2025届徐州市重点中学九年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2025届徐州市重点中学九年级数学第一学期期末学业质量监测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )
A．115°B．105°C．100°D．95°
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，连接FB，则tan∠CFB的值等于( )
A．
3
3
B．
23
3
C．
53
3
D．53
3．如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于
A．100°B．80°C．50°D．40°
4．若点A（﹣1，0）为抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+c图象上一点，则当y≥0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥3
5．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，圆O半径为2，则六边形的边心距OM的长为（）A．2 B．23C．4 D3
6．已知关于x 的一元二次方程2230x x a ++=有一个根是-2，那么a 的值是( )
A ．-2
B ．-1
C ．2
D ．10
7．如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）
A ．6
B ．
C ．9
D ．
8．下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A ．2x+y=1
B ．x 2+1=2xy
C ．x 2+1x =3
D ．x 2=2x ﹣3
9．用一块长40cm ，宽28cm 的矩形铁皮，在四个角截去四个全等的正方形后，折成一个无盖的长方形盒子，若折成的长方体的底面积为2360cm ，设小正方形的边长为xcm ，则列方程得（ ）
A ．（20﹣x ）（14﹣x ）＝360
B ．（40﹣2x ）（28﹣2x ）＝360
C ．40×28﹣4x 2＝360
D ．（40﹣x ）（28﹣x ）＝360
10．下列事件中，是随机事件的是（）
A ．明天太阳从东方升起
B ．任意画一个三角形，其内角和为360°
C ．经过有交通信号的路口，遇到红灯
D ．通常加热到100℃时，水沸腾 二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝3，AB ＝5，则cosB 的值为__________．
12．点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是_____．
13．如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，求选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是_______．
14．如图，PA 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的直径，在⊙O 上存在一点C 满足PA ＝PC ，连结PB 、AC 相交于点F ，且∠APB ＝3∠BPC ，则PF BF
＝_____．
15．如图，OAB 与OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为3:4，90OCD ∠=︒，60AOB ∠=︒，若点B 的坐标是()6,0，则点C 的坐标是__________，点D 的坐标是__________.
16．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a 个白球和4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a 的值约为_____．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线2
22y x x =-+上运动，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为 ．
18．计算()231+的结果是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．
（1）如图①，点O 在斜边AB 上，以点O 为圆心，OB 长为半径的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，与边AC 相切于点F ．求证：12∠=∠；
（2）在图②中作M ，使它满足以下条件：
①圆心在边AB 上；②经过点B ；③与边AC 相切．
（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
20．（6分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y （℃）和通电时间x （min ）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x ≤8和8＜x ≤a 时，y 和x 之间的关系式；
（2）求出图中a 的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．
21．（6分）今年下半年以来，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致．非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快．某养猪场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病．
（1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过1500头吗？
22．（8分）如图，直线5y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ，抛物线2
y x bx c =-++与直线5y x =-+交于B ，D 两点，点C 是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是直线BD 上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线，交直线BD 于点P ，当线段PM 的长度最大时，求m 的值及PM 的最大值．
（3）在抛物线上是否存在异于B 、D 的点Q ，使BDQ ∆中BD 边上的高为32，若存在求出点Q 的坐标；若不存在请说明理由．
23．（8分）如图，△ABC 中，E 是AC 上一点，且AE=AB ，∠BAC=2∠EBC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交EB 于点F ．
（1）求证：BC 与⊙O 相切；
（2）若AB=8，BE=4，求BC 的长．
24．（8分）已知，抛物线y ＝ax 2+ax +b （a ≠0）与直线y ＝2x +m 有一个公共点M （1，0），且a ＜b ．
（1）求b 与a 的关系式和抛物线的顶点D 坐标（用a 的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N ，求△DMN 的面积与a 的关系式；
（3）a ＝﹣1时，直线y ＝﹣2x 与抛物线在第二象限交于点G ，点G 、H 关于原点对称，现将线段GH 沿y 轴向上平移t 个单位（t ＞0），若线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求t 的取值范围．
25．（10分）用配方法解下列方程.
(1) 2310x x --=;
(2) ()()2
21327x x x -=+-.
26．（10分）为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2016年的绿色建筑面积约为950万平方米，2018年达到了1862万平方米.若2017年、2018年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；
（2）2019年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米.如果2019年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2019年我市能否完成计划目标?
