泰兴市第二高级中学调研试题

江苏省泰兴市第二高级中学调研试题 高三数学 2010.12
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）
1. 已知集合{}
{}a B a A ,1,,3,02
==，若{}4,3,2,1,0=⋃B A ，则实数a 的值为__2_____；
2．复数13z i =+，21z i =-，则复数12
z
z 点位于第 一 象限；
3．在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个. 若从中任意选取2个球，则所选的2个球恰好不同色 的概率是
2
3
； 4．在样本容量为120的频率分布直方图中，共有11个 小长方形，若正中间一个小长方形的面积等于其它10个
小长方形面积的和的
1
3
，则正中间一组的频数为 30 ；5．下面是一个算法的程序框图，当输入值x 为8时， 则其输出的结果是 2 ；
6.等差数列{}n a 中,前n 项和为n S ，若75a =，721S =，那么10S 等于____40_______； 7．设b a ,为不重合的两条直线，βα,为不重合的两个平面，给出下列命题： ①若αα////b a 且，则b a //； ②若αα⊥⊥b a 且，则b a //； ③若βα////a a 且，则βα//； ④若βα⊥⊥a a 且，则βα//； 上面命题中，所有真命题的序号为___②④ _________；
8．已知命题p ：|1-x －13
|≤2，命题q ：x 2-2x ＋1-m 2
≤0(m ＞0)，┒p 是┒q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是 m ≥9 ；
9．已知正项等比数列{}n a 满足5762a a a -=，若存在两项n m a a ,使得22a a a n m =，则
n m 41+的最小值为___2
3
________； 10．在等式()()
170tan 31__________sin =︒+的括号中，填写一个锐角，使得等式成
第5题图
立，这个锐角是_______10︒ _______；
11．在ABC ∆中，2=AC ，若O 为ABC ∆的外心，则=⋅ 2 ； 12．已知函数bx ax x x f -+=
23
3
1)(（R b a ∈,）
，若)(x f y =在区间[]2,1-上是单调减函数，则b a +的最小值为 2
3
；
13．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>与抛物线22(0)y px p =>有相同的焦点F ，,P Q 是椭圆
与抛物线的的交点，若PQ 经过焦点F ，则椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为
1 ；
14．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：
①()()(0,0);x
f x a
g x a a =⋅>≠②()0;g x ≠③()()()()f x g x f x g x ''⋅>⋅， 若
(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，则log 1a x >成立的x 的取值范围是 1
(0,)2
． 二、解答题（本大题共6小题，计90分.） 15．（本题满分14分） 设已知(2cos
sin
)2
2
a αβ
αβ
+-=，，(cos
3sin
)2
2
b αβ
αβ
+-=，，
其中(0,)αβπ∈、． (1)若3
2π
βα=+，且2a b =，求βα、的值； (2)若5
2
a b ⋅=
，求βαtan tan 的值． 解：（1）∵32πβα=
+，∴a = (1，)3sin(πα-)，b = (2
1，)3sin(3π
α-) ……2分 由2a b =，得0)3
sin(=-π
α，(0,)απ∈ ……4分
∴3
3
π
π
αβ=
=
，(k ∈Z) ……7分
（2）∵a ·b = 2cos 2
2
)cos(13)cos(12sin 3)2cos(
22βαβαβ
αβα--⨯
+++=--+
G
M
D 1
C 1
B 1
A 1
N
D
C
B A
=)cos(23
)cos(25βαβα--++ ……10分 ∴25)cos(23)cos(25=--++βαβα，即 )cos(2
3
)cos(βαβα-=+
整理得βαβαcos cos sin sin 5=-， ……12分
∵A ∈βα、，∴5
1
tan tan -
=βα。

……14分 16．（本题满分14分）
如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点．求证： （Ⅰ）MN //平面ABCD ； （Ⅱ）MN ⊥平面B 1BG ．
证明：（1）取CD 的中点记为E ，连NE ，AE ． 由N ，E 分别为CD 1与CD 的中点可得
NE ∥D 1D 且NE =12
D 1D ， ………………………………2分 又AM ∥D 1D 且AM =1
2D 1D ………………………………4分 所以AM ∥EN 且AM =EN ，即四边形AMNE 为平行四边形 所以MN ∥AE ， ………………………………6分 又AE ⊂面ABCD ,所以MN ∥面ABCD ……8分 （２）由AG ＝DE ，90BAG ADE ∠=∠=︒，DA ＝AB 可得EDA ∆与GAB ∆全等……………………………10分
所以ABG DAE ∠=∠， ……………………………………………11分 又90DAE AED AED BAF ∠+∠=︒∠=∠，，所以90BAF ABG ∠+∠=︒，
所以AE BG ⊥， ………………………………………………12分 又1BB AE ⊥,所以1AE B BG ⊥面， ……………………………………………………13分 又MN ∥AE ，所以MN ⊥平面B 1BG ……………………………………………14分 17（本题满分14分）
上海某玩具厂生产x 万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为P 元,且
]200,0(,101510002∈++=x x x P ,而每套售出价格为Q 元,其中，
，5000(>+=a b x
a
Q )5>b ,问:
⑴该玩具厂生产多少套吉祥物时,使得每套成本费用最低？
⑵若产出的吉祥物能全部售出,问产量多大时,厂家所获利润最大?
