《精编》山西省山大附中高三数学9月月考试题 理 新人教A版.doc

山西大学附中 2021~2021学年第一学期高三〔9月〕月考
数 学 试 题〔理〕
〔考查时间：120分钟〕
一、选择题：〔每题5分，共60分〕
i 为虚数单位,那么
1i
i
+的实部与虚部的乘积等于( ) A. 14 B. 14- C. 14i D. 14i -
2．假设集合{|0},,A y y A B B =≥=那么集合B 不可能是 〔 〕
A ．{|,0}y y x x =≥
B ．1{|(),}2x
y y x R =∈
C ．{|lg ,0}y y x x =>
D ．∅
3.以下说法中，正确的选项是
A. 命题“假设a b <，那么2
2
am bm <〞的否命题是假命题.
,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，那么""l β⊥是 ""αβ⊥ 成立的充分不必要条件.
“2
,0x R x x ∃∈->〞的否认是“2
,0x R x x ∀∈-<〞.
x R ∈，那么“1x >〞是“2x >〞的充分不必要条件.
4．关于x 的二项式n
x
a x )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，那么a 的值为( ) A ．1 B ．1± C ．2 D ．2±
{}{},n n a b 满足*1
1111,2,n n n n
b a b a a n N b ++==-=
=∈，那么数列{}
n a b 的前10项和为( )A.
()101413- B. ()104413- C. ()91413- D. ()94
413- 6..曲线2
y x
=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面
积为( )A. 42ln 2- B. 2ln 2- C. 4ln 2- D. 2ln 2
7.一个几何体的三视图如以下列图,且其侧视图是一个等边三角形,那么这个几何体的体积为( ) A.
()
3
3
4π+ B.()34π+ C.
()
2
3
8π+ D.
()
6
3
8π+
[]0,2上任取两个实数,a b ，那么函数3()f x x ax b =+-在区
间[]1,1-上有且只有一个零点的概率是( )A.18 B. 14 C. 3
4
D.
7
8
22
22
1x y a b -=〔0,0>>b a 〕的两个焦点为21,F F ，假设双曲线上存在一点P ，满足212PF PF =，那么双曲线离心率的取值范围为
A ．(]1,3
B ．()31，
C ．()∞+，
3 D ．[)3,+∞ 10.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者效劳活动，每人从事翻译、
导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙、丙不会开车但能从
事其他三项工作，丁、戊都能胜四项工作，那么不同安排方案的种数是 〔 〕 A ．240 B ．126 C ．78 D ．72
11．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+且||||AO AB =，那么向量BA
在向量BC 方向上的投影为〔 〕A ．
12 B ．32 C.－1
2
D ．－32
R 上的函数(1)y f x =-的图像关于(1,0)对称，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<〔其中
()
f x '是
()
f x 的导函数〕，假设
()()()()0.30.333,log 3log 3,a f b f ππ=⋅=⋅3311log log 99c f ⎛
⎫⎛
⎫=⋅
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，那么,,a b c 的大小
关系是( )A. a b c >> B. c b a >> C. c a b >> D. a c b >>
二、填空题：〔每题5分，共20分〕 13．随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，(24)0.6826P X ≤≤=，那么(4)P X >=_______。

14.如右图所示，程序框图〔算法流程图〕的输出结果是 . 15．∆ABC ，∠C =60°，AC =2，BC =1，点M 是∆ABC 内部或边界上一动点，N 是边BC 的中点，那么AN AM ⋅的最大值为__________。

16. ,(0,2]x y ∈，且2xy =，且62(2)(4)x y a x y --≥--恒成立，那么实数a 取值范围是
山西大学附中9月月考数学〔理〕答卷纸 一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二．填空题：
_ _ _
15. _______ 三、解答题：
17.〔本小题总分值10分〕在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为a 、b 、
c ，且4
1cos =A .〔Ⅰ〕求A C
B 2cos 2
sin
2
-+的值；
〔Ⅱ〕假设3=a ，求bc 的最大值．
18．〔本小题总分值12分〕数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且
*,2
)
1(N n a a S n n n ∈+=
〔1〕求证数列{}n a 是等差数列； 〔2〕设++==21,21
b b T S b n n
n …n b +，求n T 。

19. 〔本小题总分值12分〕在某组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次:在A 处每投进一球得3分,在B 处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3A 处的命中率1q 为0.25,在B 处的命中率为2q ,该同学选择先在A 处投一球,以后都在B 处投,用ξ表示
(1) 求2的值;(2) 求随机变量的数学期望;
(3) 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.
20．〔本小题总分值12分〕如图，D 、E 分别是正三棱柱111ABC A B C -的棱1AA 、11B C 的中点，且棱18AA =，4AB =. 〔Ⅰ〕求证：1//A E 平面1BDC ；
〔Ⅱ〕在棱1AA 上是否存在一点M ，使二面角11M BC B --的大小为60，假设存在，求AM 的长；假设不存在，说明理由。

21. 〔本小题总分值12分〕椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，短轴
两个端点为A 、B ，
且四边形B AF F 21是边长为2的正方形。