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD 与∠DEC 为邻补角，得到
∠DCE=∠BAD=105°．
【详解】解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD ，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°．
故选B ．
2、C
【解析】根据题意：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，
∵EF ⊥AC ，∴EF ∥BC ，∴CF AC =BE AB
∵AE ：EB=4：1，∴
AB EB =5，
∴AF AC =45
，设AB=2x ，则BC=x ，
∴在Rt △CFB 中有CF=
5x ，BC=x ．
则tan ∠CFB=
BC CF =3
故选C ．
3、D
【解析】试题分析：∵∠ACB和∠AOB是⊙O中同弧AB所对的圆周角和圆心角，且∠AOB=80°，
∴∠ACB=1
2
∠AOB=40°．故选D．
4、C
【分析】根据点A（﹣1，0）为抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+c图象上一点，可以求得c的值，从而可以得到该抛物线的解析式，然后令y＝0，求得抛物线与x轴的交点，然后根据二次函数的性质即可得到当y≥0时，x的取值范围．【详解】解：∵点A（﹣1，0）为抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+c图象上一点，
∴0＝﹣3（﹣1﹣1）2+c，得c＝12，
∴y＝﹣3（x﹣1）2+12，
当y＝0时，﹣3（x﹣1）2+12=0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，
又∵-3＜0，抛物线开口向下，
∴当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3，
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5、D
【分析】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出
3
=
2
OM OB即可求解．
【详解】解：连接OB、OC，如图所示：
则∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=2，
∵OM⊥BC，
∴△OBM为30°、60°、90°的直角三角形，
∴33==2=322
⨯OM OB ， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM 是解决问题的关键．
6、C
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x ＝−1代入关于x 的一元二次方程2230x x a ++=，列出关于a 的一元一次方程，通过解方程即可求得a 的值．
【详解】根据题意知，x ＝−1是关于x 的一元二次方程2230x x a ++=的根，
∴（−1）1＋3×（−1）＋a ＝0，即−1＋a ＝0，
解得，a ＝1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解使方程的左右两边相等．
7、C
【解析】试题分析：如图，设⊙O 与AC 相切于点E ，连接OE ，作OP 1⊥BC 垂足为P 1交⊙O 于Q 1，此时垂线段OP 1
最短，P 1Q 1最小值为OP 1﹣OQ 1，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=10°，∵∠OP 1B=10°，
∴OP 1∥AC ∵AO=OB ，∴P 1C=P 1B ，∴OP 1=AC=4，∴P 1Q 1最小值为OP 1﹣OQ 1=1，如图，当Q 2在AB 边上时，P2与B 重合时，P 2Q 2最大值=5+3=8，∴PQ 长的最大值与最小值的和是1．故选C ．
考点：切线的性质；最值问题．
8、D
【分析】方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二
次方程，根据定义判断即可．
【详解】A. 2x＋y＝1是二元一次方程，故不正确；
B. x2＋1＝2xy是二元二次方程，故不正确；
C. x2＋1
x
＝3是分式方程，故不正确；
D. x2＝2x－3是一元二次方程，故正确；
故选：D
9、B
【分析】由题意设剪掉的正方形的边长为xcm，根据长方体的底面积为2
360cm列出方程即可．
【详解】解：设剪掉的正方形的边长为xcm，
则（28﹣2x）（40﹣2x）＝1．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题并建立方程．
10、C
【分析】根据事件发生的可能性判断，一定条件下，一定发生的事件称为必然事件，一定不发生的事件为不可能事件，可能发生可能不发生的事件为随机事件.
【详解】解：A选项是明天太阳从东方升起必然事件，不符合题意；
因为三角形的内角和为180︒，B选项三角形内角和是360°是不可能事件，不符合题意；
C选项遇到红灯是可能发生的，是随机事件，符合题意；
D选项通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，不符合题意.
故选：C
【点睛】
本题考查了事件的可能性，熟练掌握必然事件、不可能事件、可能事件的概念是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、4 5
【分析】先根据勾股定理求的BC的长，再根据余弦的定义即可求得结果.
【详解】由题意得4
BC==
则
4 cos
5
BC
B
AB
==
故答案为：45
点睛：勾股定理的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.
