(解析版)江苏省徐州市沛县中学2017-2018学年高一上学

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沛县中学2017—2018学年度第一学期第二次质量检测
数学试卷
一、填空题:
1. 若集合,则___________.
【答案】
【解析】因为集合,由并集的定义可得
,故答案为.
2. 函数的定义域________.
【答案】
【解析】
要使函数有意义,则,即,所以函数的定义域为,故答案为.............
3. 幂函数的图象经过点,则的值为_______.
【答案】
【解析】试题分析:设,则,因此
考点:幂函数解析式
4. 若函数与分别由下表给出
则______.
【答案】
【解析】由表格对应关系可得,,所以,故答案为. 故答案为
5. 已知,则从小到大依次为________.
【答案】
【解析】由指数函数的性质可得,由对数函数的性质可得,
,所以,故答案为.
【方法点睛】本题主要考查对数函数、指数函数的性质以及比较大小问题,属于中档题.解答比较大小问题,常见思路有两个:一是根据函数的性质判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间,);二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
6. 设关于的不等式的解集为,已知,则实数的取值范围是________. 【答案】
【解析】因为,, ,可得或
,即或实数的取值范围是,故答案为
.
7. 若二次函数满足且,则的解析式为_______.
【答案】
【解析】设二次函数的解析式为,由得,故
,,
,即,根据系数对应相等,,故答案为.
8. 已知方程的根,则_________.
【答案】
【解析】试题分析:令,.所以在上有一个零点.即.故填.
考点:1.函数与方程.2.构造函数解题.
9. 已知函数,则的值域为________.
【答案】
【解析】函数,,所以的值域为,
即为,的图象可由函数的图象向左平移且个单位得到,因此的值域与的值域相同为,故答案为
.
10. 已知函数为奇函数,且,若,则的值为
_______.
【答案】
【解析】因为函数为奇函数,所以[,可得
故答案为.
11. 已知函数,若函数存在四个不同的零点,则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
画出函数,与的图象,函数,与的图象的交点个数就是函数函数的零点个数,因为函数存在四个不同的零点,所以函数
,与的图象由四个交点,由图可知,要使函数,与的图象由四个交点,实数的取值范围是,故答案为.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、图象、性质以及已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后
数形结合求解.一是转化为两个函数的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
12. 已知不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】不等式对一切恒成立,等价于
,因为,所以,所以
,所以实数的取值范围是,故答案为. 【方法点晴】本题主要考查利用配方法求函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数恒成立(可)或恒成立(即可);② 数形结合(图象在上方即可);③ 讨论最值
或恒成立;④ 讨论参数. 本题是利用方法① 求得的范围的. 13. 已知函数为偶函数,若,则实数
的取值范围是_______.
【答案】
【解析】因为函数为偶函数,所以,可得,
在上递减,又因为
,,且
,所以,解得,即实数的取值范围是,故答案为.
14. 已知函数,当时,的值域为,则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
要使函数,当时,的值域为,只需函数
,在上递增,且与直线有两个不同的交点,当直线过抛物线顶点时,,由,可得,即
直线与二次函数的图象相切时,由图可知,当时,函数,在上递增,且与直线有两个不同的交点,则函数
,当时,的值域为,故答案为. 【方法点睛】本题主要考查函数的定义域、值域、单调性以及数形结合思想、数学的转化与划归思想.属于难题. 数学中常见的思想方法有:函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等,转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题先根据转化与划归思想思想将问题转化为单
调性与交点问题,进而利用数形结合思想解答.
二、解答题:
15. 已知集合.
(1)当时,求;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)或.
【解析】试题分析:(1)时,根据分式不等式的解法化简集合,根据一元二次不等式
的解法化简集合,根据集合的基本运算即可求;(2)利用(1)的结论,根据建立条件关系,对进行讨论,即可求实数的取值范围.
试题解析:(1),
当时,,
故.
(2),
若,则或,即或.
16. (1)求值:;
(2)若,求及的值.
【答案】(1);(2),.
【解析】试题分析:(1)根据对数的运算法则,先将题设中的对数都化为以为底的对数,根据多项式的运算法则及换底公式可得结果;(2)将平方化简即可求得
的值,将平方后再将的值代入即可.
试题解析:(1). (2)将等式两边同时平方得,
因为,且,所以.
17. 已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)试判断函数在上的单调性并给出证明.
【答案】(1);(2)在单调递增,证明见解析.
【解析】试题分析:(1)根据函数为偶函数,由求出的值,再验证函数奇偶性即可;(2)根据函数单调性的定义证明,任取,其中,直线证明即可证明结论.
试题解析:(1)因为函数为偶函数,所以其定义域关于原点对称,由题意可得必在定义域内,所以,化简得,
当时,函数为偶函数,证明如下:
.
(2)函数在上的单调递增,证明如下:
任取,其中,