〔1〕求椭圆方程；
〔2〕假设D C ,分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足CD MD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ；证明：→
→
⋅OP OM 为定值；
22. 〔本小题总分值12分〕设函数2
1()ln .2
f x x ax bx =-- (1)当1
2
a b ==
时，求函数)(x f 的最大值； (2)令21()()2a
F x f x ax bx x
=+++，〔03x <≤〕其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的
斜率k ≤2
1
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)当0a =，1b =-，方程2
2()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．
9月数学答案： 一、选择题：
A C
B
C A A
D A D C A B 二、填空题： 13. 1587.0〔文43-〕 14. 2550 15. 2
7
16. (,1]-∞ 三、解答题：
〔2〕由〔1〕可得2
)
1(,+=
=n n S n a n n 〔8’〕 1
11)1(121+-=+==
n n n n S b n n 〔10’〕
18． (Ⅰ)A C
B 2cos 2
sin
2
-+ =
)1cos 2()]cos(1[2
1
2--+-A C B -----------------------------------------2分
=
)1cos 2()cos 1(2
1
2--+A A
-----------------------------------------3分 =
)18
1
()411(21--+ =
2
3
-----------------------------------------6分
(Ⅱ) ∵
4
1
cos 2222==-+A bc a c b ∴
222222
1
a bc a c
b b
c -≥-+=,
-----------------------------------------8分
∴
2
3
2a bc ≤
-----------------------------------------10分 又∵3=
a ∴.2≤bc
当且仅当 b =c =2时,bc =2,故bc 的最大值是2. -------------------12分
19、〔1〕()()()8.003.011022
21==--==q q q P 解得ξ 〔3’〕
〔2〕()24.02.08.0275.02=⨯⨯⨯==ξP ()()01.08.0125.03=-⨯==ξP
()48.08.075.042=⨯==ξP ()24
.08.02.025.08.025.05=⨯⨯+⨯==ξP
()63.324.0548.0401.0324.0203.00=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 〔9’〕
(3)设“同学选择A 处投，以后再B 处投得分超过3分〞为事件A 设“同学选择都在B 处投得分超过3分〞为事件B
()72.024.048.0=+=A P ()896
.08.02.08.028.02=⨯⨯⨯+=B P
()()B P A P >，该同学选择都在B 处得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A 处以后
都在B 处投得分超过3分的概率。

〔12’〕
20、【解】【法一】〔Ⅰ〕在线段1BC 上取中点F ，连结EF 、DF .
那么1//EF DA ，且1EF DA =，∴1EFDA 是平行四边形……2′
∴1//A E FD ，又1A E ⊄平面1BDC ，FD ⊂平面1BDC ，∴1//A E 平面1BDC (4)
15
311M BC B --大于60. ……11′ ∴M 在棱1AA 上时，二面角11M BC B --总大于60.
故棱1AA 上不存在使二面角11M BC B --的大小为60的点M . ……12′
21、解：〔1〕2
2
2
,,2c b a c b a +===，22
=∴b ，∴椭圆方程为12
42
2=+y x 。

4分
〔2〕)0,2(),0,2(D C -，设),(),,2(110y x P y M ，那么),2(),,(011y OM y x OP ==→→。

直线CM ：004
2y y y x -=-，即00214y x y y +=，……………………………6分 代入椭圆4222=+y x 得042
121)81(2020220=-+++y x y x y 。

…………8分 8
)8(2,8)8(4)2(2020120201+--=∴+-=-y y x y y x ，882001+=∴y y y 。

)88,8)8(2(2002020++--=∴→y y y y OP ，…10分48
324888)8(4202020202020=++=+++--=⋅∴→
→y y y y y y OM OP 〔定值〕。

…………12分 22.〔本小题总分值12分〕解: 〔1〕依题意，知)(x f 的定义域为〔0，+∞〕， 当21==b a 时，x x x x f 2
141ln )(2--=， x
x x x x x f 2)1)(2(21211)('-+-=--=……………2分 令)('x f =0，解得1=x ．〔∵0>x 〕
因为0)(=x g 有唯一解，所以0)(2=x g ，当10<<x 时，0)('>x f ，此时)(x f 单调递增；当1>x 时，0)('<x f ，此时)(x f 单调递减。

所以)(x f 的极大值为4
3)1(-=f ，此即为最大值 ……………4分 (2〕x a x x F +=ln )(，]3,0(∈x ，那么有200
0)('x a x x F k -==≤2
1，在]3,0(0∈x 上恒成立，所以a ≥max 020)2
1(x x +-，]3,0(0∈x 当10=x 时，02021x x +-取得最大值21，所以a ≥2
1………8分 (3)因为方程2)(2x x mf =有唯一实数解， 所以02ln 22=--mx x m x 有唯一实数解，设mx x m x x g 2ln 2)(2
--=， 那么x
m mx x x g 222)('2--=．令0)('=x g ，02=--m mx x ． 因为0>m ，0>x ，所以02421<+-=m m m x 〔舍去〕
，2x =， 当),0(2x x ∈时，0)('<x g ，)(x g 在〔0，2x 〕上单调递减，
当),(2+∞∈x x 时，0)('>x g ，)(x g 在〔2x ，+∞〕单调递增
当2x x =时，)('2x g =0，)(x g 取最小值)(2x g ． 那么⎩
⎨⎧==,0)(',0)(22x g x g 既⎪⎩⎪⎨⎧=--=--.
0,02ln 22222222m mx x mx x m x ……………10分所以0ln 222=-+m mx x m ，因为0>m ，所以01ln 222=-+x x 〔*〕设函数1ln 2)(-+=x x x h ，因为当0>x 时，)(x h 是增函数，所以0)(=x h 至多有一解．因为0)1(=h ，所以方程〔*〕的解为21x =，即
1=，解得21=m ……………12分。