2016届高考数学复习 第七章 第二节 不等式的解法 理

第二节 不等式的解法
A 组 专项基础测试 三年模拟精选
一、选择题
1．(2015·山东枣庄一模)关于x 的不等式x 2
－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是( ) A ．a <0或a >4 B ．0<a <2 C ．0<a <4
D ．0<a <8
解析 因为不等式x 2
－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充要条件是Δ＝a 2
－4a <0，即0<a <4，所以不等式x 2
－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是0<a <2，故选B. 答案 B
2．(2015·四川成都模拟)设k ∈R ，若关于x 方程x 2
－kx ＋1＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，52
C ．(1，3)
D ．(－∞，2)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，＋∞ 解析 令f (x )＝x 2
－kx ＋1，因为方程x 2
－kx ＋1＝0的二根分别在区间(0，1)和(1，2)内，
所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0
即k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52.
答案 B
3．(2014·北京东城二模)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )在区间[0，2]上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，且满足f (－3)＝f (1)＝0，则不等式x 3
f (x )<0的解集为( ) A ．(－3，－1)∪(1，3)
B ．(－∞，－3)∪(－1，1)∪(3，＋∞)
C ．(－∞，－3)∪(－1，0)∪(1，3)
D ．(－3，－1)∪(0，1)∪(3，＋∞) 解析 由题意可画y ＝f (x )的草图如图．
(1)x >0，f (x )<0，这时，x ∈(0，1)∪(3，＋∞)；
(2)x <0，f (x )>0，这时，x ∈(－3，－1)．故原不等式x 3
f (x )<0的解集为 (－3，－1)∪(0，1)∪(3，＋∞)． 答案 D
4．(2013·湖南张家界二模)已知f (x )＝ax 2
－x －c ，不等式f (x )>0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )
解析 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c a
＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.f (－x )＝－x 2
＋x
＋2的图象开口向下，顶点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，94，故选B. 答案 B 二、填空题
5．(2014·浙江绍兴模拟)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．
解析 七月份：500(1＋x %)，八月份：500(1＋x %)2
. 所以一至十月份的销售总额为：
3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2
]≥7 000， 解得1＋x %≤－2.2(舍)或1＋x %≥1.2，∴x min ＝20. 答案 20
一年创新演练
6．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32
D ．－32<a <12
解析 (x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立， 即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立． ∴x 2
－x －a 2
＋a ＋1>0恒成立，
∴Δ＝1－4(－a 2
＋a ＋1)<0，∴－12<a <32，故选C.
答案 C
7．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集
为( )
A ．{x |x >2或x <－2}
B ．{x |－2<x <2}
C ．{x |x <0或x >4}
D ．{x |0<x <4}
解析 由题意可知f (－x )＝f (x )，
即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．
又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.
f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C.
答案 C
B 组 专项提升测试 三年模拟精选
一、选择题
8．(2014·沈阳模拟)若不等式mx 2
＋2mx －4<2x 2
＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2，2]
B ．(－2，2)
C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
D ．(－∞，2]
解析 原不等式等价于(m －2)x 2
＋2(m －2)x －4<0， ②
当m ＝2时，上式为－4<0，对任意的x ，不等式都成立；
②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2
＋16(m －2)<0，∴－2<m <2，综合①②， 得m ∈(－2，2]． 答案 A 二、填空题
9．(2015·江西师大模拟)若不等式ax 2
－3x ＋5>0的解集为{x |m <x <1}，则实数m ＝________． 解析 因为不等式ax 2
－3x ＋5>0的解集为{x |m <x <1}，所以a －3＋5＝0，得a ＝－2，由－2x 2
－3x ＋5＝0解得x ＝1或x ＝－52，所以m ＝－52.
答案 －5
2
三、解答题
10．(2014·天津新华中学月考)已知不等式mx 2
－2x ＋m －2<0. (1)若对于所有的实数x ，不等式恒成立，求m 的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围． 解 (1)对所有实数x ，不等式mx 2
－2x ＋m －2<0恒成立， 即函数 f (x )＝mx 2
－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方， 当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立；
当m ≠0时，由二次函数的图象可知，
⎩
⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m （m －2）<0，解得m <1－2， 综上可知m 的取值范围是(－∞，1－2)．
(2)设g (m )＝(x 2
＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2
＋1>0知g (m )在[－2，2]上为增函数，则由题意只需g (2)<0即可， 即2x 2
＋2－2x －2<0，解得0<x <1. 即x 的取值范围是(0，1)．
11．(2014·珠海模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2
＋x ，若对任意x 1，x 2∈R ，恒有2f (x 1＋x 2
2
)≤f (x 1)
＋f (x 2)成立，不等式f (x )<0的解集为A . (1)求集合A ；
(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围． 解 (1)对于任意的x 1，x 2∈R ，由f (x 1)＋f (x 2)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝12
a (x 1－x 2
)2≥0成立，要使
上式恒成立，所以a ≥0.
由f (x )＝ax 2
＋x 是二次函数知a ≠0，故a >0. 由f (x )＝ax 2
＋x ＝ax (x ＋1a
)<0，
解得A ＝(－1
a
，0)．
(2)解得B ＝(－a －4，a －4)，因为集合B 是集合A 的子集，所以a －4≤0，且－a －4≥－1
a
.
化简得a 2
＋4a －1≤0，解得0<a ≤－2＋ 5.
12．(2014·合肥模拟)据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据统计，如果有x (x >0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000 a 元(a >0为常数)．
(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？ 解 (1)据题意，得
(100－x )·3 000·(1＋2x %)≥100×3 000， 即x 2
－50x ≤0，解得0≤x ≤50. 又x >0，故x 的取值范围是(0，50]．
(2)设这100万农民的人均年收入为y 元，则y ＝ （100－x ）×3 000×（1＋2x %）＋3 000ax
100
＝－60x 2
＋3 000（a ＋1）x ＋300 000100
＝－35[x －25(a ＋1)]2＋3 000＋375(a ＋1)2
(0<x ≤50)．
①若0<25(a ＋1)≤50，即0<a ≤1， 则当x ＝25(a ＋1)时，y 取最大值；
②若25(a ＋1)>50，即a >1，则当x ＝50时，y 取最大值．
答：当0<a ≤1时，安排25(a ＋1)万人进入加工企业工作，当a >1时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．
一年创新演练
13．若实数x ，y ，m 满足|x －m |>|y －m |，则称x 比y 远离m .若x 2
－1比1远离0，则x 的取值范围是________．
解析 由定义可知|x 2
－1－0|>|1－0|，解得x <－2或x > 2. 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)。