2011年高考全国2卷理科数学(精编WORD版)有答案

20XX年普通高等学校招生全国统一考试
全国H卷理科数学(必修+选修II)
一、选择题：(每小题5分，共60分)
1 •复数z =1 i , z为z的共轭复数，则zz - z -1 =()
A • -2i
B • -i
C • i
D • 2i
2 .函数y = 2. x (x _ 0 )的反函数为( )
2 2
x w f x , c A• y ( x R) B. y (x_0)
4 4
2 2
C • y=4x ( x R)
D • y=4x ( x_0 )
3 .下面四个条件中，使a b成立的充分而不必要条件是( )
A • a b 1 B. a b -1 c. a2 b2D. a3 b3
4 .设S n为等差数列ta n』的前n项和，若a1 = 1,公差d = 2, S k 2 _ S^ ~ 24，则k =()
A. 8
B. 7 C . 6 D. 5
5. 设函数f(x)=cos^x (⑷＞0 )，将y = f(x )的图象向右平移§
个单位长度后，所的图象与原图象重合，则■的最小值等于( )
A. 1
B. 3
C. 6 D . 9
3
6. 已知直二面角〉-| - ［，点A : , AC _丨,C为垂足，8 '■ , BD _丨,D为
垂足，若AB =2,AC =BD =1,则D到平面ABC的距离等于( )
朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
7. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位
朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
=1.
8. 曲线y =e 在点0,2处的切线与直线 丫 =0和y 二x 围
成的三角形的面积为
112, A . -
B . -
C . -
D . 1 3
2
3
5
9.设f x 是周期为2的奇函数，当0空x 乞1时，f x =2x 1 -X ，则f()=()
A . 2
B . ,3
C .、2
D . 1
第 n 卷 （非选择题共90分）
注意事项：
1. 答题前，考生先在答题卡上用直径
0 . 5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准
考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目.
2. 第n 卷共2页，请用直径 0 . 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效.
3. 第n 卷共10小题，共90分. 二、填空题：（每小题5分，共20分）
B . 10 种
C . 18 种
D . 20 种
10 .已知抛物线
2
C : y = 4x 的焦点为
F ，直线y=2x-4与C 交于RB 两点，则
cos_AFB =()
11 .已知平面:-截一球面得圆
M ，过圆心M 且与〉成60°二面角的平面1截该球面得
圆N .若该球面的半径为 4，圆M 的面积为4二，则圆N 的面积为（ ）
12 .设向量
a, b, c 满足
1
…飞，
C . 11
二
D . 13 ■: a -c,b - c
4
C
贝
O
O
6
的最大值等于
B .
13. 的二项展开式中，x的系数与X9的系数之差为 ____________ .
兀J5
14. 已知二三（一，二）,sin ，则tan 2—.
2 5
2 2
15. 已知F l、F2分别为双曲线C:— -- 1的左、右焦点，点A C，点M的坐标为
9 27
（2,0 ）, AM 为N RAF?的平分线，则AF2 = __________________ .
16. 已知点E、F分别在正方体ABCD-AB|C1D1的棱BB1、CC1上，且B1^ = 2EB ,
CF =2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 _______________ .
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17. （本小题满分10分）「ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c .已知
A -C =900, a c =、.2b，求C .
18. （本小题满分12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买
乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3 •设车主购买保险相互独立.
（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（n）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望.
19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD
中，AB//CD , BC _CD，侧面SAB 为等边三角
形，AB=BC=2,CD =SD=1.
（I）证明：SD _平面SAB ；
（n）求AB与平面SBC所成角的大小.
1 - a n 1 1 - a n
20.（本小题满分12分）设数列'a 满足厲=0且
=1.
(i)求「aj的通项公式;
(n)设b n「一®1，记S n J b k，证明：S n :: 1 •
21.(本小题满分12分)已知O为坐标原点，F为椭圆C :
2
X2 - 1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-的
2
OA OB 0^ =0 •
直线丨与C交于A、B两点, 点P满足
(i)证明：点P在C 上;
(n)设点P关于点O的对称点为Q ,证明：A、P、B Q四点在同一圆上.
22.(本小题满分12分)
2x
(i)设函数f x = In 1 • x - ，证明：当x 0 时，f x 10 ;
x+2
(n)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续
9 1
抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p，证明：p ::: ( )192•
10 e
•67 •
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题(必修+选修II )参考答案和评分参考
评分说明：
1. 本解答给出了一种或儿种解法供參考，如果考生的解法与本解答不同，可根据 试题的主
要考竇内咨比照评分参考制订相应的评分细则。

2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错谋时，如果后继部分的解答耒改变该 题的内容
和堆度，可视彩响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答 应得分数的一半：如果后继部分的解答有较严垂的错谋，就不再给分.
3. 解答右端所注分数，表示考生止确做到这一步应得的累加分数.
4. 只给整数分数•选择题不给中间分。

