， 则用来描述该物体边界所选用的隐含多项式曲线的 次数不能低于 （ .0 # .0% ,） ! " ! 证明 设可用 次隐含多项式曲线 （#， ! " #$ ! $） 描述该物体 轮 廓 曲线上点的斜 ! 由 微 分 几 何 可 知， 率函数为 ! （ ，） （ ， ） 因为描述物体的隐含 ! # # $! $ # $! 多项 式 曲 线 都 是 正 则 的， 因而! （ ，） 和! （ ，） # # $ $ # $ 不可能同时为零， 从而曲线上的驻点可由下面的方 程组给出： （ ，） ， % ! # # $ 2$ $ （#， & ! ! $）2 $ （ ） .
收稿日期： 修回日期： D D D D ’ % % C % B $ %； ’ % % E % ) % C 基金项目： 江苏省普通高校自然科学研究计划基金项目 （% ） C F . G C ’ % % ( ’
二元隐含多项式的形式为 * （ ，） . ;# W
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; < # / % $ & / N / H8 /< = / / ; 9 ; 0 J 8 3 O 4 9> 9 1 9 9/ 5 5 J 8 8 J 2 J 6 4 J < J 87 / 4 2 / 6 J 3 4 < 0 1 @ 9 ; 3 2 >; 0 1 5 3 < 9 ; J ; 3Q 9 1 / O 4 9 6 I I 7 P P7 ， H = 9 2 8 = 9/ O 9 < 8 ;3 1 9> 9 ; < 1 J O 9 >3 2 >1 9 < / 2 J S 9 >O 6 4 J < J 87 / 4 2 / 6 J 3 4 ; O 0 88 = 97 1 / O 4 9 6J ;2 / 8; / 4 @ 9 >J 2 R I PJ 7 P 8 = 9 / 1 KT8 = 9 / 1 9 6J ;7 1 9 ; 9 2 8 9 >8 /> 9 8 9 1 6 J 2 98 = 9> 9 1 9 9/ 5 5 J 8 8 J 2 6 4 J < J 87 / 4 2 / 6 J 3 4 ;O 3 ; 9 >/ 28 = 9/ O 9 < 8 P I IJ 7 P R ， ， 3 2 >8 = 9 5 / 1 6 0 4 3 5 / 1 8 = 9> 9 1 9 9/ 5 5 J 8 8 J 2 J 6 4 J < J 8 / 4 2 / 6 J 3 4 J ; J @ 9 2 KU 1 / 68 = 9 8 = 9 / 1 O / 0 2 > 3 1 9 3 8 0 1 9 ; I I 7 7 P I P P5 ： 8 = 9 3 4 / 1 J 8 = 65 / 1> 9 8 9 1 6 J 2 3 8 J / 2/ 5 8 = 9> 9 1 9 9/ 5 J 6 4 J < J 87 / 4 2 / 6 J 3 4 ; J ; 5 / 4 4 / H 9 > > 9 8 9 < 8 J 2 = 9; 8 3 8 J / 2 3 1 I I 7 P I8 P ， / J 2 8 ; J 28 = 9/ O 9 < 8O / 0 2 > 3 1 3 ; 9 >/ 2 J 8 ; 5 9 3 8 0 1 9 ; 3 2 >8 = 9 2< 3 4 < 0 4 3 8 J 2 = 96 J 2 J 6 0 6> 9 1 9 93 < < / 1 > J 2 / 7 R PO I8 I I8 ， 8 = 9 5 / 1 6 0 4 3> 9 1 J @ 9 > 5 1 / 68 = 9 8 = 9 / 1 9 6 K! 23 > > J 8 J / 2 8 = 9 8 = 9 / 1 3 2O 9 9 V 8 9 2 > 9 > 8 / 8 = 1 9 9 & > J 6 9 2 ; J / 2 3 4 / O 9 < 8 K P< R ， U J 2 3 4 4 9 V 9 1 J 6 9 2 8 ; 3 1 9I J @ 9 28 / J 4 4 0 ; 8 1 3 8 9 8 = 99 5 5 J < J 9 2 < 2 >/ 9 1 3 8 J / 2/ 5 8 = 93 4 / 1 J 8 = 6 K P 7 P3 7 I ； ； ； ； = " ( % 9 # J 6 4 J < J 87 / 4 2 / 6 J 3 4 < 0 1 @ 9 ; 0 1 5 3 < 9 5 J 8 8 J 2 > 9 1 9 9 7 P I I 5>