12、（4，﹣3）
【解析】平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（﹣x ，﹣y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【详解】点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3）．
故答案为（4，﹣3）．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（﹣x ，﹣y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．
13、2
1y (6)49x =--+
【分析】以A 为坐标原点建立坐标系，求出其它两点的坐标，用待定系数法求解析式即可．
【详解】解：以A 为原点建立坐标系，则A （0，0），B （12，0），C （6，4）
设y=a （x-h ）2+k ，
∵C 为顶点，
∴y=a （x-6）2+4，
把A （0，0）代入上式，
36a+4=0，
解得：19
a =-， ∴21y (6)49x =--+；
故答案为：21y (6)49x =--+．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，恰当的选取坐标原点，求出各点的坐标是解决问题的关键．
14、171 4
-
．
【分析】连接OP，OC，证明△OAP≌△OCP，可得PC与⊙O相切于点C，证明BC=CP，设OM＝x，则BC＝CP＝
AP＝2x，PM＝y,证得△AMP∽△OAP，可得：
117
8
x y
+
=，证明△PMF∽△BCF，由
PF PM
BF AP
=可得出答案.
【详解】解：连接OP，OC.
∵PA与⊙O相切于点A，PA＝PC，
∴∠OAP＝90°，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OAP＝∠OCP＝90°，
∴PC与⊙O相切于点C，
∵∠APB＝3∠BPC，∠APO＝∠CPO，∴∠CPB＝∠OPB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵OP⊥AC，
∴OP∥BC，
∴∠CBP＝∠CPB，
∴BC＝CP＝AP．
∵OA＝OB，
∴OM＝11
22
BC AP
=．
设OM＝x，则BC＝CP＝AP＝2x，PM＝y，∵∠OAP＝∠AMP＝90°，∠MPA＝∠APO，∴△AMP∽△OAP，
∴AP OP PM AP
=． ∴AP 2＝PM •OP ，
∴（2x ）2＝y （y +x ），
解得：x y =，x y =（舍去）． ∵PM ∥BC ，
∴△PMF ∽△BCF ，
∴PF PM PM BF BC AP ==＝124y x
-=．
． 【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理. 正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
15、 (2， ()8,0
【分析】根据坐标系中，以点O 为位似中心的位似图形的性质可得点D 的坐标，过点C 作CM ⊥OD 于点M ，根据含30°角的直角三角形的性质，可求点C 的坐标．
【详解】∵OAB 与OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为3:4，点B 的坐标是()6,0，
∴点D 的坐标是(8，0)，
∵90OCD ∠=︒，60AOB ∠=︒，
∴∠D=30°，
∴OC=12OD=12
×8=4， 过点C 作CM ⊥OD 于点M ，
∴∠OCM=30°，
∴OM=12OC=12
×2=2，
∴点C 的坐标是(2，．
故答案是：(2，；(8，0)．
【点睛】
本题主要考查直角坐标系中，位似图形的性质和直角三角形的性质，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．16、1
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可得，
4
4+a
×100%＝20%，
解得，a＝1，
经检验a=1是方程的根，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查的是频率和概率问题，此类问题是中考常考的知识点，所以掌握频率和概率是解题的关键.
17、1
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．
【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为1．
18、4
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：原式=314
+=．
故答案为4
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）连接OF ，可证得OF BC ∥，结合平行线的性质和圆的特性可求得12OFB ∠=∠=∠，可得出结论； （2）由（1）可知切点是ABC ∠的角平分线和AC 的交点，圆心在BF 的垂直平分线上，由此即可作出M ．
【详解】（1）证明：如图①，连接OF ，
∵AC 是O 的切线，
∴OE AC ⊥，
∵90C ∠=︒，
∴OE BC ∥，
∴1OFB ∠=∠，
∵OF OB =，
∴2OFB ∠=∠，
∴12∠=∠.
（2）如图②所示M 为所求．①
①作ABC ∠平分线交AC 于F 点，
②作BF 的垂直平分线交AB 于M ，以MB 为半径作圆，
即M 为所求．
证明：∵M 在BF 的垂直平分线上，
∴MF MB =，
∴MBF MFB ∠=∠，
又∵BF 平分ABC ∠，
∴MBF CBF ∠=∠，
∴CBF MFB ∠=∠，
∴MF BC ，
∵90C ∠=︒，
∴FM AC ⊥，
∴M 与边AC 相切．
【点睛】
本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用．掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，
20、（1）当0≤x≤8时，y=10x+20；当8＜x≤a 时，y=800x
；（2）40；（3）要在7：50～8：10时间段内接水． 【分析】（1）当0≤x ≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y ＝k 1x ＋b ，即可求得k 1、b 的值，从而得一次函数的解析式；当8＜x ≤a 时，设y ＝2k x ，将(8，100)的坐标代入y ＝2k x
，求得k 2的值，即可得反比例函数的解析式；（2）把y ＝20代入反比例函数的解析式，即可求得a 值；（3）把y ＝40代入反比例函数的解析式，求得对应x 的值，根据想喝到不低于40 ℃的开水，结合函数图象求得x 的取值范围，从而求得李老师接水的时间范围．
【详解】解： (1)当0≤x ≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，
将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y ＝k 1x ＋b ，可求得k 1＝10，b ＝20
∴当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20.
