第四讲重言式及其验证
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第四讲 重言式及其验证
一、重言式的定义 二、重言式的验证
一、重言式的定义
1、什么是重言式
f(A1-An) T，
◆ 不管对命题形式f(A1-An)的成分命题代 之以任何真值，命题形式f(A1-An)的值总为 真。
一、重言式的定义
1、什么是重言式
其他等价定义：
◆ 用真值表验证的命题，如果最后一列的每一表值都是 T，那么该命题就是重言式；
◆ 数理逻辑的特点在于从有限的公理出发，根据少许的 规则，可以推出重言式。
◆ 逻辑是利用重言式推出重言式。
一、重言式的定义
3、重言蕴含式和重言等值式
重言蕴含式：P → Q为重言式当且仅当P重言蕴含Q。 ◆ 正确的推理一定能表现为重言式 ◆ 重言蕴含式就是正确的推理形式
重言等值式：P Q为重言式当且仅当P重言等值Q。 ◆ 所谓等值就是真假值相等，即同真同假 ◆ 等值式左右两边的式子可以相互置换
二、重言式的验证
4、证明的方法
• 以所给出的公理，根据推理的规则推出重言式的方
法就是证明的方法。
练习：P61 第八题
（1）（p → q） ∨ （q → p）
ห้องสมุดไป่ตู้
◆ 一个命题是重言式，当且仅当用别的命题去替换构 成命题的任一原子命题，其结果总是一个真命题；
◆ 一个命题是重言式，当且仅当对该命题中的原子命 题赋以任何真值，其结果总是为真命题。
一、重言式的定义
2、重言式的意义
◆ 命题逻辑理论的主要内容是研究重言式的判定和证明 方法；探讨如何构造形式推理系统，使得该系统能穷 尽一切重言式。
二、重言式的验证
1、真值表法
• 最原始、最基本，但最保险的方法。
例1：验证（p → q） ∧ p → q
二、重言式的验证
2、赋值法
• 也被称为指派法，即给原子命题指派真值的 方法。
例2：验证（p → q） ∧ q → p 例3: 验证（p ∨ q） ∧ ﹁ p →（q → p）
二、重言式的验证
3、归缪赋值法
• 其思想是根据反证法的思想。
• 具体步骤： （1）把原公式转换为蕴含式； （2）假定原公式是假的； （3）给原公式赋以合适的值； （4）检查赋值情况，发现S ∧ ﹁ S形式，确定原
公式为重言式。
二、重言式的验证
3、归缪赋值法
例4：验证（p→q）∧（r→q）→（p∨r→q） 例5：验证（q→r）→（p∨q→p∨r） 例6：验证（p∨q）∧r→p∧r
一、重言式的定义 二、重言式的验证
一、重言式的定义
1、什么是重言式
f(A1-An) T，
◆ 不管对命题形式f(A1-An)的成分命题代 之以任何真值，命题形式f(A1-An)的值总为 真。
一、重言式的定义
1、什么是重言式
其他等价定义：
◆ 用真值表验证的命题，如果最后一列的每一表值都是 T，那么该命题就是重言式；
◆ 数理逻辑的特点在于从有限的公理出发，根据少许的 规则，可以推出重言式。
◆ 逻辑是利用重言式推出重言式。
一、重言式的定义
3、重言蕴含式和重言等值式
重言蕴含式：P → Q为重言式当且仅当P重言蕴含Q。 ◆ 正确的推理一定能表现为重言式 ◆ 重言蕴含式就是正确的推理形式
重言等值式：P Q为重言式当且仅当P重言等值Q。 ◆ 所谓等值就是真假值相等，即同真同假 ◆ 等值式左右两边的式子可以相互置换
二、重言式的验证
4、证明的方法
• 以所给出的公理，根据推理的规则推出重言式的方
法就是证明的方法。
练习：P61 第八题
（1）（p → q） ∨ （q → p）
ห้องสมุดไป่ตู้
◆ 一个命题是重言式，当且仅当用别的命题去替换构 成命题的任一原子命题，其结果总是一个真命题；
◆ 一个命题是重言式，当且仅当对该命题中的原子命 题赋以任何真值，其结果总是为真命题。
一、重言式的定义
2、重言式的意义
◆ 命题逻辑理论的主要内容是研究重言式的判定和证明 方法；探讨如何构造形式推理系统，使得该系统能穷 尽一切重言式。
二、重言式的验证
1、真值表法
• 最原始、最基本，但最保险的方法。
例1：验证（p → q） ∧ p → q
二、重言式的验证
2、赋值法
• 也被称为指派法，即给原子命题指派真值的 方法。
例2：验证（p → q） ∧ q → p 例3: 验证（p ∨ q） ∧ ﹁ p →（q → p）
二、重言式的验证
3、归缪赋值法
• 其思想是根据反证法的思想。
• 具体步骤： （1）把原公式转换为蕴含式； （2）假定原公式是假的； （3）给原公式赋以合适的值； （4）检查赋值情况，发现S ∧ ﹁ S形式，确定原
公式为重言式。
二、重言式的验证
3、归缪赋值法
例4：验证（p→q）∧（r→q）→（p∨r→q） 例5：验证（q→r）→（p∨q→p∨r） 例6：验证（p∨q）∧r→p∧r