(3)第6章 小偏心受压非对称配筋

CC —12 小偏心受压基本计算公式： 小偏心受压截面平衡图： 特征： 1、b ξξ>；
2、距N 较远一侧s A 的s y f σ<。

N 平衡：1c y s s s N f bx f A A ασ''≤+-
M 平衡：1c 0y s 0s ()()2
x
Ne f bx h f A h a α'''≤-+-
注意：以上有s σ、s A 、s A '、x 四个未知数，式中，s σ在理论上可以先按平截面假定确定s ε，再求s s s E σε=，但如
此计算过于复杂，由于s σ与ξ有关，根据实测结果，可以近似按下式计算：
1
y
b 1
s f ξβσξβ-=-
CC —13 截面配筋计算时的判定步骤： 提示：大偏压：先求s A '，或先定s A '；
小偏压：先求s A ，或先定s A 。

口诀：受拉破坏先求受压筋，受压破坏先求受拉筋
条件：N 、M 、c f 、y f 、y f '、b h ⨯均为已知，求s A '，s A 。

首先，必须判断属于哪一类偏心情况。

由于s A '，s A 均未知，无从计算ξ，因此不能用b ξξ≤来判断，但可采用近似方法： 1、当00.3i e h η≤时，为小偏心受压情况； 2、当00.3i e h η>时，可按大偏心受压情况；
3、当i e η略大于00.3h 时，按计算结果反算b N ，可验算是否确属大偏心受压。

CC —14 适用于小偏心受压计算的几组方程： 1． 根据应力平衡图直接列出的联立方程组⑴：
⑴ 1c y s s s
1c 0y s 0s ()()2
N f bx f A A x
Ne f bx h f A h a ασα''≤+-⎧⎪⎨'''≤-+-⎪⎩ 该组联立方程有四个未知数x 、A '、s σ、s A ，不可能直接求解。

2． 将1
s y
b 1
f ξβσξβ-=-和0x h ξ=代入方程组⑴，则可列出
联立方程组⑵：
⑵ 11c 0y s y s b 121c 0y s 0s (10.5)()
N f b h f A f A Ne f bh f A h a ξβαξξβαξξ-⎧
''≤+-⎪-⎨⎪'''≤-+-⎩
该组联立方程仍有三个未知数ξ、s A '、s A ，也不可能直接求解。

式中，当C50≤时1β取为0.8，当为C80时1β取为0.74，其间内插。

3． 当受拉筋s A 为受压，且其s σ达到y f '-时，则可根据应力平衡图列出联立方程组⑶：
⑶ 1c y s y s
1c 0y s 0s ()()2
N f bx f A f A x
Ne f bx h f A h a αα'''≤+-⎧⎪⎨'''≤-+-⎪⎩ 或 ⑶ 1c 0y s y s
2
1c 0y s 0s (10.5)()N f b h f A f A Ne f bh f A h a αξαξξ'''≤+-⎧⎪⎨'''≤-+-⎪⎩
该组联立方程仍有三个未知数x (ξ)、s A '、s A ，仍然不可能直接求解。

4． 当混凝土全截面受压（与以上联立方程⑶的情况相同），且远N 一侧的钢筋的s σ达到y f '-时，此时应有x h =，
即混凝土全截面受压，根据应力平衡图对受压钢筋合力作用点取矩，可列出独立方程⑷：
⑷ 1c 0
y s 0s ()()2
h
Ne f bh h f A h a α'''''=-+-， 方程⑷可简称为Ne '方程，满足条件可直接求解s A 。

5． 解决小偏心受压问题，仍然需要依靠正截面应力的平衡方程基本方法。

为方便记忆，我们把联立方程⑴称为小偏
压N 式和Ne 式，把联立方程⑵称为小偏压N ξ
式和Ne ξ
式：
小偏压N 、Ne 式：⑴1c y s s s 1c 0y s 0s ()()2
N f bx f A A x
Ne f bx h f A h a ασα''≤+-⎧⎪
⎨'''≤-+-⎪⎩ 小偏压N ξ、Ne ξ式：⑵11c 0y s y s b 121c 0y s 0s (10.5)()
N f b h f A f A Ne f bh f A h a ξβαξξβαξξ-⎧
''≤+-⎪-⎨⎪'''≤-+-⎩
第⑴组方程的未知数为四个，第⑵组方程的未知数为三个，显然，可以从第⑵组方程中研究解决问题的方法。

