一轮优化探究文数(苏教版)课件：第八章 第一节 空间几何体的表面积和体积
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2
7 3 答案： π 3
4 5．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 π，则该圆 3 4 5 π 81 锥的体积为________．
2πr 4 解析：设圆锥的底面半径为r，则 ＝ π， 1 3 2 ∴ r＝ ， 3 ∴圆锥的高h＝ 22 5 1－ ＝ . 3 3
1 2 4 5 ∴圆锥的体积V＝ πr h＝ π. 3 81
DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD. 因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC. (2)如图，连结AC.因为AB∥DC，∠BCD＝90° ， 所以∠ABC＝90° . 从而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1. 由PD⊥平面ABCD及PD＝1， 1 1 得三棱锥PABC的体积V＝ S△ABC· PD＝ . 3 3
2．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是
3 ________ ．
4 3 解析：设球半径为R，则 πR ＝4πR2，∴R＝3. 3
3 3 3．底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积为________ ．
3 解析：底面边长为2，底面三角形的高为2× ＝ 3 ，则斜高 2 为 32 2 3 1 1 2 ＋1 ＝ ，S底＝ ×2× 3 ＝ 3 ，S侧＝3× 3 3 2 2
第八章 立体几何 第一节 空间几何体的表面积和体积
主干知识 自主排查
C
目 录
ONTENTS
核心考点 互动探究 真题演练 高考预测 课时作业 知能提升
主干知识 自主排查
一、直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念，侧面展开图 及侧面积 一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将其剪开而成平 面图形，这个平面图形叫做该多面体的 平面展开图.
正棱台 平面所截，截面和底面 之间的部分叫做 正棱台 正n棱台的侧面展开图是n 个全等的等腰梯形
二、柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 S侧＝ 2πrh 体积 V＝Sh ＝ πr2h
圆锥
S侧＝ πrl
1 1 2 Sh πr h 3 V＝ ＝ 3
1 2 2 2 ＝ πr l － r 3
面积
体积 1 V＝ (S上＋S下＋ S上S下)h 3 1 2 2 ＝ π(r1＋r2＋r1r2)h 3 V＝ Sh
【例2】
在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝
BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90° . (1)求证：PC⊥BC； (2)求三棱锥PABC的体积．
解析：(1)证明：如图，因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面 ABCD，所以PD⊥BC.
由∠BCD＝90° ，得BC⊥DC. 又PD∩DC＝D， PD⊂平面PCD，
解析：如图，延长圆台母线交于点S，设圆台上底面半径为r， 则下底面半径为2r，则∠ASO＝30° . r 在Rt△SO′A′中， ＝sin 30° ， SA′ ∴SA′＝2r. 2r 在Rt△SOA中， ＝sin 30° ，∴SA＝4r. SA ∴SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，∴r＝a， ∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2. ∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为 5πa2.
1 V＝ 3Sh
圆台
S侧＝ π(r1＋r2)l
直棱柱 S侧＝ ch 正棱锥
1 ch′ 2 S侧＝
面积 正棱台
体积
1 1 (c＋c′)h′ V＝3(S 上＋S 下＋ S上S下)h 2 S 侧＝
2 4π R S 球面＝
球
V＝
4 3 πR 3
三、几何体的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 各面面积之和
扇形 、 扇环形 ； 2． 圆柱、 圆锥、 圆台的侧面展开图分别是 矩形、
它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
1．一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6 cm的正方形，
6 3 cm3. 则此三棱柱的体积为________
解析：正三棱柱的底面边长a＝2 cm，高h＝6 cm， 3 则V＝S底· h＝ ×22×6＝6 3 cm3. 4
名称 直棱柱 与正棱 柱
概念 侧棱和底面垂直的棱柱 叫做 直棱柱 底面是
展开图举例及说明
正多边形 的 直棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩
叫做正棱柱 底面是正多边形，并且 形
正棱锥
顶点在底面的正投影是 底面中心的棱锥叫做 正棱锥的侧面展开图是一 些全等的等腰三角形
正棱锥
名称
概念 正棱锥被平行于底面的
展开图举例及说明
2 在直角梯形O1ODD1中，O1O＝ DD2 1－OD－O1D1 ＝4 3，
∴棱台的高为4 3 cm.
规律方法
1.求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图 形，解决旋转体的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及 侧面展开图． 2．借助于平面几何知识，利用已知条件求得所需几何要素．
[跟踪训练] 1．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30° ，一个底面 的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径及两底面面 积之和．
核心考点 互动探究
【例1】
已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和
20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．
解析：如图所示，正三棱台ABCA1B1C1中，O、O1分别为两底面中 心，D、D1分别为BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高． 设A1B1＝20，AB＝30，则可得 10 3 O1D1＝ ，OD＝5 3. 3 由S侧＝S上＋S下， 1 3 得 ×(20＋30)×3×DD1＝ ×(202＋302)， 2 4 13 ∴DD1＝ 3. 3
Hale Waihona Puke 2 3 ×2× ＝2 3. 3 所以S全＝S底＋S侧＝ 3＋2 3＝3 3.