・选择题
(1) B (2) B (3) A (4) D (5) C (6) C (7) B
(8) A
(9) A
(10) D
(11) D
(12) A
.填空题
75 3
(13) 0
(14)-2
3
(15) 6 (16)
三.解答题
(17)解：
由a + c 二41b 及1E 烷定理可得
sin J + sin C = V5 sin Z?.
....... 3 分
乂由 TJ-C = 90°,
+ 故
cosC + sinC = V2sin( J + C)
二运 sin(90° + 2C) =75 cos 2C ・
—cos C + — si n C = cos 2C , 2 2 cos(45°-C) = cos2C.
因为 所以
0y 90° •
2C = 45°-C. C = I5°.
10分
68
(18)解：
记/表示事件:该地的I 位车主购买甲种保险:
〃表示屮件：该地的I 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险：
c 表示爭件：该地的I 位车主至少购买甲、乙两种保险中的I 种: D 義不弔件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.
(I)
P(・4) = 0, P(Z?) = 0.3, C^A + B,
....... 3 分 P(C) = P(^ + 5) = P(J) + P(B) = 0.8.
....... 6 分
(II) D = G P(D) = I ・P(C) = l-0・8 = 02
X- 3(100,0.2),即X 服从二项分布.
... 10分
所以期望 £¥ = 100x0.2 = 20・
....... 12分
(19)解法一：
(1)取中点&连结DE.则四边形BCDE 为矩形.DE 二CB = 2.
连结S&则SE 丄AB. SE 二忑. 乂 SD = 1.故 ED 2
= SE 2
+ SD 2
. 所以ZDSE 为直角. ……3分
由/I3 丄 DE. 丄 SE ■ DEC \SE = E ■得 川？丄平而SDE .
所以丄SD.
SD 与两条相交胚线AB. SE 都垂直.
所以SD 丄平而£43.
(II )由川?丄平而SDE 知，平面ABCD 丄平ffiSDE.
作SF IDE.垂足为几则SF 丄平而ABCD . SF=5^x5£= — DE 2
作FG 丄BC.垂足为G ・则FG = DC = 1. 连结SG •则SG 丄眈.
乂 BC LFG ■ SGQFG = G ■故丄平血SFG.平面丄平而SFG.……9分
作F 〃丄SG •〃为乖足，则F 〃丄平血SBC.
由TED//HC ,所以ED 〃平血S3C, Ef 怦面SBC 的距离d 也为卑. 设AB 万平而SBC 所成的ffj 为a •则sincz =
二一—• a - arcsin ・ .............. 12分
EB 7
7
SF * FG x/3
=s(f =77 •
I!卩F 到平而
SBC 的
•69-
解法二：
以C 为坐标原点，射线CD 为X 轴止丫：轴，建立如图所示的空间f ［角坐杯系 C -xyz ・ 设 ALO.O).则 “2,2.0)、5(0,2,0). 又设Sgyzn 贝'Jx>0.y>0,z>0.
(I ) AS = (x-2t-y-2t r)> BS = (x 、y-2,z) •
由阖阿祐
7(x-2)2+(y-2)2+z 2 =y/x 2
+(y-2)2
+z 2
> 故归.
由 | 丽|=1 得 /+z 2=l> 乂由阖=2得八°-2)—■
即 y 2 + z 2 - 4y + 1 = 0 .故 y = *, z = g .
....... 3 分
于是S(1丄.£)・石=(一|,吕£),丽= (],£,£)・页=(0,：,芈)，
2 2 2 2 2 2 2 2
D§・ AS = DS BS^Q.
故Of 丄 AS . DS 丄 BS ■ 乂 ・4SnBS 二S. 所以SD 丄平面S/3・
(II )设平面 SBC 的法向 ft a =(/M,M.p).
则“丄〃"丄而.a BS = 0. a •西=0. 乂 加=(].弓£), C7? = (0,2.0),
3 V5 n m — n + — *
二 U ・
~
J
2/1 = 0.
取厂 2 得 @ = (J.0.2)・ 乂 AB = (-2.0.0). AB a 41\
， =—■ 7・ 故.E 卅面肚所成的角为mcsin —.
7
cos( A B. a >=p.
•70-
(20)解：
(I )由题设 ------------ =1,
即｛亠｝是公差为1的筹差数列. 又—■— - I > 故一-—=n. l-q 1-心
■
所以你=I ■丄.
n
(II )由(I )得
F(O,I), /的方程为^ = -V2x + l ,代入x 2+^- = l 并化简律
4X 2-2V2X -I=0.
心」)■ B(x 29y 2)9 Pg”)■
V2 - y/6 \[z + V6 X 产—y —'舟二—J —•
Jr
由题意得 x y =-(x, +x 2) = --
> Vy = -(.Vj + ) = -1 ・
A
所以点户的坐标为
经验证，点P 的坐标(-#,-1)满足方科2+丄=1,故点P 在桶圆C L. ........................ 6分
2
(21)解:
……8分 ..... 12分
71 (II)由/,-1)和题设知.0(—J), P0的垂直平分线厶的方程为
2 2
y 二匹. ①
丿 2
R I
设曲的中点为M,则A/(—/), 的垂宜平分线厶的力程为
4 2
尸邑+丄. ②
2 4
由①、②得人、厶的交点为N(-£,?).
••••••9分 8 8
耐疹幵砂.
\AE \ = V , + (-V2)2 -|x 2 -X,| = ,
I 伽卜乎,
|AU| = +|测’ =-,
故 IM=I 网・
又 |"円=|呦，\NA \^\NB \9
所以 ］必|=卜刃=|心|=|/\0,
由此知/<、P 、B. 0四点在以N 为圆心.丸4为半径的圆上. ……12分 (22)解:
(I )/Xx)= x 2 (x + IXx + 2)2
当x>0时，/(x)>0 .所以/(x)为增函数，又/(0) = 0 .因此当x>0时. /(x) > 0 ・
99x81 <90\98x82 <90\ --.91x89 < 90: •
100x99
x98x>-
>x81
6
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