研究第⑵组方程，其特点是：
方程中有三个未知数，仍不能得到唯一解，由于小偏心受压远离轴向力一侧的s A 无论受拉还是受压，其应力s
σ均达不到设计强度y f 或y f '，所以，配置过多的s A 没有意义，因此，可按最小配筋率即s,min 0.2%A bh =配置，这样减少了一个未知数，应当能够求解。

但直接取s 0.2%A bh =并不一定能够满足当1c N f bh α>即全截面受压时需要配置的s A 值，因此应注意选用时有其他条件。

CC —15 小偏心受压构件的计算步骤： 1． 当1c N f bh α≤时，直接取s 0.2%A bh =；
当1c N f bh α>时，则全截面受压x h =，并假定s y f σ'→，根据应力平衡图对受压钢筋合力作用点取矩，采用Ne '独立方程求解s A ：
1c 0
y s 0s ()()2
h
Ne f bh h f A h a α'''''=-+-， 式中： s 0a ()2
h
e a e e ''=
---，其中0a ()e e -为不利情况； 1c 0
s y 0s ()2()h Ne f bh h A f h a α''--=
'''-
由此求出的s A 可能小于0.2%bh ，且应s 0.2%A bh ≥。

2． 将用Ne '式求出的s A 或按s 0.2%A bh =确定的值中的较大值，代入小偏压N ξ式和Ne ξ
式（联立方程组⑵），先消
去s A '，然后联立求解ξ，所求解出ξ可能有两种情况： a ． 如果1b 2ξβξ<-，直接将ξ代入
1
1c 0y s y
s b 1
N f b h f A f A ξβαξξβ-''=+--求解s A '，且
应s 0.2%A bh '≥；
b ． 如果1b 2ξβξ>-，说明s y f σ'→-，基本公式转化为方程组⑶，由于ξ不能大于1，所以原来求出的ξ不可
用，需用联立方程组⑶消去s A '，重求ξ，然后用方程组⑶的N 式求s A '。

3． 将s A 、s A '实配后，按实配结果再按轴心受压构件验算垂直于弯矩作用平面的轴心受压承载力，不计弯矩作用但
应考虑稳定系数ϕ，c y s
0.9()N f A f A ϕ''≤+。

式中，s A '是配置好的全部纵筋（按偏压计算s A 、s s A A '+）。

CC —16 非对称配筋偏心受压构件截面计算步骤归纳： 1． 准备数据：
⑴ 由结构内力与构造要求，初步确定所用材料，从而取得c f ，y f ，y f '，然后确定b h ⨯，并由混凝土柱最小保护层
厚度要求(通常30c =)及预估钢筋直径后，确定s a 与s a '（通常取40），再计算0h ，0
h '及00.3h ，b ξ，sb α等。

⑵ 由截面上的设计内力M 、N 计算0/e M N =，再确定()max 20,/30a e h =，0i a e e e =+。

⑶ 由0/? 5.05l h ≤或0/?17.5l i ≤，确定是否考虑η，进而计算η。

2． 将i e η（η可能为1.0）与00.3h 进行比较，初步判定大小偏心。

3． 当00.3i e h η>时，按大偏心受压考虑（否则进入步骤4），有三种情况： (1) s A '与s A 均未知，将b 0x h ξ=代入大偏压Ne 式求s A '，再由大偏压N 式求s A 。

(2) 已知s A '求s A ，分解大偏压Ne 式为1M M '+，按类双筋梁法求1M 对应的s1A ，再由大偏压N 式求s A .
(3) 已知s A '求s A ，但s
2x a '<(可用s100s ?h h a γ'>-判断)，则取s 2x a '=，由大偏压s Ne '式直接求s A 。