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隐含多项式曲线曲面拟合次数的确定研究
关键词
隐含多项式； 曲线； 曲面； 拟合； 次数
, ( ) $ K A $
中图法分类号
［$ ］ & ( 许多 文 献 研 究 表 明 ， 隐含多项式曲线对物
体描述非常有效， 与显式函数曲线、 样条曲线以及其 他描述方法相比 具 有 许 多 优 点， 这主要是因为隐含 多项式曲线可描 述 不 规 则 的 复 杂 形 状 物 体， 而且对 数据噪音和模型 的 轻 微 变 形 不 敏 感， 隐含多项式曲 线能够填充由于物体的遮挡或变形所缺失的部分物 体信息等 K 利用二次 曲 线 来 描 述 物 体 已 得 到 广 泛 应 用， 而高次隐含多 项 式 曲 线 由 于 比 二 次 曲 线 有 更 强 的描述复杂物体的能力， 近年来越来越受到关注 K
吴 刚
（南京财经大学电子商务重点实验室 （H 0 3 2 E )# ; J 2 3 K < / 6） I I 南京 ’ ） $ % % % (
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图像的边界轮廓 是 封 闭 和 有 界 的， 为了保证所得到 的隐含多项式曲线是封闭有界的， 文献 ［ ］ 等论文研 ’ 究了在约束条件 下 隐 含 多 项 式 曲 线 的 拟 合 问 题， 这 种方法的基本思想就是寻找封闭有界隐含多项式曲 线的条件， 在这种条件下对物体边界进行拟合 ! 无 论 选 用 什 么 方 法 拟 合 物 体， 如何确定隐含多 项式曲线 的 次 数 都 是 十 分 重 要 的! 对 于 复 杂 的 物 体， 若选用次数低的隐含多项式曲线进行拟合， 其拟 合曲线难以反映 物 体 边 缘 轮 廓 特 征， 不可能有很好 的拟合效果 对 于 相 对 较 为 简 单 的 物 体， ! 另一 方 面， 如果选用高次数 的 隐 含 多 项 式 曲 线 进 行 拟 合， 将增 加曲线拟合的难 度， 更为重要的是使隐含多项式曲 线难以处理而且 难 以 运 用， 同时高次数毕竟是一个 相对概念， 究竟要 选 用 多 高 次 数 仍 然 是 一 个 模 糊 的 问题， 因而从理论 上 给 出 选 用 次 数 的 依 据 来 解 决 这 个问题就变得十分关键 !
摘 要
选用合适次数的隐含多项式曲线曲面描述目标物体是处理和识别目标物体的关键， 因而需要 在
理论上解决隐含多项式曲线或者曲 面 的 次 数 确 定 问 题 从理论上得出隐含 K 根 据 目 标 物 体 本 身 的 特 征， 多项式曲线描述物体的次数确定定 理， 并给出了具体计算公式 K该方法首先由给定物体边界的轮廓检 测出其驻点数， 然后根据驻点数得到拟合隐含多项式曲线方程次数的下界， 进而推广到三维物体的隐含 多项式曲面拟合次数的确定 K 最后给出的应用实例进一步验证了算法的有效性与可操作性 K
/ 4， 其零集合｛ （
（ ，） ｝ 是二维曲 ;， $ #） * . ; # W%
线方程， 可以 用 来 描 述 二 维 物 体 的 形 状 K隐含多项 式曲线就是隐含 多 项 式 函 数 的 零 集 合， 对二元隐含 多项式函数， 其零集合是曲线； 对三元隐含多项式函 数其零集合是曲面 K 在平面图像进行边缘检测获得其边界轮廓以 后， 可以使用隐 含 多 项 式 曲 线 * （ ，） 对图像 . ; # W%
（ %， ） 最小， 这里， & 表示图像边界点的 $ " # % ! !"
" 集合 这种拟合效果 很差， 原因 是 ! （# ，%） 并 ! 但是， %$ 不是点 （# ，%） 到曲线 ! （ ， ） $ 的距离， 因 此 很多 %$ " #$ # ［% ’ &］ 显 然， 文献又提出了各种形式的拟 合方法 物体 !
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