当8＜x ≤a 时，设y ＝
2k x
， 将(8，100)的坐标代入y ＝2k x ， 得k 2＝800
∴当8<x ≤a 时，y ＝800x
. 综上，当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20；
当8＜x ≤a 时，y ＝
800x
(2)将y ＝20代入y ＝800x ， 解得x ＝40，即a ＝40.
(3)当y ＝40时，x ＝80040
＝20 ∴要想喝到不低于40 ℃的开水，x 需满足8≤x ≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【点睛】
本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，是一个分段函数问题，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
21、（1）7头；（2）会超过1500头
【分析】（1）设每头发病生猪平均每天传染x 头生猪，根据“第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病”，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3天后生猪发病头数=2天后生猪发病头数×（1+7），即可求出3天后生猪发病头数，再将其与1500进行比较即可得出结论．
【详解】解：（1）设每头发病生猪平均每天传染x 头生猪，
依题意，得23(1)192x +=，
解得：17x =，29x =- （不合题意，舍去）．
答：每头发病生猪平均每天传染7头生猪．
（2）192(17)1536⨯+=（头)，15361500>．
答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22、（1）245y x x =-++；（2）当52m =时，PM 有最大值254
；（3）存在，理由见解析；1(2,9)Q ，2(3,8)Q ，3(1,0)Q -，4(4,5)Q -
【分析】（1）先求得点B 、D 的坐标，再代入二次函数表达式即可求得答案；
（2）设M 点横坐标为m ()0m >，则(),5P m m -+，()
2,45M m m m -++，求得PM 关于m 的表达式，即可求解； （3）设()2,45Q x x x -++，则(,5)G x x -+，求得2
5QG x x =-+，根据等腰直角三角形的性质，求得6QG =，即可求得答案.
【详解】（1）5y x =-+，令0x =，则5y =，令0y =，则5x =，
故点B 、D 的坐标分别为()5,0、()0,5，
将()5,0、()0,5代入二次函数表达式为25505b c c ⎧-++=⎨=⎩
， 解得：45b c ==，，
故抛物线的表达式为：245y x x =-++.
（2）设M 点横坐标为m ()0m >，则(),5P m m -+，()
2,45M m m m -++， 22252545(5)524PM m m m m m m ⎛⎫∴=-++--+=-+=--+ ⎪⎝
⎭， ∴当52m =时，PM 有最大值254
； （3）如图，过Q 作//QG y 轴交BD 于点G ，交x 轴于点E ，作QH BD ⊥于H ，
设()
2,45Q x x x -++，则(,5)G x x -+， 2245(5)5QG x x x x x ∴=-++--+=-+，
BOD ∆是等腰直角三角形，
45DBO ∴∠=︒，
45HGQ BGE ∴∠=∠=︒，
当BDQ ∆中BD 边上的高为32时，即32QH HG ==，
2326QG ∴=⨯=，
256x x ∴-+=，
当256x x -+=时，解得2x =或3x =，(2,9)Q ∴或()3,8，
当256x x -+=-时，解得1x =-或6x =，(1,0)Q ∴-或(6,7)-，
综上可知存在满足条件的点Q ，其坐标为1(2,9)Q ，2(3,8)Q ，3(1,0)Q -，4(4,5)Q -．
【点睛】
本题主要考查的知识点有：利用待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质；第（2）问中，利用二次函数求最值是解题的关键；最后一问利用两点之间的距离公式和等腰直角三角形的性质构建等式是解题的关键．
23、（1）证明见解析；（2）BC=8
15 7
【分析】（1）运用切线的判定，只需要证明AB⊥BC即可，即证∠ABC=90°. 连接AF，依据直径所对圆周角为90度，可以得到∠AFB=90°，依据三线合一可以得到2∠BAF=∠BAC，再结合已知条件进行等量代换可得∠BAF=∠EBC，最后运用直角三角形两锐角互余及等量代换即可.
（2）依据三线合一可以得到BF的长度，继而算出∠BAF=∠EBC的正弦值，过E作EG⊥BC于点G，利用三角函数可以解除EG的值，依据垂直于同一直线的两直线平行，可得EG与AB平行，从而得到相似三角形，依据相似三角形的性质可以求出AC的长度，最后运用勾股定理求出BC的长度.