因为,所以即,而,
故,即,所以函数在上的单调递增.
18. 某市决定在其经济开发区一块区域进行商业地产开发,截止2015年底共投资百万元用于餐饮业和服装业,2016年初正式营业,经过专业经济师预算,从2016年初至2019年底的四年间,在餐饮业利润为该业务投资额的,在服装业可获利该业务投资额的算术平方根. (1)该市投资资金应如何分配,才能使这四年总的预期利润最大?
(2)假设自2017年起,该市决定对所投资的区域设施进行维护保养,同时发放员工奖金,方案如下:2017年维护保养费用百万元,以后每年比上一年增加百万元;2017年发放员工奖金共计百万元,以后每年的奖金比上一年增加.若该市投资成功的标准是:从2016年初到2019的底,这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的,问该市投资是否成功?
【答案】(1)该市在服装业投资额百万元,在餐饮业投资额为百万元,才能使这四年总的预期利润最大;(2)该市投资成功.
【解析】试题分析:(1)设在服装业投资额为百万元,则在餐饮业投资额为百万元,两行业利润之和为,,换元后利用配方法可求得最大值及取得最大值时的值;(2)先求得最大利润与最小利润,进而可得四年总的预期利润中值,与总投资额的比较,即可得结果.
试题解析:(1)设在服装业投资额为百万元,由题意得,
化简得,,
令,则,当时,即时,函数取得最大值,
答:该市在服装业投资额百万元,在餐饮业投资额为百万元,才能使这四年总的预期利润最大.
(2)由(1)得若不考虑区域维护保养以及奖金发放,
当时,;当时,;
从2017年初到2019年底维护保养费为百万元;
从2017年初到2019年底发放员工奖金为
百万元.
所以这四年的预期利润中值为百万元,占总投资额的
大于总投资额的,符合该市投资成功的标准.
19. 已知函数
(1)若函数的一个零点是1,且在上是单调减函数,求的取值范围;
(2)若,当时,求函数的最小值;
(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】试题分析:(1)由,可得.从而,根据上是单调减函数求得,从而可得的取值范围;(2)b=1时,,分三种情况讨论对称轴的位置,即可得到函数的最小值;(3)对于任意,不等式恒成立,看成关于的一次函数,利用解不等式组即可得结果.
试题解析:(1)因为函数的一个零点是1,所以,即.
故,
又因为函数在上是单调递减,且该函数图象的对称轴为直线,
所以,即.
因为,且所以,
(2)由题意得,且,且该函数图象的对称轴为直线
①若时,即,,
②若时,即,,
③若时,即,,
综上所述:
(3)对于任意,不等式恒成立.
记,则,
故 .
【方法点睛】本题主要考查利用函数的单调性、函数的零点以及二次函数在闭区间上的最值,
属于难题. 二次函数在区间上的最小值的讨论方法:(1) 当时,(2) 当时,
(3)时,.本题(2)就是利用这种思路求解的.
20. 已知为偶函数,为奇函数,且满足.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的值域;
(3)是否存在实数,当时,函数的值域是?若存在,求出实数,若不存在,说明理由.
【答案】(1),;(2)①当
时,的值域为;②当时,的值域为;(3)存在实数
,,使得当时,函数的值域是.
【解析】试题分析:(1)由为偶函数,为奇函数,可得方程组
,解方程组即可得到函数的解析式;(2)由(1)可知,,令,,讨论两种情况即可得到函数的值域;(3)因为且函数定义域为,所以
,故,利用复合函数的单调性求出函数的值域,令其与函数的值域是相同,即可得结果.
试题解析:(1)因为为偶函数,为奇函数,
所以即,
联立方程组,
得;

(2),
令,,
则,
①当时,;
②当时,.
综上所述:①当时,的值域为;
②当时,的值域为.
(3)因为且函数定义域为,
所以,故即,
记,则,
因为单调递增且值域为,所以,
而在单调递增,
所以解得,解得或(舍),
综上所述:存在实数,,使得当时,
函数的值域是.。

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