4．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆 台的体积是________．
解析：设圆台上、下底面半径分别为r1、r2，母线长为l，高为h. πr1＝π， r1＝1， 2 则πr2＝4π， 可得r2＝2， πr1＋r2l＝6π， l＝2. 由l2＝h2＋(r2－r1)2，得h2＝22－12＝3，∴h＝ 3. 1 2 ∴V圆台＝ πh(r2 1＋r1r2＋r2) 3 1 7 3 ＝ π× 3×(12＋1×2＋22)＝ π. 3 3
7 3 答案： π 3
4 5．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 π，则该圆 3 4 5 π 81 锥的体积为________．
2πr 4 解析：设圆锥的底面半径为r，则 ＝ π， 1 3 2 ∴ r＝ ， 3 ∴圆锥的高h＝ 22 5 1－ ＝ . 3 3
1 2 4 5 ∴圆锥的体积V＝ πr h＝ π. 3 81
DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD. 因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC. (2)如图，连结AC.因为AB∥DC，∠BCD＝90° ， 所以∠ABC＝90° . 从而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1. 由PD⊥平面ABCD及PD＝1， 1 1 得三棱锥PABC的体积V＝ S△ABC· PD＝ . 3 3
2．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是
3 ________ ．
4 3 解析：设球半径为R，则 πR ＝4πR2，∴R＝3. 3
3 3 3．底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积为________ ．
3 解析：底面边长为2，底面三角形的高为2× ＝ 3 ，则斜高 2 为 32 2 3 1 1 2 ＋1 ＝ ，S底＝ ×2× 3 ＝ 3 ，S侧＝3× 3 3 2 2
第八章 立体几何 第一节 空间几何体的表面积和体积
主干知识 自主排查
C
目 录
ONTENTS
核心考点 互动探究 真题演练 高考预测 课时作业 知能提升
主干知识 自主排查
一、直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念，侧面展开图 及侧面积 一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将其剪开而成平 面图形，这个平面图形叫做该多面体的 平面展开图.
正棱台 平面所截，截面和底面 之间的部分叫做 正棱台 正n棱台的侧面展开图是n 个全等的等腰梯形
二、柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 S侧＝ 2πrh 体积 V＝Sh ＝ πr2h
圆锥
S侧＝ πrl
1 1 2 Sh πr h 3 V＝ ＝ 3
1 2 2 2 ＝ πr l － r 3
面积
体积 1 V＝ (S上＋S下＋ S上S下)h 3 1 2 2 ＝ π(r1＋r2＋r1r2)h 3 V＝ Sh
【例2】
在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝
BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90° . (1)求证：PC⊥BC； (2)求三棱锥PABC的体积．
解析：(1)证明：如图，因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面 ABCD，所以PD⊥BC.
由∠BCD＝90° ，得BC⊥DC. 又PD∩DC＝D， PD⊂平面PCD，
解析：如图，延长圆台母线交于点S，设圆台上底面半径为r， 则下底面半径为2r，则∠ASO＝30° . r 在Rt△SO′A′中， ＝sin 30° ， SA′ ∴SA′＝2r. 2r 在Rt△SOA中， ＝sin 30° ，∴SA＝4r. SA ∴SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，∴r＝a， ∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2. ∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为 5πa2.
1 V＝ 3Sh
圆台
S侧＝ π(r1＋r2)l
直棱柱 S侧＝ ch 正棱锥
1 ch′ 2 S侧＝
面积 正棱台
体积
1 1 (c＋c′)h′ V＝3(S 上＋S 下＋ S上S下)h 2 S 侧＝
2 4π R S 球面＝
球
V＝
4 3 πR 3
三、几何体的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 各面面积之和
扇形 、 扇环形 ； 2． 圆柱、 圆锥、 圆台的侧面展开图分别是 矩形、
它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
1．一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6 cm的正方形，
6 3 cm3. 则此三棱柱的体积为________
解析：正三棱柱的底面边长a＝2 cm，高h＝6 cm， 3 则V＝S底· h＝ ×22×6＝6 3 cm3. 4
名称 直棱柱 与正棱 柱
概念 侧棱和底面垂直的棱柱 叫做 直棱柱 底面是
展开图举例及说明
正多边形 的 直棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩
叫做正棱柱 底面是正多边形，并且 形
正棱锥
顶点在底面的正投影是 底面中心的棱锥叫做 正棱锥的侧面展开图是一 些全等的等腰三角形
正棱锥
名称
概念 正棱锥被平行于底面的
展开图举例及说明
2 在直角梯形O1ODD1中，O1O＝ DD2 1－OD－O1D1 ＝4 3，
∴棱台的高为4 3 cm.
规律方法
1.求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图 形，解决旋转体的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及 侧面展开图． 2．借助于平面几何知识，利用已知条件求得所需几何要素．
[跟踪训练] 1．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30° ，一个底面 的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径及两底面面 积之和．
核心考点 互动探究
【例1】
已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和
20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．
解析：如图所示，正三棱台ABCA1B1C1中，O、O1分别为两底面中 心，D、D1分别为BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高． 设A1B1＝20，AB＝30，则可得 10 3 O1D1＝ ，OD＝5 3. 3 由S侧＝S上＋S下， 1 3 得 ×(20＋30)×3×DD1＝ ×(202＋302)， 2 4 13 ∴DD1＝ 3. 3
Hale Waihona Puke 2 3 ×2× ＝2 3. 3 所以S全＝S底＋S侧＝ 3＋2 3＝3 3.
4．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆 台的体积是________．
解析：设圆台上、下底面半径分别为r1、r2，母线长为l，高为h. πr1＝π， r1＝1， 2 则πr2＝4π， 可得r2＝2， πr1＋r2l＝6π， l＝2. 由l2＝h2＋(r2－r1)2，得h2＝22－12＝3，∴h＝ 3. 1 2 ∴V圆台＝ πh(r2 1＋r1r2＋r2) 3 1 7 3 ＝ π× 3×(12＋1×2＋22)＝ π. 3 3