【详解】（1）证明：连接AF．
∵AB为直径，∴∠AFB=90°．
又∵AE=AB，
∴2∠BAF=∠BAC，∠FAB+∠FBA=90°．
又∵∠BAC=2∠EBC，
∴∠BAF=∠EBC，
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°．
∴∠ABC=90°．即AB⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
（2）解：过E作EG⊥BC于点G，
∵AB=AE ，∠AFB=90°，
∴BF=
12BE=12
×4=2， ∴sin ∠BAF=21=84， 又∵∠BAF=∠EBC ，
∴sin ∠EBC=14
． 又∵在△EGB 中，∠EGB=90°， ∴EG=BE•sin ∠EBC=4×1
4=1，
∵EG ⊥BC ，AB ⊥BC ，
∴EG ∥AB ，
∴△CEG ∽△CAB ， ∴
=CE EG CA AB
． ∴1=88
CE CE +， ∴CE=87， ∴AC=AE+CE=8+
87=647． 在Rt △ABC 中，
=
=【点睛】
本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，锐角三角函数等知识，作辅助线构造熟悉图形，实现角或线段的转化是解题的关键.
24、（1）b=﹣2a ，顶点D 的坐标为（﹣12，﹣94a ）；（2）2732748a a --；（3） 2≤t ＜94． 【解析】（1）把M 点坐标代入抛物线解析式可得到b 与a 的关系，可用a 表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D 的坐标；
（2）把点M （1，0）代入直线解析式可先求得m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去y ，可得到关于x 的一元二次方程，可求得另一交点N 的坐标，根据a ＜b ，判断a ＜0，确定D 、M 、N 的位置，画图1，根据面积和可得△DMN 的面积即可；
（3）先根据a 的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH 与抛物线只有一个公共点时，t 的值，
再确定当线段一个端点在抛物线上时，t 的值，可得：线段GH 与抛物线有两个不同的公共点时t 的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+ax+b 有一个公共点M （1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a ，
∴y=ax 2+ax+b=ax 2+ax-2a=a （x+12）2-94a ， ∴抛物线顶点D 的坐标为（-12
，-94a ）； （2）∵直线y=2x+m 经过点M （1，0），
∴0=2×
1+m ，解得m=-2， ∴y=2x-2，
则2222y x y ax ax a -⎧⎨+-⎩
＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=
2a
-2， ∴N 点坐标为（2a -2，4a -6）， ∵a ＜b ，即a ＜-2a ，
∴a ＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，
∵抛物线对称轴为122
a x a =-=-， ∴E （-12，-3），
∵M（1，0），N（2
a
-2，
4
a
-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=1
2
|（
2
a
-2）-1|•|-
9
4
a
-（-3）|=
27
4
−
3
a
−
27
8
a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+1
2
）2+
9
4
，
由
22
2
y x x
y x
⎧=--+
⎨
=-
⎩
，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=9
4
，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜9
4
．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M 的坐标得到b 与a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH 与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
25、 (1)12313313x x +-==; (2)124,2x x ==. 【分析】（1）先移项，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，解方程即可；
（2）先把原方程方程进行去括号，移项合并运算，然后再利用配方法进行解方程即可.
【详解】解：()12310x x --=，
231,x x ∴-=
2913344x x ∴-+
=， 即231324x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭， 3132x ∴-=3132x -=， ∴原方程的根为：12313313x x +-==()2()()221327x x x -=+-，
22441327x x x x ∴-+=+-，
2 68x x ∴-=-，
2691x x ∴-+=，即()2
31x -=， 31x ∴-=或31x -=-，
∴原方程的根为：124,2x x ==.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程.
26、（1）这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为40%；（2）如果2019年仍保持相同的年平均增长率，2019年我市能完成计划目标.
【分析】（1）设这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率x ，根据2016年的绿色建筑面积约为950万平方米和2018年达到了1862万平方米，列出方程求解即可；
（2）根据（1）求出的增长率问题，先求出预测2019年绿色建筑面积，再与计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米进行比较，即可得出答案．
【详解】（1）设这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为x ，则有
950(1+x)2=1862，
解得,x 1=0.4,x 2=−2.4(舍去)，
即这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为40%；
（2）由题意可得，
1862×(1+40%)=2606.8，
∵2606.8>2400，
∴2019年我市能完成计划目标，
即如果2019年仍保持相同的年平均增长率，2019年我市能完成计划目标.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件和增长率问题的数量关系，列出方程进行求解．。