注意，当求1M 对应s1A 其s1sb αα>时，则说明已知s A '配置不足，应按s A '与s A 均未知按⑴重算。

4． 当00.3i e h η≤时，按小偏心受压考虑，由按小偏压独立Ne '式计算得来s A 及0.002bh 两者中取较大值确定为s A ，
将该s A 值代入小偏压N ξ
式和Ne ξ
式消去s A '后联立求解ξ，所求解出的ξ可能有两种情况： (1) 如果1b 2ξβξ<-，直接将ξ代入小偏压N ξ
式求s A '，且应s 0.002A bh '≥；
(2) 如果1b 2ξβξ>-，说明s y f σ'→-，小偏压N 式中的“s s A σ-” 变为为“y s f A '”，由于ξ不能大于1，所以原
来求出的ξ不可用，需用联立方程组⑶消去s A '，重求ξ，再将其代入方程组⑶的N 式求s A '，且应s 0.002A bh '≥。

由于此时肯定有1c N f bh α>，因此尚应按Ne '式进行验算（当开头未算时）。

(3) 对弯矩作用平面外按轴心受压构件进行验算。

5． 将计算结果s A ，s A '按构造要求确定直径与根数，并绘制包括箍筋的截面配筋图。

【例】
处于一类环境的矩形截面偏心受压柱，450450b h ⨯=⨯，柱计算长度0 3.3m l =，选用C35混凝土和HRB400级钢筋，承受轴力设计值3500kN N =，弯矩设计值85kN m M =，求该柱的截面配筋s A 和s A '。

【解】
1． 准备数据：3500kN N =，85kN m M =；C35：21c 1.016.7N/mm f α=⨯，HRB400：2y y 360N/mm f f '==；
一类环境：30mm c =，s s
40mm a a '==，450b =，045040410mm h =-=；HRB400：b 0.518ξ=，sb 0.3838α=，C35：10.8β=。

2． 计算i e η，判断截面类型： 085
0.0243m 24.3mm 3500
M e N =
===， a 450max ,2020mm 30e ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
0a 24.32044.3mm i e e e =+=+=，
c 13
0.50.516.74504500.483350010
f bh N ζ⨯⨯⨯=
==⨯， 0 3.37.33150.45
l h ==<，取21.0ζ=， 2117.330.4831.01.172
44.31400410
η=+
⨯⨯⨯=⨯
01.17244.351.9mm 0.30.3410123mm i e h η=⨯=<=⨯=，
为小偏心受压。

又 s 45051.940236.9mm 22
i h e e a η=+
-=+-= -33500236.910829.15kN m Ne =⨯⨯=
思考：与题目条件85kN m M =相比，Ne 约为其10倍，为什么？
3． 因1c 3500kN 1.016.74504103081kN N f bh α=>=⨯⨯⨯=，故混凝土全截面受压，
由式 1c 0
y s 0s ()()2
h Ne f bh h f A h a α'''''=-+-， 式中： s 0a ()2
h
e a e e ''=--- 450
40(24.320)180.7mm 2
=---= 得
1c 0
s y 0s ()2()h Ne f bh h A f h a α''--=
'''-
3450
350010180.71.016.7450450(410)2
360(41040)
⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-=
⨯-
2251.2mm 0.002405mm bh =<=，取2s 405mm A =。

选配3
14，实配2s 462mm A =。

将2s 462mm A =代入小偏压N ξ
、Ne ξ
式：
11c 0y s y s b 121c 0y s 0s (10.5)()
N f b h f A f A Ne f bh f A h a ξβαξξβαξξ-⎧
''≤+-⎪-⎨
⎪'''≤-+-⎩
消去s A '联立求解ξ，
得 1b 0.935220.80.5181.082ξβξ=<-=⨯-=， 代入 1
1c 0y s y
s
b 1N f b h f A f A ξβαξξβ-''≤+--
解得 22s 1498mm 0.002405mm A bh =>= 好。

选配4
22，实配2s 1536mm A =。

4． 验算弯矩作用平面外的轴心抗压承载力（略）。