.解：（1）
x
x
x x
P
2
10151000+
+=……………………………3分
25510
1000≥++=
x
x （当且仅当100=x 时，取等号） ∴生产100万套时，每套成本费用最低……………….6分
（2）由题设，利润
1000)5(101
)10151000()()(22-+-+-=++-+=a x b x x x x b x a x f ，
]200,0(∈x ………………………………………………………………………9分
当200)5(5≤-b ，即45≤b 时，100)5(2
5
)]5(5[)(2max ++-=
-=a b b f x f ∴当产量为255-b 万套时，利润最大…………………………………………………12分
当45>b 时，函数)(x f 在]200,0(上是增函数，
∴当产量为200万套时，6000200)(max -+=a b x f …………………………14分
19．已知圆:C 2
2
(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a . （Ⅰ）若1l 、2l 都和圆C 相切，求直线1l 、2l 的方程；
（Ⅱ）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程；
（Ⅲ）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值.
解答：（Ⅰ）显然，1l 、2l 的斜率都是存在的，设)(:1a x k y l -=，则)(1
:2a x k
y l --
= ……………………………………………………………………………………………1分 则由题意，得
2122
=++k ak
k ，
21
22
=++k a
………………………………3分
解得1=k 且222=+a ，即1±=k 且222±-=a ………………5分
∴1l 、2l 的方程分别为222:1+-=x y l 与222:2+--=x y l 或
2
22:1++=x y l 与
222:2++-=x y l ………………………………………………………………6分
（Ⅱ）设圆M 的半径为r ，易知圆心),1(m M 到点)0,2(A 的距离为r 2，
∴⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+-2
222
22)
2()21(2)21(r m r m ………………………………………………………9分
解得2=r 且7±=m ，∴圆M 的方程为4)7()1(2
2=±+-y x …………11分
（Ⅲ）当1-=a 时，设圆C 的圆心为C ，1l 、2l 被圆C 所截得弦的中点分别为F E ,，弦长分别为21,d d ，因为四边形AECF 是矩形，所以12
2
2
==+AC CF CE ,即
124242
221=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-d d ，化简得2821=+d d ……………………14分 从而14222
22121=+⋅≤
+d d d d ，
即1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为142……………………………16分
(本小题满分16分)
已知数列{a n }中，a 1＝－1，且 (1)n n a +，1(2)n n a ++，n 成等差数列． （Ⅰ）设(1)2n n b n a n =+-+，求证：数列{b n }是等比数列； （Ⅱ）求{a n }的通项公式；
（Ⅲ）若≤n n a b kn - 对一切n ∈N *恒成立，求实数k 的取值范围．
（Ⅰ）证明：11(2)(1)22n n n
n a n a ++=++， ……………… 1分
∵112121b a =-+=-， ……………… 2分
1111(1)(1)2(1)1(2)(1)212222(1)2(1)2(1)22n n n n n n n n n n
n a n n a b n a n b n a n n a n n a n =++++-+++++-++===+-++-++-+－，
∴数列{b n }是等比数列． …………………… 4分
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得11()2n n b -=-，即11(1)2()2
n n n a n -+-+=-．
∴1112
()121
n n n a n n --=-
+
++． …………………… 6分 （Ⅲ）∵112
()121
n n n n n a b n n ---=
+
++， ∴≤n n a b kn -，即1112()12(1)≥n n k n n n --+++． …………………… 8分 设1
11()12
n n c n -=
+，2(1)n n d n n -=
+，1112()12(1)n n n e n n n --=+++， 则c n 随着n 的增大而减小， …………………… 10分
∵112(1)(2)(1)n n n n d d n n n n +---=
-
+++=4(1)(2)
n
n n n -++， ∴n ≥5时，1n n d d +-<0, 1n n d d +<d n 随着n 的增大而减小， …………… 12分 则n ≥5时，e n 随着n 的增大而减小． ……………………………… 13分 ∵c 1＝
12，c 2＝16，c 3＝116，c 4＝140，c 5＝196， d 1＝－
12，d 2＝0，d 3＝112，d 4＝110，d 5＝1
10
， ∴e 1＝0，e 2＝
16，e 3＝748，e 4＝18，e 5＝53
480
． 则e 1＜e 2＞e 3＞e 4＞e 5>……． ………………………… 15分 ∴e 2＝
1
6
最大． ∴实数k 的取值范围k ≥
1
6
． ……………………………… 16分 20.已知函数()x f e x x =-（e 为自然对数的底数） （Ⅰ）求()f x 的最小值；
（Ⅱ）设不等式()f ax x >的解集为P ，且{}|02P x x ⊆≤≤，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）设n N *
∈，证明：11n
n
k e k e n =⎛⎫
<
⎪-⎝⎭
∑
解：（1）（略）0x =时，()f x 有最小值为1……………… 4分。